专题13 函数的概念及构成要素-【初升高衔接】新高一数学暑假衔接讲义（解析版）

第第页专题13函数的概念及构成要素【考点清单】1、“函数的概念设集合是非空的数集，对于中的任意实数，按照确定的对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数．记作．其中，叫做自变量，自变量的取值范围（数集）叫做这个函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．函数也常写作函数或函数．2、同一函数的概念如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．3、求函数定义域的原则:①用列表法表示的面数的定义域,是指表格中实数x的集合;用图象法表示的面数的定文城,是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合;当函数y=f(x)用解析法表示时，函数的定义城是指使解析式有意义的实数的集合，一般通过列不等式(组)求其解集。常见的限制条件有:分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等。②求抽象函数的定义域常用转移法，若y=f(x)的定义域为（a,b），则解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定义域；若y=f(g(x))的定义城为(a，b），则求出g(x)在(a，b)上的值城，即得y=f(x)的定义域.4、复合函数的定义域①复合函数的概念：如果是的函数，记作，是的函数，记为，且的值域与的定义域的交集非空，则通过确定了是的函数，这时叫做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数．②求解策略：1°括号等于括号。2°定义域永远是x的取值范围。5、求抽象函数的解析式①换元法②配凑法③待定系数法④方程组法【考向精析】考向一：函数的定义1．（多选）中文“函数.（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列关于函数的命题正确的是（

）

A．与表示同一函数B．函数的定义域是C．已知函数，则在区间的值域为D．上图所示的椭圆图形可以表示某一个函数的图像【答案】AC【分析】对于A，根据同一函数的定义即可判断；对于B，求解定义域即可判断；对于C，利用二次函数的性质即可判断；对于D，根据函数的概念即可判断.【详解】对于A，与的定义域都为，且解析式一样，所以与表示同一函数，A对；对于B，，解得且，所以函数的定义域是，B错；对于C，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以在区间的值域为，C对；对于D，上图所示的椭圆图形不可以表示某一个函数的图像，D错.故选：AC2．（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【分析】根据函数的概念，逐项判定，即可求解.【详解】由函数的定义可知，对任意的自变量，有唯一的值相对应，选项B中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况，其中选项A、C、D皆符合函数的定义，可以表示是函数.故选：ACD3．（多选）欧拉公式（）被数学家们称为“宇宙第一公式”.（其中无理数），如果记小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记为.设此函数定义域（）为，值域（）为，则关于此函数，下列说法正确的有（

）A． B．函数的图像是一群孤立的点C．是的函数 D．【答案】ABD【分析】根据的定义可知A正确；由可知B正确；根据函数定义可知C错误；根据，可知D正确.【详解】对于A，小数点后第位上的数字为，，A正确；对于B，，的图像是一群孤立的点，B正确；对于C，由的值可知：当时，，不符合函数的定义，C错误；对于D，由题意知：；又，，D正确.故选：ABD.4．（多选）下列各组函数不是同一个函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】ABD【分析】从定义域和对应法则两方面来判断是否是同一函数.【详解】对于A，的定义域是，的定义域是R，定义域不同，故不是同一函数，A错；对于B，与的对应关系不同，故不是同一函数，B错；对于C，经过化简可知两函数的解析式与定义域都一样，所以为同一函数，C对；对于D，的定义域是，的定义域是，定义域不同，故不是同一函数，D错.故选：ABD5．下列等量关系中，y是x的函数的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函数定义判断各项正误即可．【详解】A：当时，不符合函数的定义，故错误；B：当时，不符合函数的定义，故错误；C：显然任意都有唯一y值与之对应，满足函数的定义，故正确；D：当时，不符合函数的定义，故错误．故选：C6．下列图象中，表示函数关系的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数的概念即可求解.【详解】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项D的图象满足.故选：D.考向二：函数的定义域7．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合B中函数的定义域，得到集合B，再求.【详解】函数有意义，则有，即，所以，又，所以.故选：D8．已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的定义域求出的定义域，从而可求解.【详解】因为函数的定义域是，所以，所以,即的定义域为，所以，解得，即的定义域是.故选:C.9．若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】定义域为的取值范围，结合同一对应法则下括号内范围相同，求出答案.【详解】由题意得，故，故函数的定义域为.故选：D10．已知函数的值域是，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】画出的图像，数形结合即可判断出答案．【详解】，画出图像，如图所示，

