高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题09函数的单调性问题(原卷版+解析)

微专题09函数的单调性问题【方法技巧与总结】一．证明函数单调性的步骤（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．二．函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．三．单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．四．复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．【题型归纳目录】题型一：直接判断函数单调性题型二：定义法证明单调性题型三：证明抽象函数的单调性题型四：求单调区间题型五：根据单调性求参数题型六：根据图像判断单调性题型七：复合函数的单调性题型八：比较函数值的大小关系【典型例题】题型一：直接判断函数单调性例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中，在上单调递增的函数是（

）A． B． C． D．例2．(2023·全国·高一课时练习）下列函数中，在上为减函数的是（

）A． B．C． D．例3．(2023·江苏·高一）设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要题型二：定义法证明单调性例4．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数．(1)求证：在上是增函数；(2)当时，求不等式的解集．例5．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性．例6．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知函数.(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；(2)求函数在上的最大值.例7．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）已知函数满足，且.(1)求和函数的解析式；(2)用定义法证明在其定义域的单调性.题型三：证明抽象函数的单调性例8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.(1)求的值；(2)证明：是定义域上的减函数；(3)若，解不等式.例9．(2023·河北沧州·高一开学考试）设是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数都有；②当时，；③.(1)求的值；(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；(3)如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.例10．(2023·辽宁·育明高中高一期末）已知函数对任意，都有，且当时，．(1)求证：在上是增函数；(2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值；(3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．例11．(2023·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试）已知定义在上的函数满足：①当时，，②对任意都有，③(1)求的值.(2)求证：对任意(3)证明：在上是増函数.例12．(2023·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③(1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；(3)求满足的的取值集合．例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．题型四：求单调区间例14．(2023·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：(1)；(2)．例15．(2023·黑龙江·哈九中高一阶段练习）已知函数的解析式.(1)求；(2)若，求的值；(3)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.例16．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的单调增区间为_______．例17．(2023·全国·高一专题练习）函数的单调增区间是（）A． B．C． D．题型五：根据单调性求参数例18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数.若的减区间为，则实数a的值为___________；若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为___________.例19．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.例20．(2023·辽宁·同泽高中高一开学考试）已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．例21．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．例22．(2023·全国·高一课时练习）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．例23．(2023·全国·高一课时练习）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（

）A．， B． C．， D．例24．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（

）A．， B．，C．， D．，题型六：根据图像判断单调性例25．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（

）A．函数的定义域为B．函数的值域为C．此函数在定义域内是增函数D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应例26．(2023·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（

）A．函数的定义城为B．函数的值域为C．当时，有两个不同的值与之对应D．当、时，例27．(2023·重庆复旦中学高一期中）已知，下列说法正确的是（

）A．在区间单调递增 B．在区间单调递减C．有最小值 D．没有最大值例28．(2023·山东泰安·高一期中）设函数，则（

）A．的最大值为B．在上单调递增，在上单调递减C．的最小值为D．在上单调递增，在上单调递减题型七：复合函数的单调性例29．(2023·四川巴中·高一期中）的单调增区间为（

）A． B． C． D．例30．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（

）A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1]例31．(2023·江苏·常州市第一中学高一期中）若函数则，该函数的单调递减区间是（

）．A． B． C． D．例32．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．例33．(2023·河北·邯郸市旭日中学高一期中）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．题型八：比较函数值的大小关系例34．(2023·全国·高一课时练习）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（

）A． B． C． D．例35．(2023·浙江·永嘉中学高一竞赛）设，，，则(

)A． B． C． D．例36．(2023·上海市建平中学高一期中）设，则下列说法中正确的是（

）A． B． C． D．例37．(2023·辽宁·沈阳市第八十三中学高一开学考试）若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（

）A． B． C． D．例38．(2023·全国·高一课时练习）函数在是增函数，若，则有

（

）A． B．C． D．题型九：根据函数单调性解不等式例39．(2023·全国·高一课时练习）若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．例40．(2023·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|<1的解集的补集是（

）A．（-1，2） B．（1，4）C．（-∞，1]∪[4，+∞） D．（-∞，-1]∪[2，+∞）例41．(2023·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（

）A． B． C． D．例42．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．例43．(2023·全国·高一课时练习）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）【过关测试】一、单选题1．(2023·全国·高一课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．(2023·江苏省如皋中学高一期末）解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数以下结论错误的是（

）A． B．函数不是周期函数C． D．函数在上不是单调函数3．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．5．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．(2023·全国·高一课时练习）若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=是R上的递减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题8．(2023·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（

