专题15 函数的单调性-【初升高衔接】新高一数学暑假衔接讲义（解析版）

第第页专题15函数的单调性【考点清单】1、增函数与减函数一般地，设函数的定义域为，区间：⑴增函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是增函数；⑵减函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是减函数；2、单调性 如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间叫做的单调区间．3、复合函数的单调性复合函数的单调性满足同增异减，当内层函数和外层函数的单调性相同时，整个函数体现为增函数．当内层函数和外层函数的单调性相反时，整个函数体现为减函数．【考向精析】考向一：根据图像判断函数的单调性1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（

）

A．是函数的增区间 B．是函数的减区间C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数【答案】C【分析】根据函数的图像结合函数单调性的含义，即可判断出答案.【详解】根据函数图像可知函数在上递增，在上递减，故A，B正确；函数在上也单调递增，但区间和不是连续区间，并且由图象可知，因此不能说函数在上是增函数，C错误；由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上是减函数，D正确，故选：C2．（多选）关于函数，下列结论正确的是（

）A．的图象过原点 B．的图象关于对称C．在区间（1,+）上单调递减 D．是定义域上的减函数【答案】ABC【分析】作出的图像，根据图像逐一判断即可.【详解】，将的图像向右平移一个单位，然后向上平移1个单位即可得到，图像如下：观察图像可得A，B，C正确，故选:ABC.3．（多选）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（

）A．函数有最大值，无最小值 B．函数有最小值，无最大值C．函数的图象与直线有无数个交点 D．函数是增函数【答案】BC【分析】首先根据题意画出函数的图象，再依次判断各选项即可.【详解】画出函数的图象，如下图所示：由图象得，函数无最大值，有最小值0，故A不正确、B正确；对选项C，函数每隔一个单位重复一次，所以函数与函数有无数个交点，故C正确；对选项D，由图象可知函数不为增函数，故D不正确.故选：BC.4．己知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有__________；函数的单调递减区间有__________．

【答案】，，【分析】利用定义结合函数图象分析可得答案；【详解】由图可知函数的单调递增区间有，，函数的单调递减区间有，.故答案为：，；，考向二：利用定义证明单调性5．用定义证明：函数在上是增函数．【答案】证明见解析【分析】根据函数单调性定义证明即可．【详解】对任意，，则，因为，所以，又，所以，故函数在上是增函数．6．已知函数的定义域是，满足，时，对任意正实数x，y，都有．(1)求的值；(2)证明：函数在上是增函数；(3)求不等式的解集．【答案】(1)，(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据已知条件及赋值法即可求解；（2）根据已知条件及函数单调性的定义即可求解；（3）利用（1）（2）的结论及函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为对任意正实数x，y，都有，所以，即，因为，所以.（2）由得，任取，且，则，，即，所以函数在上是增函数；（3）由（1）知，，因为，所以，即，由（2）知，函数在上是增函数；所以，解得，故不等式的解集为.考向三：函数的单调性求参数的值7．己知函数．(1)若函数的单减区间是，求实数a的值；(2)若函数在区间上是单减函数，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数的单调性及二次函数的性质即可求解；（2）根据函数的单调性及二次函数的性质即可求解.【详解】（1）依题意，，由二次函数的性质知，的对称轴方程为，开口向上，所以的单减区间是，因为函数的单减区间是，所以.（2）依题意，，由二次函数的性质知，的对称轴方程为，开口向上，所以的单减区间是，因为函数在区间上是单减函数，所以，解得，所以实数a的取值范围为.8．函数在上是增函数，则实数a的值为__________．【答案】0【分析】根据一次函数及二次函数的单调性即可得到结论．【详解】当时，函数，在上单调递增，符合题意；当时，函数，其对称轴为，若，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；若，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，综上，.故答案为：0.9．“”是“函数在上函数值随自变量增大而增大”的______.（填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个）【答案】充分不必要条件【分析】由函数的单调性可得出的取值范围，再由充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若函数在上函数值随自变量的增大而增大，则，因为“”“”，但“”“”，所以，“”是“函数在上函数值随自变量增大而增大”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件.考向四：求复合函数的单调区间10．关于函数的单调性的说法，正确的是（

）A．在定义域内是减函数B．在上单调递减，在上单调递增C．在上单调递减，在上单调递减D．在上单调递增，在上单调递减【答案】C【分析】由复合函数的单调性的结论即可判断.【详解】函数的定义域为，函数是由函数和复合而成，而函数在和上单调递增，在和上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递减.故选：C11．已知函数则下列结论正确的是（

