2023-2024学年江西省九江市六校高一下学期期末联考数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省九江市六校高一下学期期末联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是(

)A.通过圆台侧面一点，有无数条母线

B.棱柱的底面一定是平行四边形

C.圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形

D.用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台2.sin 600°+tan 240°A.−32 B.32 3.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则(

)A.(x+1)2+y2=1 B.(x−1)24.已知|a|=|b|=2，a⋅A.1 B.3 C.2 D.35.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l⊄α,l⊄β,则(

)A.α // β且l// α B.α⊥β且l⊥β

C.α与β相交，且交线垂直于l D.α与β相交，且交线平行于l6.已知函数y=3sin(x+π5)图象为C，为了得到函数y=3sinA.先向右平移π5个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B.先向右平移25π个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C.先将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π5个单位长度

D.7.已知A(1,2)，B(3,4)，C(−2,2)，D(−3,5)，则向量AB在向量CD上的投影向量的坐标为(

)A.(25,65) B.(−8.已知函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)在区间[0,π3]A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知集合M={m|m=in,n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是A.(1−i)(1+i) B.1−i1+i C.1+i1−i 10.已知a≠e，|e|=1，满足：对任意t∈R，恒有|A.a⋅e=0 B.e⋅(a−11.如图，在棱长均相等的正四棱锥P−ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论中正确的是(

)

A.PC/​/平面OMN

B.平面PCD//平面OMN

C.OM⊥PA

D.直线PD与直线MN所成的角的大小为90三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知i是虚数单位，若复数(1−2i)(a+i)是纯虚数，则实数a的值为

．13.如图所示为水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，用斜二测画法画出它的直观图A′B′C′O′，则点B′到x′轴的距离为

．

14.已知函数f(x)=asinx+bcosx+c的图象过点(0,0)和(−π6,c)且当x∈[0,π3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z1=−2+i，z1(1)求复数z(2)若复数z3=(3−z216.(本小题15分)

如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90∘．

(1)证明：平面PAB⊥平面PAC;

(2)设DO=2，圆锥的侧面积为3π17.(本小题15分)平面内有向量OA=(1,7)，OB=(5,1)，OP=(2,1)，点Q(1)当QA⋅QB取最小值时，求OQ(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值．18.(本小题17分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点M为单位圆上的一点，且∠AOM=π3，点M沿单位圆按逆时针方向旋转θ角后到点N(a,b)．

(1)当θ=54π时，求(2)设θ∈[π4,1319.(本小题17分)已知三棱锥P−ABC的棱AP、AB、AC两两互相垂直，且AP=AB=AC=4(1)若点M、N分别在线段AB、AC上，且AM=MB，AN=3NC，求二面角P−MN−A的余弦值;(2)若以顶点P为球心，8为半径作一个球，球面与该三棱锥P−ABC的表面相交，试求交线长是多少?

答案解析1.C

【解析】解：对于A，经过圆台侧面上一点只有一条母线，A错误；

对于B，棱柱的底面是多边形，不一定是平行四边形，B错误；

对于C，圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，因为是轴截面，所以都是全等的

等腰三角形，三角形的底边是圆锥的底面圆的直径，三角形的两腰是圆锥的母线，

∴C正确；

对于D，用一个平面平行于棱锥底面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台，

D错误；

故选：C．2.B

【解析】解：sin600°+tan240°

=sin(720°−120°)+tan(180°+60°)

=−sin120°+tan60°=−3.C

【解析】解：由已知z=x+yi，x，y∈R，

则由z−i=1，可得x+y−1i=1，即x2+4.C

【解析】解：|a−b|=|a5.D

【解析】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l//α．

又n⊥平面β，l⊥n,l⊄β，所以l//β．

由直线m,n为异面直线，且m⊥平面α,n⊥平面β，

则α与β相交，否则，若α//β，则推出m//n，与m,n异面矛盾，

所以α,β相交，且交线平行于l．

故选D．6.C

【解析】解：先将函数y=3sin(x+π5)图象上每点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到y=3sin(2x+π5)的图象，再将得到的图象向右平移π5个单位长度，得到函数y=3sin⁡[2(x−π5)+π57.B

【解析】解：AB=2,2，CD=−1,3，CD=10，AB⋅CD=−2+6=4，

则向量8.B

【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)在区间[0,π3]上的最大值为ω3，

∴0<ω3≤1，解得：0<ω≤3，

∵0≤x≤π3，

∴ωx−π3∈[−π3,π3ω−π3]，

 ①若π3ω−π3≤π2，即0<ω≤52时，f(x)在[0,π3]单调递增，f(x)max=f(π3)=sin(π3ω−π3)=ω3，

令r(x)=sin(π39.BC

【解析】解：根据题意，M={m|m=in,n∈N}，

当n=4k(k∈N)时，in=1;