）A．在区间上单调递减 B．单调递增区间为C．最大值为2 D．没有最小值9．(2023·黑龙江·哈尔滨七十三中高一期中）已知，，设，则关于的说法正确的是（

）A．最大值为3，最小值为B．最大值为，无最小值C．单调递增区间为和，单调递减区间为和D．单调递增区间为和，单调递减区间为和10．(2023·广东·普宁市第二中学高一阶段练习）下列四个函数中，在上为增函数的是（

）A． B．C． D．三、填空题11．(2023·浙江浙江·高一期中）若函数在区间上是单调函数，则实数t的取值范围是__________．12．(2023·江苏·高一）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.四、解答题13．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）已知函数(常数).(1)若，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;(2)若该函数在区间上是严格减函数，且在上存在自变量，使得函数值为正，求整数的值.14．(2023·全国·高一专题练习）已知函数在定义域上单调递增(1)求的取值范围；(2)若方程存在整数解，求满足条件的的个数.15．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.(1)证明：当时，；(2)判断的单调性并加以证明；(3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.微专题09函数的单调性问题【方法技巧与总结】一．证明函数单调性的步骤（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．二．函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．三．单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．四．复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．【题型归纳目录】题型一：直接判断函数单调性题型二：定义法证明单调性题型三：证明抽象函数的单调性题型四：求单调区间题型五：根据单调性求参数题型六：根据图像判断单调性题型七：复合函数的单调性题型八：比较函数值的大小关系【典型例题】题型一：直接判断函数单调性例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中，在上单调递增的函数是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】对于，是二次函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；对于，是幂函数，在上单调递增，符合题意；对于，是幂函数，在上单调递增，不符合题意；对于，，在区间上为减函数，不符合题意故选：B例2．(2023·全国·高一课时练习）下列函数中，在上为减函数的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】A.由一次函数的性质知：在上为增函数，故错误；B.由二次函数的性质知：在的图像开口向下，对称轴为，所以函数在递增，在上递减，故错误；C.由反比例函数的性质知：在上递增，在递增，则在上为增函数，故错误；D.由知：函数在上为减函数，故正确；故选：D.例3．(2023·江苏·高一）设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要答案：A【解析】若函数在上严格递增，对任意的、且，，由不等式的性质可得，即，所以，在上严格递增，所以，“在上严格递增”“在上严格递增”；若在上严格递增，不妨取，则函数在上严格递增，但函数在上严格递减，所以，“在上严格递增”“在上严格递增”.因此，“在上严格递增”是“在上严格递增”的充分不必要条件.故选：A.题型二：定义法证明单调性例4．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数．(1)求证：在上是增函数；(2)当时，求不等式的解集．【解析】（1）任取，且，则，所以，所以，所以在区间上单调递增；（2）当时，，由可得，解得，故不等式的解集为例5．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性．【解析】在区间上单调递增，理由如下：任取，，且，．因为，所以，，，所以所以，所以，即，所以函数在区间上单调递增．例6．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知函数.(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；(2)求函数在上的最大值.【解析】（1）证明：设对任意的，则由题设可得，，，即.故函数在上为减函数..（2）由题知，又的定义域为关于原点对称，是奇函数.又由（1）得在上为减函数，在上也是减函数.函数在上的最大值为.例7．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）已知函数满足，且.(1)求和函数的解析式；(2)用定义法证明在其定义域的单调性.【解析】（1）由，则有，又由，则；所以.（2）证明：在其定义域为单调增函数.证明：，其定义域为，令，所以，所以，因为，，所以，所以在其定义域为单调增函数.题型三：证明抽象函数的单调性例8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.(1)求的值；(2)证明：是定义域上的减函数；(3)若，解不等式.【解析】（1）令，则，解得：；（2）设，则，，，，是定义域上的减函数；（3）由得：，即，又，，是定义域上的减函数，，解得：；又，，的解集为.例9．(2023·河北沧州·高一开学考试）设是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数都有；②当时，；③.(1)求的值；(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；(3)如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.【解析】(1)根据题意，令，有对任意都成立，所以.因为可得，；(2)在上是单调递减的函数，理由如下：对任意的，有：，，所以在上是单调递减的函数.(3)，由于在上是单调递减，只需要有解，即，又因为是正数，只需要，即或（舍）当时，因为二次函数的对称轴是，一定有，，所以在内必定有解.综上可知，的取值范围是.例10．(2023·辽宁·育明高中高一期末）已知函数对任意，都有，且当时，．(1)求证：在上是增函数；(2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值；(3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．【解析】(1)依题意，且时，，令，则，，任取，，由于，所以，所以，所以在上递增.(2)由（1）知，在上递增，，.(3)依题意，在上递增，.，，，当时，不等式的解集为空集.当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.例11．(2023·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试）已知定义在上的函数满足：①当时，，②对任意都有，③(1)求的值.(2)求证：对任意(3)证明：在上是増函数.【解析】（1）因为，，所以；（2）证明：令，则，所以，当时，，所以，则，所以，所以对任意；（3）证明：设，则，所以，由，所以在上是増函数.例12．(2023·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③(1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；(3)求满足的的取值集合．【解析】(1)得，则，而，且，则；(2)取定义域中的任意的，，且，，当时，，，，在上为减函数．(3)由条件①及（1）的结果得，，，，，解得，故的取值集合为.例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．【解析】证明：任取、，且，则．因为，所以，所以，即，所以函数是上的增函数．题型四：求单调区间例14．(2023·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：(1)；(2)．【解析】（1）画出的图象如图所示，可得其单调递增区间为和，无单调递减区间．（2），作出该函数的图象如图所示，观察图象，知该函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．例15．(2023·黑龙江·哈九中高一阶段练习）已知函数的解析式.(1)求；(2)若，求的值；(3)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.【解析】（1）函数的解析式．，；（2）因为且，所以，解得，，解得（舍去），，解得，综上或．（3）画出函数的图象如图：由图可知，函数的单调递增区间，单调递减区间为，函数的值域．例16．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的单调增区间为_______．答案：和.【解析】解析:时，，对称轴，开口向上，在递增，时，，对称轴，开口向下，在递增，函数的递增区间是和.故答案为：和.例17．(2023·全国·高一专题练习）函数的单调增区间是（）A． B．C． D．答案：C【解析】的图象是由的图象沿轴向右平移个单位，然后沿轴向下平移个单位得到，如下图的单调增区间是．故选：C.题型五：根据单调性求参数例18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数.若的减区间为，则实数a的值为___________；若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为___________.答案：

