2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）月考数学试卷（6月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z+21−i=i，则z−的虚部为A.−1 B.1 C.3 D.−32.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是(

)A.若l/​/m，m⊂α，则l/​/α

B.若l/​/α，m//β，α/​/β，则l/​/m

C.若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m

D.若m⊥β，l/​/α，l/​/m，则α⊥β3.某学校数学教研组举办了数学知识竞赛(满分100分)，其中高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1000，800，600.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算可得高二、高三年级参赛选手成绩的样本平均数分别为76，82，全校参赛选手成绩的样本平均数为75，则高一年级参赛选手成绩的样本平均数为(

)A.69 B.70 C.73 D.794.如图，D是△ABC边AC的中点，E在BD上，且DE=2EB，则(

)

A.AE=23AB+16AC 5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，在A处测得公路北侧一山顶D在西偏北30° (即∠BAC=30°)的方向上；行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75° (即∠CBE=75°)的方向上，且仰角为30°，则此山的高度CD=(

)

A.1006m B.1003m6.设向量a与b的夹角为θ，定义a⊕b=|asinθ−bcosθ|，已知|A.22 B.2 C.7.在△ABC中，b=10，再从下列四个条件中选出两个条件，

①ac=28；

②c=2；

③cosB=14；

④面积为142，

A.①② B.①③ C.②③ D.①④8.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PB⊥底面ABCD.若PB=AB=CD=AD=1，BC=2，则这个四棱锥的外接球表面积为(

)A.3π B.4π C.5π D.6π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(m,−1),b=(−2,1)，则下列说法正确的是A.若m=1，则|a−b|=13

B.若a⊥b，则m=2

C.“m>−12”是“a与b的夹角为钝角”的充要条件10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是(

)A.若A>B，则sinA>sinB

B.若A>B，则cosA>cosB

C.若a2+b2<c2，则△ABC为钝角三角形11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为正方体的中心，M为DD1的中点，F为侧面正方形

A.三棱锥D1−DCB的外接球表面积为12π

B.动点F的轨迹是一条线段

C.三棱锥F−BC1M的体积是随点F的运动而变化的

D.若过A，M，C1三点作正方体的截面Ω，Q为截面

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一组数据1，3，9，5，7，则这组数据的方差为______．13.如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则AP⋅AB的取值范围为______．

14.已知棱长均为23的多面体ABC−A1B1C1由上、下全等的正四棱锥A1−ABB1C1和C−ABB1C

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2b−a=cosCcosA．

(1)求角C的大小；

(2)若c=2，△ABC的面积316.(本小题15分)

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)求样本成绩的第75百分位数；

(3)已知落在[50,60)的平均成绩是57，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数z−和总方差s217.(本小题15分)

如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，侧面ADD1A1为矩形，AB=2AD=2，∠D1DB=60°，18.(本小题17分)

如图，在三棱锥D−ABC中，△ACD为等腰直角三角形，且AC为斜边，△ABC为等边三角形.若AC=DB=2，E为AC的中点，F为线段DB上的动点．

(1)证明：AC⊥面BDE；

(2)求二面角D−AB−C的正切值；

(3)当△AFC的面积最小时，求CF与底面ABD所成角的正弦值．19.(本小题17分)

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2−b2=bc．

(1)求证：A=2B；

(2)若b=1，求边a的取值范围；

(3)若角A的平分线交BC边于D，且AD=2参考答案1.A

2.D

3.B

4.A

5.A

6.A

7.C

8.C

9.AD

10.ACD

11.ABD

12.8

13.[−8,24]

14.215.解：(1)在△ABC中，由c2b−a=cosCcosA，得ccosA+acosC=2bcosC，

由正弦定理得sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosC，即sin(C+A)=2sinBcosC，

又C+A=π−B，即sin(C+A)=sinB，于是sinB=2sinBcosC，

由B∈(0,π)，得sinB>0，因此cosC=12，又C∈(0,π)，所以C=π3．

(2)由△ABC的面积S△ABC=3，得12absinC=3，得ab=4，

又c=2，由余弦定理c16.解：(1)因为每组小矩形的面积之和为1，

所以(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，则a=0.030．

(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，

落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，

设第75百分位数为m，

由0.65+(m−80)×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位数为84．

(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，

成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，

故这两组成绩的总平均数为10×57+69×2010+20=65，

由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：

s17.证明：(1)△ABD中，因为AB=2，AD=1，BD=3，

所以AB2=AD2+BD2，

所以AD⊥BD，

又侧面ADD1A1为矩形，

所以AD⊥DD1，

又BD∩DD1=D，BD，DD1⊂解：(2)因为AD//BC，AD⊥平面BDD1B1，

所以BC⊥平面BDD1B1，

易得BC=1，B1D1=3，B1B=18.(1)证明：因为△ACD为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形，且E为AC的中点，

所以DE⊥AC，BE⊥AC，

又DE∩BE=E，DE、BE⊂平面BDE，

所以AC⊥平面BDE．

(2)解：由题意知，DE=12AC=1，BE=3，

因为BD=2，所以DE2+BE2=BD2，即DE⊥BE，

故EA，EB，ED两两垂直，

以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,1)，A(1,0,0)，B(0,3,0)，C(−1,0,0)，

所以AB=(−1,3,0)，DA=(1,0,−1)，CA=(2,0,0)，

设平面ABD的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AB=−x+3y=0m⋅DA=x−z=0，

取y=1，则x=z=3，所以m=(3,1,3)，

易知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1)，

设二面角D−AB−C的大小为θ，

由图知，二面角D−AB−C为锐角，

所以cosθ=|cos<m，n>|=|m⋅n||m|⋅|n|=37×1=217，

所以tanθ=233，19.(1)证明：因为a2=b2+c2−2bccosA=b2+bc，

所以c−b=2bcosA，由正弦定理可得sinC−sinB=2sinBcosA，

又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

代入可得sinAcosB−cosAsinB=sinB，即sin(A−B)=sinB，

因为0<A，B<π，则sinB>0，

故0<A−B<π，