令，则，解得或，令，则，解得（舍去）或，对于A：当时，结合图像，得，故A错误；对于B：当时，结合图像，得，故B错误；对于C：当时，结合图像，得，故C错误；对于D：当时，结合图像，得，故D正确；故选：D．11．设集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可得解.【详解】或，，所以.故选：B.12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.【答案】【分析】结合抽象函数与具体函数定义域的求法，解不等式组即可得出答案.【详解】因为的定义域为，要使有意义，则，解得，所以函数的定义域为.故答案为：考向三：由函数的定义域求参数范围13．已知函数的定义域为，则实数的范围________.【答案】【分析】利用函数定域为，将问题转化成关于不等式的恒成立问题，从而求出实数的取值范围，得出结果.【详解】因为函数的定义域为，所恒成立，当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，.故答案为：.14．已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．【答案】【分析】由，可知，解不等式即可.【详解】由，可知，解得，故答案为：.考向四：求函数的解析式15．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可.【详解】根据题意,由得:的对称轴为，设二次函数为，因的最大值是8,所以,当时,，即二次函数，由得:,解得：，则二次函数，故选：A.16．已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用换元法令，运算求解即可.【详解】令，则，且，则，可得，所以.故选：B.17．若，且，则______．【答案】1【分析】利用换元法求函数的解析式，再代入求.【详解】设，，所以，即，，得.故答案为：118．写出一个满足：的函数解析式为______.【答案】【分析】赋值法得到，，求出函数解析式.【详解】中，令，解得，令得，故，不妨设，满足要求.故答案为：19．已知求的解析式【答案】【分析】令，运用换元法进行求解即可.【详解】令，则，代入，得，即20．定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式.【答案】【分析】对进行赋值，解方程求得的解析式.【详解】对任意实数，，，令，得，即，又，所以.21．若函数满足方程且，则：（1）___________；（2）___________．【答案】【分析】令可得；用替换，再解方程组可得答案.【详解】令可得：，所以；由①得，②，联立①②可得：.故答案为：①；②.【巩固检测】1.已知集合，，则下列图象中，能表示从集合到集合的一个函数的是A．B．C．D．【解析】解：由题意可知函数的定义域为集合，值域为集合的子集，对于选项：函数图像满足定义域和值域的要求，且定义域内一个对应值域内唯一的一个值，所以选项正确，对于选项：函数图像满足定义域和值域的要求，但是当时，的值有2个，不符合函数的定义，故选项错误，对于选项：函数的定义域不符合题意，故选项错误，对于选项：函数的定义域不符合题意，故选项错误，故选：．2.（多选）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，1，2，，，1，2，4，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是A． B． C． D．【解析】解：对于选项，，，故不能构成从到的函数；对于选项，，，故能构成从到的函数；对于选项，，，故不能构成从到的函数；对于选项，，，故能构成从到的函数；故选：．3.下列各组函数中，表示同一函数的是A． B． C． D．【解析】解：中，的定义域是，，的定义域是，，，不是同一函数；中，，，对应关系不同，不是同一函数；中，，，对应关系不同，不是同一函数；中，，，它们的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；故选：．4.函数的定义域为A．， B．，， C．，， D．，，【解析】解：由题意得：，解得：且，故选：．5.函数的定义域为A．，，B．， C．， D．，【解析】解：使得函数的表达式有意义，则且，解得，．故选：．6.函数的定义域为，则实数的取值范围是A． B．， C．， D．【解析】解：的定义域是，则恒成立，即恒成立，则，解得，所以实数的取值范围为，．故选：．7.函数的定义域为，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解析】解：函数的定义域为，对任意恒成立，当时，有，不合题意；当时，需要，即．实数的取值范围是，．故选：．8.（2021秋•虎丘区校级月考）已知函数．（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数在，上有意义，求实数的取值范围．【解析】解：（1）根据题意得：在上恒成立，当时，不满足题意，当时，有，解得．综上，的取值范围是，；（2）根据题意得在，上恒成立，令，当时，满足题意；当时，，解得满足题意；当时，对称轴且，同时（1），此时满足在，上恒成立，满足题意．综上，的取值范围是，．9.设在，上有定义，要使函数有定义，则的取值范围为A． B． C． D．【解析】解：由条件得：即函数的定义域就是集合与的交集．（1）当时，，集合与的交集为空集，此时，函数没有意义；（2）当时，，集合与的交集为，即函数的定义域为；（3）当时，，集合与的交集为，即函数的定义域为；（4）当时，，集合与的交集为空集，此时，函数没有意义．要使函数有定义，故选：．10.函数的定义域为，，则函数定义域为A．， B．， C． D．，【解析】解：的定义域为，，，解得：，故函数定义域为，，故选：．11.已知函数的定义域为，，则函数的定义域为A．， B．， C．， D．，【解析】解：函数的定义域为，，，解得：，故选：．12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为A． B． C．，， D．，，【解析】解：函数的定义域为，，再由，得，即的定义域为，又，即．函数的定义域为，，．故选：．13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为A． B． C． D．，【解析】解：函数的定义域为，，解得：，故选：．14.已知，则函数