专题06 集合间的包含关系-【初升高衔接】新高一数学暑假衔接讲义（解析版）

第第页专题06集合间的包含关系【考点清单】1.子集、真子集和集合相等子集：对于两个集合，如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，我们就说集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）．规定：是任意集合的子集．如果集合中存在着不是集合中的元素，那么集合不包含于，记作或． 真子集：如果集合，且存在元素，但，我们称集合是集合的真子集，记作（或），读作真包含于（真包含）． 规定：是任意非空集合的真子集．2.子集的个数总结： 若一个集合中有个元素，则 集合的子集个数为个 集合的真子集个数为个 集合的非空子集个数为个 集合的非空真子集个数为个【考向精析】考向一：集合间的包含关系1．设集合，则下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将集合化简，即可由集合间的关系求解.【详解】由，所以，故选：B2．已知集合，，则下列表述正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简，根据集合间的关系判断.【详解】，，所以，故A正确；B、C、D均不正确.故选：A3．已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用列表法求集合A、B，进而结合集合间的关系和运算逐项分析判断.【详解】对于可得：

x-11-1-20102可得集合；对于可得：

xy-11-1021-20可得集合，所以，则成立，不成立，，所以A正确，B、C、D错误.故选：A.4．已知全集，能表示集合关系的Venn图是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先求得集合，判断集合的关系，由此确定正确选项.【详解】解可得，所以，又，所以，根据选项的Venn图可知选项A符合.故选：A5．下列集合中为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意；对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意；对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意；对于D中，不等式，解得，，不符合题意.故选：C.6．设集合，，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】根据集合相等的含义分别求出，然后可得答案.【详解】因为，，所以，解得，所以1．故选：B．7．已知集合，若，求实数a，b的值．【答案】【分析】根据集合中的元素相等，且满足互异性，即可求解.【详解】由于，由于集合中有元素0，而集合中的不能为0，所以必然是，此时集合，由于集合中有元素1，若，则，故8．设，且，求实数x，y的值．【答案】【分析】根据集合中的元素对应相等，结合互异性即可分情况求解.【详解】由于，所以且，若集合中，则，此时，由得，所以此时符合要求，若集合中，则，此时这与矛盾，故这种情况不成立，综上可知9．已知集合.(1)若，则实数a的值是多少?(2)若，则实数a的取值范围是多少?(3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?【答案】(1)(2)(3)【分析】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可.【详解】（1）因为集合，，所以.（2）因为，如图，由图可知，即实数a的取值范围是.（3）因为B⫋A，如图，由图可知，即实数a的取值范围是.10．已知集合.(1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.【答案】(1)5(2)【分析】（1）利用集合相等的条件求的值；（2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.【详解】（1）因为，且，所以或，解得或，故.（2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，所以.当时，，满足题意；当时，当时，，解得，满足题意；当时，且，此时无解；当时，且，此时无解；当时，且，此时无解；综上，a的取值范围为.11.设集合，，若且，则满足条件的集合的个数是________．【答案】【分析】先求出满足条件的集合的个数，再求出满足且的集合的个数，作差可得结果.【详解】因为集合，，若且，满足条件的集合的个数为个，在这些集合中，满足的集合的个数即为集合的子集个数，因此，满足条件的集合的个数为.故答案为：.考向二：子集的个数12．已知集合，则集合的真子集个数为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】先求出集合中包含的元素个数，再求真子集个数.【详解】集合，所以集合的真子集个数为：.故选：B.13．已知集合，则集合A的子集个数为（

）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】D【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A，再计算其子集个数.【详解】因为，即，解得，因此含有4个元素，所以集合A的子集个数为.故选：D14．若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（

）A．3种 B．5种 C．7种 D．9种【答案】C【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可.【详解】由，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，依次有以下可能：七种可能.故选：C15.集合的真子集的个数是（

）A．15 B．16 C．31 D．32【答案】A【分析】解出集合，根据真子集个数结论即可得到答案.【详解】，则，且，解得且，又因为，故集合为，其中元素个数为，则真子集个数为，故选：A.16．设集合，集合，定义，则子集的个数是（

）A． B． C． D．10【答案】B【分析】根据所给的两个集合的元素，写出两个集合的交集和并集，根据新定义的集合规则，得到和分别有种和种情况，最后由分步计数原理得出的元素个数，再根据含有个元素的集合有个子集计算可得.【详解】因为，，所以，，又，则有2种情况，有5种情况，则由乘法原理可得的元素个数有个，所以子集的个数是.故选：B【巩固检测】1．用适当的符号填空①___②___ ③___④___【解析】①②=③④=2.已知集合，，，，，，，若，则A． B．2 C． D．1【解析】解：，①当时，解得，，②当时，解得，此时，1，，与互异性矛盾，综上，．故选：．3.已知，，若，则的值为A． B．0 C．1 D．或0【解析】解：，，，，，，，0，，，，则，解得或（舍去）．则．故选：．4.已知，，则集合、之间的关系为A． B． C． D．【解析】解：，且，则，故选：．5.已知集合，，则集合，的关系是A． B． C． D．【解析】解：因为集合，，集合，，，即．故选：．6.设集合，，若，则实数的取值范围是A． B．， C． D．，【解析】解：集合，或，若，．的取值范围为，．故选：．7.已知集合，3，，，，则A．9 B．0或1 C．0或9 D．0或1或9【解析】解：，3，，，，且，或，解得：或或，当时，，3，，，，满足；当时，中有2个元素，中有一个元素，不合题意，舍去；当时，，1，，，，满足，综上，或9．故选：．8.已知集合，，若，则实数的取值范围是A． B． C．， D．，【解析】解：，，①当，即时，成立；②当，即时，，综上所述，实数的取值范围是，，故选：．9.已知集合，，的所有非空真子集的元素之和等于18，则的值为A．1 B．2 C．3 D．6【解析】解：集合，，的所有非空真子集可以分为二类，集合，，的子集中有且只有一个元素，分别为，，，集合，，的子集中有且只有两个元素，分别为，，，，，，则，故，故选：．10.集合的非空真子集的个数是A．16 B．8 C．7 D．