高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题22函数嵌套问题(原卷版+解析)

微专题22函数嵌套问题【题型归纳目录】题型一：“”型问题题型二：“”型问题题型三：复合函数的零点问题题型四：复合函数的零点问题题型五：含参二次函数复合型零点问题题型六：零点求和问题题型七：其他型【典型例题】题型一：“”型问题例1．设函数，是函数的所有零点中的最大值，若，，则．例2．设函数，则当时，函数的最大值等于，若是函数的所有零点中的最大值，且，，则．例3．已知函数，则函数的零点个数为A．3 B．4 C．5 D．6变式1．已知函数，则函数的零点个数为A．4 B．7 C．8 D．9变式2．已知函数，则函数的零点个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式3．已知函数，集合，，，，若为单元素集，试求的值．题型二：“”型问题例4．已知函数，（1）求（1）的值；（2）若方程有4个实数根．求实数的取值范围．例5．设函数，，．（1）求函数的单调递增区间．（2）若关于的方程有4个不同的实数很，求实数的取值范围．例6．设函数，，，求函数的单调递增区间．变式4．已知函数，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是．变式5．已知函数，，则当方程有6个解时的取值范围是A． B．或 C． D．题型三：复合函数的零点问题例7．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点，已知函数．（1）当，时，求函数的不动点；（2）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值．例8．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数．当，时，求函数的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围．例9．设函数，，为自然对数的底数），若存在，使（b）成立，则的取值范围是．变式6．设函数．若对任意，均有，则实数的取值范围是．变式7．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，记，，则下列说法错误的是A．对于函数，有成立 B．若是二次函数，且是空集，则为空集 C．对于函数，有成立 D．对于函数，存在，使得成立变式8．对于函数，若，则称为函数的“不动点”：若，则称为的“稳定点”，如果函数的稳定点恰是它的不动点，那么的取值范围为A． B． C． D．变式9．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，变式10．设函数．若存在，，使（b）成立，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，变式11．设函数，为自然对数的底数），若存在，使（b）成立，则的取值范围A．， B．， C．， D．，变式12．设函数，若存在，，使得（b）成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，变式13．设函数．若方程有解，则的取值范围为A． B． C． D．，题型四：复合函数的零点问题例10．设，都是定义在上的函数，若函数有零点，则函数不可能是A． B． C． D．例11．和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则不可能是A． B． C． D．例12．函数、都是定义在上的函数，若方程有解，则函数不可能是A． B． C． D．题型五：含参二次函数复合型零点问题例13．设定义域为的函数，若关于的方程有7个不同的实数解，则A． B． C．或2 D．例14．设定义域为的函数若关于的方程有5个不同的实数解，则A．6 B．4或6 C．6或2 D．2例15．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则值为A．0 B．1 C． D．不能确定变式14．设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是A． B． C． D．变式15．设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是A． B． C． D．变式16．设定义域为的函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围为A． B．， C．， D．变式17．（多选题）函数的图象关于直线对称，据此可推测，对任意的非零实数，，，，，关于的方程的解集不可能是A．， B．，3，6， C．，2，3， D．，4，16，变式18．设定义域为的函数，找出一组和的值，使得关于的方程有7个不同的实根．变式19．设定义域为的函数，（2），．（1）求的解析式；（2）若关于的方程有7个不同的实数解，求实数的值．题型六：零点求和问题例16．设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的解，，，则的值是A．1 B．3 C．5 D．10例17．设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的实数根，，，则等于A．