中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题四十八总体、样本及抽样方法(原卷版+解析)

专题四十八总体、样本及抽样方法思维导图知识要点知识要点1．抽样方法与总体分布的估计(1)总体：在统计学中，把研究对象的全体叫做总体，把每个研究对象叫做个体，把总体中个体的总数叫做总体容量．总体与个体之间的关系类似于集合与元素的关系．(2)样本：从总体中随机抽取一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目称为样本容量，样本和总体之间的关系类似于子集和集合之间的关系．(3)一般地，从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体被抽到的可能性是相同的，那么这种抽样方法叫简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本．常用的方法有抽签法和随机数表法．2．频率分布样本中所有数据(或数据组)的频数和样本容量的比就是该数据的频率，所有数据(或数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布表、频率分布折线图、茎叶图、频率分布直方图来表示．3．样本的数字特征(1)众数：出现次数最多的数叫做众数．(2)中位数：如果将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据或中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数．(3)平均数：如果有n个数，，，……，，那么叫做这n个数的平均数．(4)标准差与方差：设一组数据，，，…，的平均数为，则其中表示方差，s表示标准差．典例解析典例解析【例1】某学校共有学生800名，一年级300人，二年级260人，三年级240人．现要理解全校学生的身体状况，从中抽取200人参加体检，应采用什么抽样方法进行抽取？【变式训练1】某学校有900名学生，其中女生有400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该学校学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取女生的人数为()A．20B．25C．35D．15【例2】某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是()A．90B．75C．60D．45【变式训练2】为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地10000名居民进行了调查，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从10000人中再用分层抽样的方法抽出100人做进一步的调查，则在[2.5，3)(小时)时间段内应抽出的人数是()A．25B．30C．50D．75【例3】为了从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加比赛，对他们的射击水平进行测验，两人在相同条件下各射击10次，所得的环数如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4乙：9，5，7，8，7，8，6，6，7，7应该选谁参加比赛___________．【变式训练3】甲、乙两个样本，甲的样本方差是0.065，乙的样本方差是0.056，那么样本甲与样本乙的波动大小为(A)A．甲的波动比乙大B．甲的波动比乙小C．甲与乙波动相同D．不能确定【例4】在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩7076727072(1)求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差s；(2)若从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率．【变式训练4】已知一组数据，按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．高考链接高考链接1．(四川省2015年对口升学考试试题)已知甲、乙两组数据的平均数都是10，甲组数据的方差为0.5，乙组数据的方差为0.8，则()A．甲组数据比乙组数据的波动大B．甲组数据比乙组数据的波动小C．甲组数据与乙组数据的波动一样大D．甲、乙两组数据的波动大小不能比较2．某职业学校有教师200人，其中高级职称50人，中级职称80人，初级职称70人，教育部门准备开一个20人的教职工座谈会，学校采用分层抽样的方法从全校教师中抽取，则中级职称教师应抽取人数为()A．15B．5C．8D．73．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如下表所示．依据表中数据判断，最佳人选为()成绩分析表

甲乙丙丁平均成绩x96968585标准差s4242A．甲B．乙C．丙D．丁同步精练同步精练【选择题】1．在“世界读书日”前夕，为了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本2．现有3000棵树，其中400棵松树，现在提取150棵做样本，其中抽取的松树有()A．15棵B．20棵C．25棵D．30棵3．有8个数的平均数是11，还有12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是()A．11.6B．23.2C．232D．11.54．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A．588人B．480人C．450人D．120人5．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差6．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是()A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数【填空题】7．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝_______.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为______人．8．