数学教学设计内涵及案例分析市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

数学教学设计内涵及案例分析湖北省孝感高级中学徐新斌1第1页引言数学教学设计内涵数学教学设计案例分析2第2页引言数学教学实践中一些现象：（1）有些教师前20分钟就把课前准备内容讲完了，剩下时间不知道该做些什么。（2）有些教师板书比较凌乱，在课堂教学进程中，想写在哪里就写在哪里，随意性太强，板书缺乏美感和整体感。（3）有些教师课题引入、课堂提问等教学步骤单一，难以引发学生学习主动性。3第3页（4）有些教师在讲解数学概念、数学定理、数学题目时，偏重“照字面意义讲解”，过多强调机械记忆，学生只能到达表面了解。（5）有些教师仅copy一些优异教案，缺乏结合学生实际情况来进行相关思索，教学效果并不太理想。……以上这些现象造成教学效率不高、教学效果不佳。这些现象出现有很多原因，其中一条主要原因就是教师缺乏教学设计方法和思想。4第4页一、数学教学设计内涵

1．什么是数学教学设计2．为何要进行数学教学设计3．数学教学设计基本要素4．数学教学设计中教师所需要具备几个意识5．数学教学设计前期分析5第5页

1．什么是数学教学设计教学设计是指教师为到达一定教学目标，对教学活动进行系统规划、安排与决议。6第6页

2．为何要进行数学教学设计（1）教学设计依据教学原理，遵照教学过程基本规律，制订教学目标，以处理教什么问题。（2）教学设计对怎样才能到达教学目标进行创造性决议，以处理怎么教问题。（3）教学设计把教学过程各要素看成一个系统。分析教学问题和需求，确立处理程序纲要，使教学过程最优化。7第7页（4）教学设计是提升学习者取得知识、技能效率和兴趣技术过程，其功效在于利用适宜教学方法设计教学过程，使之成为一个含有操作性程序。

简而言之，教师进行教学设计最终目标是为了使学生更高效地学习，开发学生学习潜能，塑造学生健全人格，以促进学生全方面发展。

8第8页3．数学教学设计基本要素数学教学目标分析数学教学内容分析学生情况分析形成教学设计意图数学教学设计方案数学教学设计方案实施与评价9第9页在进行数学教学设计时，需要格外注意以下两个问题：（1）“预设”与“生成”关系。教师在实施教学之前需要进行教学设计，但在教学过程中又不可拘泥于教学设计，预防被教学设计束缚了手脚，一切应以学生为学习主体，以教促学，对课堂教学各种改变进行综合把握，及时作出正确判断，采取有效应对办法。这也是教学中“预设”与“生成”关系。（2）处理好“模仿”与“创新”关系。“仿”是“创”必经之路，“创”是“仿”目标所在。10第10页4.数学教学设计中教师所需要具备几个意识对于教学设计而言，数学教师观念更新意识、问题意识、反思意识、创新意识显得尤其主要。这些意识是教师素质主要组成部分，是形成教育、教学能力前提，是影响教师行为诱因，因而对教学设计有直接制约作用。11第11页（1）观念更新意识所谓观念，指教育观念，即教师对教育本质认识和体悟。作为数学教师，其教育观念就是对数学教育本质认识和体悟。观念更新意识，指教师对自已所持教育观念有清楚认识，对不停萌生和发展新教育观念有敏锐洞察力，进而产生更新本身旧观念经常性愿望和行为。数学教育观念分为数学观和教育观两个层面。数学观是对数学学科本质认识；教育观是对学与教本质认识。12第12页对数学本质了解，历史上曾有许多不一样观点，有学者将其梳理为15种学说：万物皆数说、哲学说、符号说、科学说、工具说、逻辑说、创新说、直觉说、集合说、结构说、模型说、活动说、精神说、审美说、艺术说。这些观点实际上是人们从不一样侧面对数学作出解释，显然，这些对数学本质不一样看法会对应不尽相同教育理念。假如一个教师重视数学学科结构，他就会自觉地把数学视为模式科学；假如重视过程，就会认为数学是直觉和逻辑产物；假如重视社会价值，又会把数学了解为是一个工具，等等。这些个人数学观反应在教学设计中，就会产生不一样教学目标和价值取向。13第13页从认识论层面看，由把数学视为绝对真理绝对主义演化而成静态数学观，与把数学视为相对真理可误主义演化而成动态数学观对数学教育影响最大。假如把数学看成绝对真理，看成是静态知识堆砌，那么教学目标就是教师把这些知识原样地传授给学生，教学设计就是一个“结果型”范式，教学评价则以学生掌握知识量作为评价指标。假如认为数学真理不是绝正确，而是可误，把数学看作由问题、语言、命题、理论和观念组成复合体，是动态知识发展系统，那么反应在教育上便是一个实现人发展教育观，以培养学生批判意识和创造力为主要目标，其教学设计是一个“过程型”范式。14第14页一样，不一样教学理论对教学本质有不一样解释，从而对应着不一样教学设计思想。行为主义强调剌激与反应联结，教学设计就只关注教师教学操作和学生学习结果操作。认知主义以信息加工学说解释学习本质，教学设计就要包括教师教学操作、学习者特征、学习信息加工过程、学习所取得知识类型以及学生学习结果操作。人本主义强调以人发展为本，教学设计就会更多地表达使学生到达自我实现目标。建构主义认为知识学习是学习者自我建构和社会建构结果，教学设计就会渗透着促进学生知识建构策略。15第15页新观念产生不是对旧观念完全扬弃，而是一个整合。实际上，每一个观念都有本身合理一面，因教学内容不一样，教学设计能够以不一样理论作为基础。所以，更确切地说，观念更新意识要讨教师有整合观念意识、接收新观念意识、替换旧观念意识。16第16页

