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文档简介
第第页专题15函数的单调性【考点清单】1、增函数与减函数一般地,设函数的定义域为,区间:⑴增函数:如果对于上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就称函数在区间上是增函数;⑵减函数:如果对于上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就称函数在区间上是减函数;2、单调性 如果函数在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数在这个区间上具有单调性,区间叫做的单调区间.3、复合函数的单调性复合函数的单调性满足同增异减,当内层函数和外层函数的单调性相同时,整个函数体现为增函数.当内层函数和外层函数的单调性相反时,整个函数体现为减函数.【考向精析】考向一:根据图像判断函数的单调性1.已知函数的图象如图所示,则下列说法错误的是(
)
A.是函数的增区间 B.是函数的减区间C.函数在上是增函数 D.函数在上是减函数【答案】C【分析】根据函数的图像结合函数单调性的含义,即可判断出答案.【详解】根据函数图像可知函数在上递增,在上递减,故A,B正确;函数在上也单调递增,但区间和不是连续区间,并且由图象可知,因此不能说函数在上是增函数,C错误;由于函数在时有定义,由图象可知,则为函数的一个单调递减区间,故函数在上是减函数,D正确,故选:C2.(多选)关于函数,下列结论正确的是(
)A.的图象过原点 B.的图象关于对称C.在区间(1,+)上单调递减 D.是定义域上的减函数【答案】ABC【分析】作出的图像,根据图像逐一判断即可.【详解】,将的图像向右平移一个单位,然后向上平移1个单位即可得到,图像如下:观察图像可得A,B,C正确,故选:ABC.3.(多选)对于实数,符号表示不超过的最大整数,例如,,定义函数,则下列命题中正确的是(
)A.函数有最大值,无最小值 B.函数有最小值,无最大值C.函数的图象与直线有无数个交点 D.函数是增函数【答案】BC【分析】首先根据题意画出函数的图象,再依次判断各选项即可.【详解】画出函数的图象,如下图所示:由图象得,函数无最大值,有最小值0,故A不正确、B正确;对选项C,函数每隔一个单位重复一次,所以函数与函数有无数个交点,故C正确;对选项D,由图象可知函数不为增函数,故D不正确.故选:BC.4.己知函数的图象如图,网格中每个小正方形的边长为1,则函数的单调递增区间有__________;函数的单调递减区间有__________.
【答案】,,【分析】利用定义结合函数图象分析可得答案;【详解】由图可知函数的单调递增区间有,,函数的单调递减区间有,.故答案为:,;,考向二:利用定义证明单调性5.用定义证明:函数在上是增函数.【答案】证明见解析【分析】根据函数单调性定义证明即可.【详解】对任意,,则,因为,所以,又,所以,故函数在上是增函数.6.已知函数的定义域是,满足,时,对任意正实数x,y,都有.(1)求的值;(2)证明:函数在上是增函数;(3)求不等式的解集.【答案】(1),(2)证明见解析(3)【分析】(1)根据已知条件及赋值法即可求解;(2)根据已知条件及函数单调性的定义即可求解;(3)利用(1)(2)的结论及函数的单调性即可求解.【详解】(1)因为对任意正实数x,y,都有,所以,即,因为,所以.(2)由得,任取,且,则,,即,所以函数在上是增函数;(3)由(1)知,,因为,所以,即,由(2)知,函数在上是增函数;所以,解得,故不等式的解集为.考向三:函数的单调性求参数的值7.己知函数.(1)若函数的单减区间是,求实数a的值;(2)若函数在区间上是单减函数,求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据函数的单调性及二次函数的性质即可求解;(2)根据函数的单调性及二次函数的性质即可求解.【详解】(1)依题意,,由二次函数的性质知,的对称轴方程为,开口向上,所以的单减区间是,因为函数的单减区间是,所以.(2)依题意,,由二次函数的性质知,的对称轴方程为,开口向上,所以的单减区间是,因为函数在区间上是单减函数,所以,解得,所以实数a的取值范围为.8.函数在上是增函数,则实数a的值为__________.【答案】0【分析】根据一次函数及二次函数的单调性即可得到结论.【详解】当时,函数,在上单调递增,符合题意;当时,函数,其对称轴为,若,当时,函数单调递减;当时,函数单调递增;若,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减,综上,.故答案为:0.9.“”是“函数在上函数值随自变量增大而增大”的______.(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个)【答案】充分不必要条件【分析】由函数的单调性可得出的取值范围,再由充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若函数在上函数值随自变量的增大而增大,则,因为“”“”,但“”“”,所以,“”是“函数在上函数值随自变量增大而增大”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要条件.考向四:求复合函数的单调区间10.关于函数的单调性的说法,正确的是(
