2025八年级上册数数学(RJ)13.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定

2025八年级上册数数学(RJ)13.3.2第1课时等边三角形的性质与判定第十三章三角形教学备注学生在课前完成自主学习部分教学备注学生在课前完成自主学习部分13.3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定学习目标：1．探索等边三角形的性质和判定．2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．重点：等边三角形的性质和判定难点：运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明自主学习自主学习一、知识链接1.三条边都_________的三角形叫作等边三角形.等腰三角形：图形定义性质判定等腰三角形有_______相等的三角形叫做等腰三角形两____相等两____相等等边对_______等角对____三线合一:_______、_______、_______轴对称图形二、新知预习类比学习一：等边三角形的性质性质等腰三角形等边三角形边两条边相等______条边都相等角两个底角相等______角相等，且都是______三线合一底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合______上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合对称轴1条______条要点归纳：等边三角形的三个内角都__________,并且每一个角都等于________.类比学习二：等边三角形的判定判定等腰三角形等边三角形边______条边相等的三角形是等腰三角形______条边都相等的三角形是等边三角形角______个角相等的三角形是等腰三角形______个角都相等的三角形是等边三角形要点归纳：_______个角都相等的三角形是等边三角形.教学备注配套PPT讲授教学备注配套PPT讲授1.问题引入（见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片6-14）1.已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°2.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.3.△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=______度.四、我的疑惑____________________________________________________________________________________________________________________________________________________课堂探究课堂探究要点探究探究点1：等腰三角形的性质典例精析例1：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.变式训练：如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．例2：△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.教学备注3.探究点2新知讲授教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片15-23）想一想：小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？为什么？ABC顶角为60ABC如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形.证明：2.底角为60°的等腰三角形：证明：要点归纳：有一个角是_____的等腰三角形是等边三角形.典例精析ADEADEBCDE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.ADEBCADEBC例4：等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.教学备注配套PPT教学备注配套PPT讲授5.课堂小结△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为（）A.9B.8C.6D.132.如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中与BD相等的线段有（）ABABCDE第2题图第3题图3.如图，△ABC是等边三角形,DE∥BC,则∠ADE=__________.4.如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．【变式题】△ABC为等边三角形，且DE⊥BC，垂足为D，EF⊥AC，垂足为E，FD⊥AB，垂足为F，则△DEF是等边三角形吗？为什么？二、课堂小结等边三角形性质判定三边相等，三个角都等于_______.三边相等每一条边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三角相等3条对称轴有一个角等于____的等腰三角形教学备注配套PPT教学备注配套PPT讲授6.当堂检测（见幻灯片24-30）当堂检测1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A．105°B．120°C．135°D．150°2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（）ACACBDEOACBACBDE第2题图第3题图第4题图3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC=2cm,则△ADE的周长是__________cm.5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．6.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.拓展提升7.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．第十三章轴对称教学备注学生在课前完成自主学习部分教学备注学生在课前完成自主学习部分1.问题引入（见幻灯片3）2.探究点新知讲授（见幻灯片5-19）13.3.2等边三角形第2课时含30°角的直角三角形的性质学习目标：1．探索含30°角的直角三角形的性质.2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．重点：含30°角的直角三角形的性质．难点：运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．自主学习自主学习知识链接1.等边三角形的性质有哪些？2.如何判定一个三角形是等边三角形？课堂探究课堂探究要点探究探究点：含30°角的直角三角形的性质拼一拼：如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？A（D）BC（F）A（D）BC（F）EDFEABC填一填：∠A=∠D=_______，∠BAC=___________;AB=DE,△ABE是__________三角形；2BC=BE=________.要点归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.证一证：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB.教学备注方法一：倍长法教学备注ABABC证明：方法二：截半法【提示：在BA上截取BE=BC，连接EC】证明：方法总结:在证明线段之间的和差倍分关系时，倍长法与截半法是常用的两种作辅助线的方法.典例精析例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．例2：如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于()A．3B．2C.1.5D．1方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．例4：已知:等腰三角形的底角为15°，腰长为20.求腰上的高.教学备注3课堂小结教学备注3课堂小结方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.针对训练1.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AC的长是()A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝____．第2题图第3题图3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h＝____m.4.如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°.求证：AB=4BD证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30∴BC=AB∠B=又∵△BCD中,CD⊥AB∴∠BCD=∴BD=BC∴BD=AB即.5.如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4.求PD的长.二、课堂小结含30°角的直角三角形的性质：应用的前提在三角形中，结论是30°角所对的直角边是的一半，而不是任一直角边是斜边的一半．教学备注4.当堂检测（见教学备注4.当堂检测（见幻灯片20-25）当堂检测1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米B．9米C．12米D．15米第1题图第2题图2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元CABDC3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°CABDCBABA第3题图第5题图在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2