）A．f(x)的定义域是，值域是B．f(x)的单调减区间是(1，3)C．f(x)的定义域是，值域是D．f(x)的单调增区间是(-∞，1)【答案】AB【分析】先根据被开方数大于等于零，求出函数定义域，再结合二次函数的对称性求出函数的值域并判断函数的单调性，逐一判断各选项即可.【详解】已知函数，对于A、C，令，则，解得，定义域为.，又，函数的值域为，故A正确，C错误；对于B、D，函数定义域为，函数的对称轴为，所以在区间单调递增，在区间上单调递减，故B正确，D错误；故选：AB.考向五：由分段函数单调性求参数12．已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围.【详解】对任意的实数，都有,即成立，可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；可得：，解得，故选：C13．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的性质列不等式求参数范围即可.【详解】函数是上的增函数，则在上单调递增，故，此时满足函数在上也是单调递增；最后，只需在处满足，综上：的取值范围是.故选：D14．设p：，q：函数在上时增函数，则p是q成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先进行零点分段分析单调性，进而求得命题为真时的范围，再根据充分必要条件定义进行判断即可.【详解】解：因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，因为在上时增函数，所以只需，解得，即，因为，所以是充分不必要条件.故选：A15．已知是上的增函数，那么a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分段函数的单调性的性质以及基本初等函数的单调性即可求解.【详解】是上的增函数，所以，故选：A考向六：抽象函数证明单调性16.设函数的定义域是，且对任意正实数，，都有恒成立，已知（2），且时，．（1）求的值．（2）判断在上的单调性并给出证明．（3）解不等式．【解析】解：（1）令，则可得（1），再令，，得（1）（2），即，故；（2）在上为单调增函数，证明如下：设，则，即，因为，故，即，故在上为单调增函数；（3）由及，得，又为定义域上的单调增函数，故，解得，所以不等式的解集为，．【巩固检测】1.已知定义在区间上的函数的图象如下，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．【解析】增区间减区间2.（多选）下列函数中，不满足“，，都有”的有A． B． C． D．【解析】解：因为“，，都有”，所以在上单调递减，对于在上单调递增，故错误；对于在上单调递减，故正确；对于：二次函数的对称轴为，开口向上，所以在上单调递增，故错误；对于在上单调递减，故正确．故选：．3.判断函数，的单调性并说明理由．【解析】解：根据题意，函数在上递增，证明：设，设，则，又由，则，故函数在上递增．4.已知．（Ⅰ）证明：在，单调递增；（Ⅱ）解不等式：（7）．【解析】证明：，，，且，则，，，，，，又，，，即，在，单调递增．解：，，，在，单调递增，所以要使（7），则要使，即，，不等式（7）的解集为，．5.求函数的单调递增区间．【解析】设得，的对称轴为，当时，单调递增，也单调递增，所以单调递增区间为6.已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为A． B． C．0 D．1【解析】解：函数在区间上是减函数，所以，解得，整数的取值为或．故选：．7.已知函数在上是减函数，则的取值范围为A． B．， C． D．，【解析】解：函数在上是减函数，，求得，故选：．8.若函数在上为增函数，则实数的取值范围是．【解析】解：函数在上为增函数，所以，解得，所以实数的取值范围为．故答案为：．9.已知函数（1）用定义法证明在上单调递减，在上单调递增；（2）若的最小值是6，求的值．【解析】解：（1）证明：对任意的，．当时，，，则，即；当时，，，则，即．故在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）可知在上的最小值是（2）．当时，，其图象的对称轴方程是直线．①若，在，上单调递减，则在，上的最小值是．②若，在上单调递减，在，上单调递增，则在，上的最小值是（a）．综上，，因为的最小值是6，所以或或，解得．10.（2021秋•禅城区校级期中）已知函数．（1）若函数在区间，上单调递减，求的取值范围；（2）若在区间，上的最大值为，求的值．【解析】解：（1）由题知函数的对称轴方程为，在区间，上单调递减，，，，则，解得：；（2）由（1）知函数的对称轴方程为，当，即时，函数在区间，上单调递减，最大值为，解得，与矛盾；当，即时，函数在区间，的最大值为，解得：，舍去；当，即时，函数在区间，上单调递增，