)A.在定义域内是减函数B.在上单调递减,在上单调递增C.在上单调递减,在上单调递减D.在上单调递增,在上单调递减【答案】C【分析】由复合函数的单调性的结论即可判断.【详解】函数的定义域为,函数是由函数和复合而成,而函数在和上单调递增,在和上单调递减,由复合函数的单调性可知,函数在上单调递减,在上单调递减.故选:C11.已知函数则下列结论正确的是(
)A.f(x)的定义域是,值域是B.f(x)的单调减区间是(1,3)C.f(x)的定义域是,值域是D.f(x)的单调增区间是(-∞,1)【答案】AB【分析】先根据被开方数大于等于零,求出函数定义域,再结合二次函数的对称性求出函数的值域并判断函数的单调性,逐一判断各选项即可.【详解】已知函数,对于A、C,令,则,解得,定义域为.,又,函数的值域为,故A正确,C错误;对于B、D,函数定义域为,函数的对称轴为,所以在区间单调递增,在区间上单调递减,故B正确,D错误;故选:AB.考向五:由分段函数单调性求参数12.已知函数,满足对任意的实数,且,都有,则实数a的取值范围为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组,即可求出a的范围.【详解】对任意的实数,都有,即成立,可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0,说明函数是减函数;可得:,解得,故选:C13.已知函数是上的增函数,则的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】由分段函数的单调性,结合二次函数和反比例函数的性质列不等式求参数范围即可.【详解】函数是上的增函数,则在上单调递增,故,此时满足函数在上也是单调递增;最后,只需在处满足,综上:的取值范围是.故选:D14.设p:,q:函数在上时增函数,则p是q成立的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先进行零点分段分析单调性,进而求得命题为真时的范围,再根据充分必要条件定义进行判断即可.【详解】解:因为,所以当时,,单调递减,当时,,单调递增,因为在上时增函数,所以只需,解得,即,因为,所以是充分不必要条件.故选:A15.已知是上的增函数,那么a的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据分段函数的单调性的性质以及基本初等函数的单调性即可求解.【详解】是上的增函数,所以,故选:A考向六:抽象函数证明单调性16.设函数的定义域是,且对任意正实数,,都有恒成立,已知(2),且时,.(1)求的值.(2)判断在上的单调性并给出证明.(3)解不等式.【解析】解:(1)令,则可得(1),再令,,得(1)(2),即,故;(2)在上为单调增函数,证明如下:设,则,即,因为,故,即,故在上为单调增函数;(3)由及,得,又为定义域上的单调增函数,故,解得,所以不等式的解集为,.【巩固检测】1.已知定义在区间上的函数的图象如下,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数.【解析】增区间减区间2.(多选)下列函数中,不满足“,,都有”的有A. B. C. D.【解析】解:因为“,,都有”,所以在上单调递减,对于在上单调递增,故错误;对于在上单调递减,故正确;对于:二次函数的对称轴为,开口向上,所以在上单调递增,故错误;对于在上单调递减,故正确.故选:.3.判断函数,的单调性并说明理由.【解析】解:根据题意,函数在上递增,证明:设,设,则,又由,则,故函数在上递增.4.已知.(Ⅰ)证明:在,单调递增;(Ⅱ)解不等式:(7).【解析】证明:,,,且,则,,,,,,又,,,即,在,单调递增.解:,,,在,单调递增,所以要使(7),则要使,即,,不等式(7)的解集为,.5.求函数的单调递增区间.【解析】设得,的对称轴为,当时,单调递增,也单调递增,所以单调递增区间为6.已知函数在区间上是减函数,则整数的取值可以为A. B. C.0 D.1【解析】解:函数在区间上是减函数,所以,解得,整数的取值为或.故选:.7.已知函数在上是减函数,则的取值范围为A. B., C. D.,【解析】解:函数在上是减函数,,求得,故选:.8.若函数在上为增函数,则实数的取值范围是.【解析】解:函数在上为增函数,所以,解得,所以实数的取值范围为.故答案为:.9.已知函数(1)用定义法证明在上单调递减,在上单调递增;(2)若的最小值是6,求的值.【解析】解:(1)证明:对任意的,.当时,,,则,即;当时,,,则,即.故在上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)可知在上的最小值是(2).当时,,其图象的对称轴方程是直线.①若,在,上单调递减,则在,上的最小值是.②若,在上单调递减,在,上单调递增,则在,上的最小值是(a).综上,,因为的最小值是6,所以或或,解得.10.(2021秋•禅城区校级期中)已知函数.(1)若函数在区间,上单调递减,求的取值范围;(2)若在区间,上的最大值为,求的值.【解析】解:(1)由题知函数的对称轴方程为,在区间,上单调递减,,,,则,解得:;(2)由(1)知函数的对称轴方程为,当,即时,函数在区间,上单调递减,最大值为,解得,与矛盾;当,即时,函数在区间,的最大值为,解得:,舍去;当,即时,函数在区间,上单调递增,
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