【解析】由题意知，解得，所以实数a的值为.当时，在区间上是减函数，所以满足题意；当时，因为在区间上是减函数，所以，解得.综上所述，实数a的取值范围为.故答案为：；.例19．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.答案：【解析】因为函数，故当时，单调递减，当时，单调递增.因为函数的增区间是，所以，所以.故答案为：.例20．(2023·辽宁·同泽高中高一开学考试）已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．答案：【解析】由题意，的对称轴为，即或，或，故答案为：

.例21．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】当a=0时，，不符合题意.当a>0时，设，则函数，因为在区间上单调递减，要使函数在上单调递减，则，解得.当a<0时，在区间上为增函数，要使函数在上单调递减，则，解得a<0.综上，a的取值范围为.故B，C，D错误.故选：A.例22．(2023·全国·高一课时练习）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由于函数在定义域上单调递增，所以函数在定义域上是单调递增函数．当时，函数在定义域上不单调，不符合题意；当时，函数图象的对称轴为，当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，当时，函数在区间上单调递增，要使函数在定义域上单调递增，则需，解得．故实数t的取值范围为．故选：A例23．(2023·全国·高一课时练习）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（

）A．， B． C．， D．答案：D【解析】根据题意，任意实数都有成立，所以函数是上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，所以，解得：，所以实数的取值范围是：,.故选：D.例24．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（

）A．， B．，C．， D．，答案：AC【解析】在上单调递增,则满足:,即,故，满足，，满足，故选:AC题型六：根据图像判断单调性例25．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（

）A．函数的定义域为B．函数的值域为C．此函数在定义域内是增函数D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应答案：BD【解析】由图象知：A.函数的定义域为，故错误；B.函数的值域为，故正确；C.函数在，上递增，但在定义域内不单调，故错误；D.对于任意的，都有唯一的自变量与之对应，故正确；故选：BD例26．(2023·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（

）A．函数的定义城为B．函数的值域为C．当时，有两个不同的值与之对应D．当、时，答案：D【解析】对于A：由图象可知：函数在没有图象，故定义城不是，故A错误；对于B：由图象可知函数的值域为，故B错误；对于C：由图象可知，当时，有个不同的值与之对应，故C错误；对于D：由图象可知函数在上单调递增，所以，当、时，不妨设，则，则，故D正确.故选：D.例27．(2023·重庆复旦中学高一期中）已知，下列说法正确的是（

）A．在区间单调递增 B．在区间单调递减C．有最小值 D．没有最大值答案：B【解析】作出图像如下实线部分：由图可知：在区间，上单调递增，在，上单调递减，故A错误，B正确没有最小值，有最大值1，故CD错误故选：B.例28．(2023·山东泰安·高一期中）设函数，则（