当n=4k+1(k∈N)时，in=i;

当n=4k+2(k∈N)时，in=−1;

当n=4k+3(k∈N)时，in=−i，∴M={−1,1,i,−i}．

选项A中，(1−i)⋅(1+i)=2∉M;

选项B中，10.BC

【解析】解：∵对任意t∈R，恒有a−te≥a−e，

∴|a|2−2ta·e+t2≥|a|2−2a·e+1恒成立，

即t2−2t11.ABC

【解析】解：连接AC，则O为AC中点，

因为M为PA中点，所以MO//PC，

因为MO⊂平面OMN,PC⊄平面OMN，

则PC//平面OMN，故A正确；

由已知MN/​/DC，MN⊂平面OMN,DC⊄平面OMN，

则DC//平面OMN，

又因为PC∩CD=C，PC,CD⊂平面PCD，

所以平面PDC//平面OMN，故B正确；

设棱长为a，因为底面为正方形，

则AC=2a，则PA2+PC2=AC2，

所以PA⊥PC，因为MO//PC，所以OM⊥PA，故C正确；

由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，∴MN/​/AB，又四边形ABCD为正方形，∴AB/​/CD，

∴直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即∠PDC，又12.−2

【解析】解：由(1−2i)(a+i)=(a+2)+(1−2a)i是纯虚数，

得a+2=0且1−2a≠0，解得a=−2．13.2【解析】解：在直观图A′B′C′O′中，B′C′=1，∠B′C′x′=45∘，

故点B′到x′轴的距离为14.−2【解析】解：由f(0)=0，f(−π6)=c，知，b=−c，a=3b=−3c，

∴f(x)=−3csinx−ccosx+c=−2csin(x+π6)+c，

当x∈[0,π3]时，sin(x+π6)∈[12,1]，

当c<0时，0≤f(x)≤−c，只需−c≤215.解：(1)∵z1z2=−5+5i，

∴z2=−5+5iz1=−5+5i−2+i=(−5+5i)(−2−i)(−2+i)(−2−i)=3−i．

(2)z3【解析】本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，是基础题．

1根据复数的四则运算法则直接计算即可．

2根据复数的运算和复数的几何意义求解即可．16.解：(1)由题设可知，PA=PB=PC，由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC．

又∠APC=90∘，故∠APB=90∘，∠BPC=90∘．

从而PB⊥PA，PB⊥PC，

又PA∩PC=P，PA,PC⊂平面PAC，

故PB⊥平面PAC，PB⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PAC．

(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l.由题设可得rl=3，l2−r2=2.解得r=1，l=3.从而AB=【解析】本题考查面面垂直的判定，棱锥的体积，圆锥的结构特征，属于中档题．17.解：(1)设OQ=(x,y)，

∵点Q在直线OP上，

∴向量OQ与OP共线．

又OP=(2,1)，

∴x−2y=0，即x=2y．

∴OQ=(2y,y)．

又QA=OA−OQ，OA=(1,7)，

∴QA=(1−2y,7−y)．

同样QB=OB−OQ=(5−2y,1−y)．

于是QA·QB=1−2y5−2y+7−y1−y

=5y2−20y+12=5y−22−8．

【解析】本题考查平面向量的数量积，向量的坐标运算，二次函数的最值．

(1)因为点Q在直线OP上，向量OQ与OP共线，可以得到关于OQ坐标的一个关系式，再根据QA·QB的最小值，求得OQ的坐标；

(2)cos∠AQB是18.解：(1)由三角函数的定义可得M(cosπ3,sinπ3)，N(cos(π3+θ),sin(π3+θ))，

当θ=54π时，N(cos1912π,sin1912π)，

即a=cos1912π，b=sin1912【解析】本题考查任意角三角函数的定义和三角函数的恒等变换，以及三角函数的求值，考查运算能力，属于基础题．(1)根据三角函数的定义结合两角和差的正弦公式、诱导公式化简可得a+b的值；(2)逆用两角差的正弦公式可得b−a=2sin(θ+π19.(1)∵AP、AB、AC两两垂直，AP=AB=AC=43，

∴PA⊥面ABC，AN=33，AM=23，MN=39，

过A作AD⊥MN于D，连PD，则∠ADP即为P−MN−A的平面角，

在Rt△PAD中，AD=AM⋅ANMN=639