5 B．4 C．1 D．0例18．设定义域为的函数，则关于的方程有5个不同的实数解，2，3，4，，则A． B． C．2 D．1变式20．（多选题）设定义域为的函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，，，且．下列说法正确的是A． B． C． D．变式21．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的解，，，，，则．题型七：其他型例19．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间，上有两解，则实数的取值范围是A． B． C． D．例20．已知定义域为的单调函数，若对任意，都有”，则方程的解的个数是A．3 B．2 C．1 D．0例21．已知定义域为的单调函数，若对任意的，都有，则方程的解的个数是．微专题22函数嵌套问题【题型归纳目录】题型一：“”型问题题型二：“”型问题题型三：复合函数的零点问题题型四：复合函数的零点问题题型五：含参二次函数复合型零点问题题型六：零点求和问题题型七：其他型【典型例题】题型一：“”型问题例1．设函数，是函数的所有零点中的最大值，若，，则．【解析】解：函数，当时，；作函数的图象如下：解，得到或，又是函数的所有零点中的最大值，所以，且（2），（3），因为，，所以，故答案为：2．例2．设函数，则当时，函数的最大值等于，若是函数的所有零点中的最大值，且，，则．【解析】解：当时，；作函数的图象如下，解得，或；又是函数的所有零点中的最大值，；且（2），（3）；故．故答案为：1，2．例3．已知函数，则函数的零点个数为A．3 B．4 C．5 D．6【解析】解：令，可得或或，函数的图象如图所示，由图象可知，当时，有1个解；当时，有3个解；当时，有1个解．综上所述，函数的零点个数为5个．故选：．变式1．已知函数，则函数的零点个数为A．4 B．7 C．8 D．9【解析】解：令，解得或，则令，可得或，作出函数的图象如图所示，由图象可知，有3个零点，有3个零点，有1个零点，故函数有7个零点．故选：．变式2．已知函数，则函数的零点个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】解：设，解，得或，①当时，由，得或，即得或；②当时，由得，即或，即或，综合①②得：函数的零点为：或或或共4个；故选：．变式3．已知函数，集合，，，，若为单元素集，试求的值．【解析】集合，，为单元集，，，，，当时，不符题意，故，当时，△，解得：，，△，，方程无解，不符为单元集，故．方程有2个不相等的实数解：，当时有，解得：或（舍去）．同理当时有：或（舍去）．综上，．题型二：“”型问题例4．已知函数，（1）求（1）的值；（2）若方程有4个实数根．求实数的取值范围．【解析】解：（1）（1），（1），即（1）．（2）令，则原方程化为，易知方程在内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数与的图象有2个不同的交点，作出函数的图象，如图；（1），，由图象可知，当时，函数，与有2个不同的交点，即所求的取值范囿是，．例5．设函数，，．（1）求函数的单调递增区间．（2）若关于的方程有4个不同的实数很，求实数的取值范围．【解析】解：（1）令得，，或；当，或时，，当时，；；①当时，函数为增函数；时，函数为减函数；②当时，令，，设，则：，，，时，，为减函数，，时，，为增函数；令，则，当时，为增函数，为减函数，故为减函数；当时，为增函数，为增函数，故为增函数；当时，为减函数，为增函数，故为减函数；当时，为减函数，为减函数，故为增函数；综上所述，函数的单调递增区间为，，，，，；（2）由（1）可得，当或时，；时，取得极大值；时，取得极小值1；时，取得极小值1．由方程有4个不同的实数很，即为的图象与直线有4个交点．则的取值范围是，．例6．设函数，，，求函数的单调递增区间．【解析】解：令得，，或；当，或时，，当时，；；（1）当时，函数为减函数；（2）当时，令，，设，则：，，；时，，为减函数，时，，为增函数；令，则，当时，为增函数，为减函数，故为减函数；当时，为增函数，为增函数，故为增函数；当时，为减函数，为增函数，故为减函数；当时，为减函数，为减函数，故为增函数；（3）当时，为增函数；综上所述，函数的单调递增区间为，，，．变式4．已知函数，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是．【解析】解：由题意可得函数与函数有4个交点，如图所示：，结合图象可得，故答案为，．变式5．已知函数，，则当方程有6个解时的取值范围是A． B．或 C． D．【解析】解：函数，，，令得：，或，故当时，函数取极大值1，当时，函数取极小值；则与的交点情况为：当，或时，有一个交点；当，或时，有两个交点；当时，有三个交点；与的交点情况为：当时有两个交点，一个在区间上，一个在区间上；当时有两个交点，一个为，一个为；当时有两个交点，一个在区间上，一个在区间，上．若方程有6个解，有两个根，均在上，故，故选：．题型三：复合函数的零点问题例7．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点，已知函数．（1）当，时，求函数的不动点；（2）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值．