）A．的最大值为B．在上单调递增，在上单调递减C．的最小值为D．在上单调递增，在上单调递减答案：B【解析】函数的定义域为，其图象如下图所示：由图象知：A.无最大值，故错误；B.在上单调递增，在上单调递减，故正确；C.无最小值，故错误；D.在上单调递减，在上单调递增，故错误；故选：B题型七：复合函数的单调性例29．(2023·四川巴中·高一期中）的单调增区间为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由，得或，则函数的定义域为，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域内为减函数，所以在上递增，在上递减，所以的单调增区间为，故选：C例30．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（

）A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1]答案：D【解析】由，得，解得，令，则，因为在上递增，在上递减，而在上递增，所以在上递增，在上递减，所以的单调递增区间是，故选：D例31．(2023·江苏·常州市第一中学高一期中）若函数则，该函数的单调递减区间是（

）．A． B． C． D．答案：D【解析】令，若，可得，∴在上递增，在上递减；又在定义域上为递减，∴在上递减.故选：D例32．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】的定义域为．函数由与复合而成，当时，单调递增，当时，单调递减，又在上单调递增，所以函数的单调递增区间为．故选：C例33．(2023·河北·邯郸市旭日中学高一期中）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由，即，即解得，即函数的定义域为，函数在上单调递减，在定义域上单调递增；由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为故选：B．题型八：比较函数值的大小关系例34．(2023·全国·高一课时练习）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由可得函数在上是增函数，所以.故选：D.例35．(2023·浙江·永嘉中学高一竞赛）设，，，则(

)A． B． C． D．答案：A【解析】因函数在上单调递增，故，即.故选:A.例36．(2023·上海市建平中学高一期中）设，则下列说法中正确的是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】令，因为在上递增，且，所以函数在在上递减，所以，即，所以，故A正确，B错误；因为，所以，故C错误；因为，当且仅当，即时，取等号，又，所以，故D错误.故选：A.例37．(2023·辽宁·沈阳市第八十三中学高一开学考试）若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】二次函数的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，且当时，对于函数，随着的增大而增大，又因为，因此，.故选：B.例38．(2023·全国·高一课时练习）函数在是增函数，若，则有

（

）A． B．C． D．答案：C【解析】，又函数在上是增函数，故故选：C.题型九：根据函数单调性解不等式例39．(2023·全国·高一课时练习）若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因为函数在R单调递增，且，所以当时，，不等式可化为，所以，当时，，不等式可化为，所以满足条件的不存在，当时，，不满足关系，所以满足的x的取值范围是，故选：D.例40．(2023·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|<1的解集的补集是（

）A．（-1，2） B．（1，4）C．（-∞，1]∪[4，+∞） D．（-∞，-1]∪[2，+∞）答案：D【解析】不等式可变形为，∵，是函数图象上的两点，∴，，∴等价于不等式，又因为函数是上的增函数，∴等价于，解得，∴不等式的解集为：，∴其补集为：．故选：D．例41．(2023·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】可转化为，不妨设，则，∴.令，由单调性定义可知，为上的增函数.∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即x的取值范围为.故选：B.例42．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，所以，解得．故选：B例43．(2023·全国·高一课时练习）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）答案：A【解析】因为在定义域上是减函数，所以由，故选：A【过关测试】一、单选题1．(2023·全国·高一课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】当a=0时，函数在R上单调递增，所以在上单调递增，则a＝0符合题意；当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数的性质知，，解得.综上，实数a的取值范围是,故选:A.2．(2023·江苏省如皋中学高一期末）解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数以下结论错误的是（

）A． B．函数不是周期函数C． D．函数在上不是单调函数答案：B【解析】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，对于任意非零有理数，若为任意有理数，则也为有理数，所以，若为任意无理数，则也为无理数，所以，所以任意非零有理数，为实数，都有，所以有理数为函数的周期，所以B错误，对于C，当为有理数时，，当为无理数时，，所以，所以C正确，对于D，对于任意，且，若都为有理数或都为无理数，则，若为有理数，为无理数，则，若为无理数，为有理数，则，所以函数在上不是单调函数，所以D正确，故选：B3．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】画出的图象如图所示，要使不等式成立，必有或，由可得；由可得，综上可得.故选：C.4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因在上单调递增，在上单调递增，因此，函数在R上单调递增，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：C5．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由题设，恒成立，令，则，所以只需即可，故.故选：D6．(2023·全国·高一课时练习）若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】在R上单调递增，在上单调递增.要使函数是定义在R上的增函数，只需，解得：或.所以实数m的取值范围是.故选：B7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=是R上的递减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为在上单调递减，且最小值为-1.所以要使函数f(x)=是R上的递减函数，只需，解得：.故选：C二、多选题8．(2023·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（

）A．在区