某中学高一年级有1400人，高二年级有1320人，高三年级有1280人，从该中学学生中抽取一个容量为n的样本，每人被抽到的机会为0.02，则n＝______.9．某市为了分析全市9800名初中毕业生的数学考试成绩，共抽取50本试卷，每本试卷30份，则样本容量为________．10．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的数字特征(众数、中位数、平均数、方差)对应相同的是________．【解答题】11．某小区为了提高区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者对其进行调查，将他们的年龄分成6段：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]．后得到如图所示的频率分布直方图．求：(1)在40名读书者中年龄分布在[30，60)的人数；(2)40名读书者年龄的平均数．12.若，，，…，的平均数是，方差是.求：(1)＋3，＋3，＋3，…，＋3的方差；(2)5，5，5，…，的方差13．甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如图所示：(1)分析计算并填写下表：(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：①结合平均数和方差，分析偏离程度；②结合平均数和中位数，分析谁的成绩好些；③结合平均数和命中9环以上的次数，看谁的成绩好些；④结合折线图上两人射击命中环数及走势，分析谁更有潜力．

平均数中位数命中9环以上甲7________1乙________________3专题四十八总体、样本及抽样方法思维导图知识要点知识要点1．抽样方法与总体分布的估计(1)总体：在统计学中，把研究对象的全体叫做总体，把每个研究对象叫做个体，把总体中个体的总数叫做总体容量．总体与个体之间的关系类似于集合与元素的关系．(2)样本：从总体中随机抽取一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目称为样本容量，样本和总体之间的关系类似于子集和集合之间的关系．(3)一般地，从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体被抽到的可能性是相同的，那么这种抽样方法叫简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本．常用的方法有抽签法和随机数表法．2．频率分布样本中所有数据(或数据组)的频数和样本容量的比就是该数据的频率，所有数据(或数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布表、频率分布折线图、茎叶图、频率分布直方图来表示．3．样本的数字特征(1)众数：出现次数最多的数叫做众数．(2)中位数：如果将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据或中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数．(3)平均数：如果有n个数，，，……，，那么叫做这n个数的平均数．(4)标准差与方差：设一组数据，，，……，的平均数为，则其中s2表示方差，s表示标准差．典例解析典例解析【例1】某学校共有学生800名，一年级300人，二年级260人，三年级240人．现要理解全校学生的身体状况，从中抽取200人参加体检，应采用什么抽样方法进行抽取？答案：解：分层抽样方法抽取，一年级抽75人，二年级抽65人，三年级抽60人．【思路点拨】本题考查分层抽样知识点，运用分层抽样的解题步骤解答．【变式训练1】某学校有900名学生，其中女生有400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该学校学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取女生的人数为(A)A．20B．25C．35D．15【例2】某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(A)A．90B．75C．60D．45【思路点拨】产品净重小于100克的概率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则＝0.300，∴n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.【变式训练2】为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地10000名居民进行了调查，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从10000人中再用分层抽样的方法抽出100人做进一步的调查，则在[2.5，3)(小时)时间段内应抽出的人数是(A)A．25B．30C．50D．75【思路点拨】抽出的100人中平均每天看电视的时间在[2.5，3)(小时)时间段内的频率是0.5×0.5＝0.25，∴这10000人中平均每天看电视时间在[2.5，3)(小时)时间段内的人数为10000×0.25＝2500，又抽样比为，故在[2.5，3)(小时)时间段内应抽出人数为2500×＝25.【例3】为了从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加比赛，对他们的射击水平进行测验，两人在相同条件下各射击10次，所得的环数如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4乙：9，5，7，8，7，8，6，6，7，7应该选谁参加比赛____选乙参加比赛________．【思路点拨】这两组数的均值都是7，甲的方差是，乙的方差是，所以应该选乙参加比赛【变式训练3】甲、乙两个样本，甲的样本方差是0.065，乙的样本方差是0.056，那么样本甲与样本乙的波动大小为(A)A．甲的波动比乙大B．甲的波动比乙小C．甲与乙波动相同D．不能确定【例4】在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩7076727072(1)求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差s；(2)若从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率．答案：解题过程见【思路点拨】．