【解析】解：（1），由，解得或，所以所求的不动点为或．（2）令，则①，由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△，即恒成立，则△，故．（3）设，，，，，，又的中点在该直线上，所以，，而，应是方程①的两个根，所以，即，，当时，．例8．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数．当，时，求函数的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）当，时，，因为为的不动点，所以，即解得，，所以和3是的不动点．（Ⅱ）因为恒有两个相异的不动点，即方程恒有两个不同的解，即有两个不相等的实数根，所以恒成立，即对任意，恒成立，所以，所以，所以，所以的取值范围为．例9．设函数，，为自然对数的底数），若存在，使（b）成立，则的取值范围是．【解析】解：存在，，使（b）成立存在，，使（b）（b）即函数与其反函数在，上有交点在，上为增函数函数与其反函数在，的交点在直线上，即函数与其反函数的交点就是与的交点令：，则方程在，上一定有解，．故答案为：．变式6．设函数．若对任意，均有，则实数的取值范围是．【解析】解：函数．若对任意，均有，即为，即，可得恒成立，由，即有，故答案为：．变式7．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，记，，则下列说法错误的是A．对于函数，有成立 B．若是二次函数，且是空集，则为空集 C．对于函数，有成立 D．对于函数，存在，使得成立【解析】解：对于：函数，，故正确；对于：若为二次函数，是空集，则对任意实数，方程无解，这样也无解，所以也为空集，故正确；对于：函数为单调减函数，任取，则，而，即，反之，任取，则，若，则，出现矛盾，若，则，出现矛盾，所以，则，综上所述，，故正确；对于：对于函数，由，得，当时，，所以，，又，所以，所以，故错误；故选：．变式8．对于函数，若，则称为函数的“不动点”：若，则称为的“稳定点”，如果函数的稳定点恰是它的不动点，那么的取值范围为A． B． C． D．【解析】解：为函数的“不动点”，则方程，即有实根，故△，，如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根为方程，即的实根，方程可化为：，即，利用平方差公式分解因式得，，，函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，方程无实数根，，，综上，，故选：．变式9．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】解：为函数的“不动点”，则方程，即有实根，故△，，如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根为方程，即的实根，方程可化为：，即，利用平方差公式分解因式得，，，函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，方程无实数根，，，当时，解得，此时的解为，，两方程具有相同的实根，能同时满足有实根且有实根，因此满足题意．综上，，故选：．变式10．设函数．若存在，，使（b）成立，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】解：由（b），可得（b）（b），其中是函数的反函数因此命题“存在，使（b）成立”，转化为“存在，，使（b）（b）”，即的图象与函数的图象有交点，且交点的横坐标，，的图象与的图象关于直线对称，的图象与函数的图象的交点必定在直线上，由此可得，的图象与直线有交点，且交点横坐标，，根据，化简整理得．，，即，，，根据二次函数的性质得出：即实数的取值范围为，．故选：．变式11．设函数，为自然对数的底数），若存在，使（b）成立，则的取值范围A．， B．， C．， D．，【解析】解：因为存在，，使（b）成立，所以存在，，使（b）（b），即函数与其反函数在，上有交点，因为函数在，上为单调递增函数，所以函数与其反函数在，的交点在直线上，即函数与其反函数的交点即为与的交点，令，即在，上有解，所以在，上有解，因为在，上单调递增，所以，则的取值范围为，．故选：．变式12．设函数，若存在，，使得（b）成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】解：由（b），可得（b）（b），其中是函数的反函数因此命题“存在，使（b）成立”，转化为“存在，，使（b）（b）”，即的图象与函数的图象有交点，且交点的横坐标，，的图象与的图象关于直线对称，的图象与函数的图象的交点必定在直线上，由此可得，的图象与直线有交点，且交点横坐标，，根据，化简整理得．记，，由，，可得，，即．即实数的取值范围为，．故选：．变式13．设函数．若方程有解，则的取值范围为A． B． C． D．，【解析】解：设，，则方程等价为，即，，即，在时有解，即，在时成立，设，当时，取得最大值，，即，故选：．题型四：复合函数的零点问题例10．设，都是定义在上的函数，若函数有零点，则函数不可能是A． B． C． D．【解析】解：函数有零点，方程有解，，有解，若，则可判断有解，故成立；若，则可判断有解，故成立；若，则可判断有解，故成立；若，则可判断无解，故不成立；故选：．例11．和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则不可能是A． B． C． D．【解析】解：因为，所以，得，即，所以与是等价的，即有解，也有解，也就是说有解得都是有可能的，．当时，成立；．当时，结合图象有解；．当时，即，当时，得，舍去；当时，无解，故方程无解，错误；．当时，得有解．故选：．例12．函数、都是定义在上的函数，若方程有解，则函数不可能是A． B． C． D．【解析】解：方程有解，得方程有实根，直接把四个答案分别代入，发现只有无解；题目要我们选不可能的，所以只能选无解的那个．故选：．题型五：含参二次函数复合型零点问题例13．设定义域为的函数，若关于的方程有7个不同的实数解，则A． B． C．或2 D．【解析】解：当时，由得或，当时，，由得均符合，由得，均符合，当时，，由得，均符合，由得（舍，符合，故时，关于的方程有7个不同的实数解，所以排除和；当时，由得或，当时，已经解出，，均符合；当时，由，解得，由得，故时，原方程只有5个不同实根，不符合题意，故排除．故选：．例14．设定义域为的函数若关于的方程有5个不同的实数解，则A．6 B．4或6 C．6或2 D．2【解析】解：题中原方程有5个不同的实数根，结合函数的图象可得，令，则关于的方程有一根为，另一个根大于4或等于0．把代入方程求得或．当时，关于的方程有一根为，另一个根等于1，不满足条件．当时，关于的方程有一根为，另一个根等于9，满足条件．故选：．例15．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则值为A．0 B．1 C． D．不能确定【解析】解：作函数的图象，关于的方程有5个不同的实数解，方程有2个不同的实数解1，，，，故，故选：．变式14．设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是A． B． C． D．【解析】解：作出的图象如图：设，则方程等价为，由图象可知，若关于的方程有五个不同的实数解，即要求对应于等于某个常数有3个不同实数解，故先根据题意作出的简图：由图可知，只有当时，它有三个根．所以有：①．再根据有两个不等实根，则判别式△，解得，故或，故选：．变式15．设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是A． B． C． D．【解析】解：题中原方程有且只有5个不同实数解，即要求对应于等于某个常数有3个不同实数解，故先根据题意作出的简图：由图可知，只有当时，它有三个根．所以有：①．再根据有两个不等实根，得：△②结合①②得：或．故选：．变式16．设定义域为的函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围为A． B．， C．， D．【解析】解：作函数的图象如下，，，或，结合图象可知，方程有且仅有一个根，故方程有3个不同的根，故，故，故选：．变式17．（多选题）函数的图象关于直线对称，据此可推测，对任意的非零实数，，，，，关于的方程的解集不可能是A．， B．，3，6， C．，2，3， D．，4，16，【解析】解：的对称轴为直线，设方程的解为，，则必有，，那么从图象上看，，是一条平行于轴的直线，它们与有交点，由对称性，则方程的两个解，要关于直线对称，即，同理方程的两个解，也要关于直线对称，即，在中，可以找到对称轴为直线，在中，可以找到对称轴为直线，在中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案不可能，在中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案不可能，故选：．变式18．设定义域为的函数，找出一组和的值，使得关于的方程有7个不同的实根．【解析】解：的图象如图所示：，满足条件，理由如下：设，，由图象可得以上有关于的方程必须有一解为1，另一解在区间中，才会使得关于的方程有7个解．其中，有3个解，，有四个解．所以可令，，即可得方程，则，．故答案为：，．变式19．设定义域为的函数，（2），．（1）求的解析式；（2）若关于的方程有7个不同的实数解，求实数的值．【解析】解：（1）由题意，（2）；，；则，，；故；（2）作的图象如下，则若使关于的方程有7个不同的实数解，则有两个不同的实数解，且有一个解为1或4；若1是得解，则；故或；若，则的两个解为1，0；不成立；若，则的两个解为1，4；由图知不成立；若4是得解，则；故或；若，则的两个解为4，9；不成立；故不存在．题型六：零点求和问题例16．设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的解，，，则的值是A．1 B．3 C．5 D．10【解析】解：令，做出的函数图象如下：由图象可知当时，有三解，当或时，有两解，当时，方程无解．关于的方程有三个不同的解，，，，当时，令解得，当时，令解得，当时，显然是的解．不妨设，则，，，．故选：．例17．设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的实数根，，，则等于A．5 B．4 C．1 D．0【解析】解：分段函数的图象如图所示：由图可知，只有当时，它有三个根．由，即，解得，或．关于的方程有且只有3个不同实数解，解分别是2，1，0，即，，，，故选：．例1