(1)根据平均数的个数可得75＝，∴＝90，这6位同学的方差是(25＋1＋9＋25＋9＋225)＝49，∴这6位同学的标准差是7.(2)由题意知本题是一个古典概型，试验发生的事件是从5位同学中选2个，共有＝10(种)结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间(68，75)中，共有＝4(种)结果，根据古典概型概率计算得到P＝＝0.4.【变式训练4】已知一组数据，按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．解：由于数据－1，0，4，x，7，14的中位数为5，∴＝5，x＝6.设这组数据的平均数为，方差为s2，由题意得＝×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5s2＝×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝高考链接高考链接1．(四川省2015年对口升学考试试题)已知甲、乙两组数据的平均数都是10，甲组数据的方差为0.5，乙组数据的方差为0.8，则(B)A．甲组数据比乙组数据的波动大B．甲组数据比乙组数据的波动小C．甲组数据与乙组数据的波动一样大D．甲、乙两组数据的波动大小不能比较【提示】甲的方差是0.5，乙的方差是0.8，∵0.5<0.8，∴甲的数据更稳定，波动较小．2．某职业学校有教师200人，其中高级职称50人，中级职称80人，初级职称70人，教育部门准备开一个20人的教职工座谈会，学校采用分层抽样的方法从全校教师中抽取，则中级职称教师应抽取人数为(C)A．15B．5C．8D．7【提示】由题意得，中级职称教师应抽取人数为×20＝8人3．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如下表所示．依据表中数据判断，最佳人选为(B)成绩分析表

甲乙丙丁平均成绩x96968585标准差s4242A．甲B．乙C．丙D．丁【提示】∵甲、乙的平均值相等，又乙的标准差小于甲，∴乙的波动性较小，较甲稳定，∴最佳人选为乙．同步精练同步精练【选择题】1．在“世界读书日”前夕，为了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是(A)A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本【提示】5000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量2．现有3000棵树，其中400棵松树，现在提取150棵做样本，其中抽取的松树有(B)A．15棵B．20棵C．25棵D．30棵【提示】由分层抽样方法可得．3．有8个数的平均数是11，还有12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是(A)A．11.6B．23.2C．232D．11.5【提示】＝11.6.4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为(B)A．588人B．480人C．450人D．120人【提示】由频率分布直方图可得，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600－(0.005＋0.015)×10×600＝480(人)．5．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(C)A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【提示】由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错误；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错误；甲、乙的成绩的方差分别为×[]＝2，×[]＝，C正确；甲、乙的成绩的极差均为4，D错误．6．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是(C)A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数【提示】A．不是分层抽样，∵抽样比不同；B.不是系统抽样，∵是随机询问，抽样间隔未知；C.五名男生成绩的平均数是,五名女生成绩的平均数是，五名男生成绩的方差为(16＋16＋4＋4＋0)＝8，五名女生成绩的方差为(9＋4＋4＋9＋4)＝6，显然，五名男生成绩的方差大于五名女生成绩的方差；D.由于五名男生和五名女生的成绩无代表性，不能确定该班男生和女生的平均成绩．【填空题】7．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝___0.030_____.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为__3______人．【提示】根据频率之和等于1，可知(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)×10＝1，解得a＝0.030；身高在[120，150]内的频率为0.6，人数为60人，抽取比例是，而身高在[140，150]内的学生人数是10，故应该抽取10×＝3(人)．8．某中学高一年级有1400人，高二年级有1320人，高三年级有1280人，从该中学学生中抽取一个容量为n的样本，每人被抽到的机会为0.02，则n＝___8_____.【提示】三个年级的总人数为1400＋1320＋1280＝4000，每人被抽到的机会均为0.02，∴n＝4000×0.02＝80.9．某市为了分析全市9800名初中毕业生的数学考试成绩，共抽取50本试卷，每本试卷30份，则样本容量为___1500_____．【提示】样本容量的概念．10．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的数字特征(众数、中位数、平均数、方差)对应相同的是__方差______．【提示】由s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，可知B样本数据每个变量增加2，平均数也增加了，但s2不变，故方差不变．【解答题】11．某小区为了提高区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者对其进行调查，将他们的年龄分成6段：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60