（2）问题意识问题意识是指在人们认识活动中，活动主体对现有知识经验和一些难于处理实际问题或理论问题所产生怀疑、迷惑、焦虑、探究心理状态，并在其驱动下，不停提出问题和处理问题。17第17页

在数学教学设计中，教师问题意识主要表现在两个方面，其一，追溯问题产生背景和缘由意识。其二，不停提出新问题意识。

18第18页例对于问题：已知a，b∈R，而且a<b。求证：现实背景：建筑学要求，民用建筑采光度等于窗户面积与地面面积之比，但窗户面积必须小于地面面积。采光度越大说明采光条件越好，问：当窗户与地面增加一样面积后，采光条件是变好了，还是变坏了，为何？数学背景：请探究是否全部矩形都相同。逻辑延伸问题：（1）若a，b∈R，且a>b。则上述结论会变为何形式？19第19页

（3）反思意识反思是立足于自我之外批判地考查自己行动及情境能力。反思意识即教师自觉产生对自己活动目标、活动计划、活动策略、活动过程及活动评价反思欲望和信念。反思不是单纯事后行为，还包含事前和办事过程中反思。20第20页

在数学教学设计中，首先，设计者要对教学目标进行反思。一个教学设计应反应出教学目标多维性。数学知识建构、数学技能形成、数学能力发展、数学思想方法渗透、数学精神领悟、数学知识产生过程体验等，都是数学教学目标。

21第21页第二，要对教学设计理论基础进行反思。在教学设计中，自己所持有数学观是什么？是以哪一个教育或心理学理论作为基础？为何要这么做？等等。第三，对教学程序设计及教学策略选择反思。反思知识展示次序是否合理；选择教学策略是否恰当；例题与习题搭配是否符合教学目标要求；采取媒体是否能真正发挥辅助教学功效；为何要这么设计教学程序？为何要选择这么教学策略？等等。第四，教学实施后反思。主要是对教学效果评价反思，怎样改进教学设计反思。22第22页（4）创新意识创新意识指教师创新欲望和信念，其关键是自我批判意识，不受固有思维模式束缚，勇于立新。23第23页普通说来，教学设计中创新主要包含：①教学内容组织创新。譬如，以不一样材料作为“先行组织者”；对教材内容解构与重组；对概念、命题赋予不一样现实模型或不一样数学模型；对例题、习题改造与扩充等，均是在原有基础上创新。②教学模式构建创新。依据不一样教学内容合理地选择教学模式，在此基础上，更注意综合一些教学模式，创建一些新教学模式。模式创新最高境界，或许是一个不受模式约束，融有模式于无模式之中。③教学组织形式创新。④教育技术创新。表现为多媒体合理组合，课件编制更富创意等。24第24页

值得强调是，教师创新意识不但能表达在教学设计“外部产品”上，而且更主要在于这种榜样式创新意识能够渗透在教学实施过程中，给学生以潜移默化地熏陶，从而到达培养学生创新意识目标。25第25页

5.数学教学设计前期分析数学教学设计前期分析能够从目标分析、内容分析、学生分析3个方面来进行。（1）数学教学目标分析数学教学设计首先要进行目标设计，即分析教什么？到达什么程度？这是数学教学设计关键问题之一。

26第26页教学目标有不一样类型，也有不一样要求。有些教师教学之所以效果不佳、达不到课程要求，最主要原因是教学目标设计出现了一些问题。比如目标内涵不清楚；目标串位；目标层次要求不清楚；目标空洞无物；目标与内容不协调；目标与学生实际不相符合。27第27页①数学教学目标类型数学教学目标类型能够分为总体目标、详细目标、内容目标和课堂教学目标四类。《普通高中数学课程标准》明确指出了高中数学课程总体目标、详细目标和内容目标，这三种目标是宏观目标，是远期目标。至于课堂教学目标，则是一节课教学目标，是近期目标。远期目标要由课堂教学目标来表达、落实，近期目标受制于远期目标，是实现远期目标基础。链接128第28页

②数学课堂教学目标设计数学课堂教学目标设计能够按照知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观这3个维度来进行设计。●知识与技能知识与技能目标内容主要包含3类：一类是数学概念、数学命题（数学定理、性质、公式、法则等）和基本数学事实结论；一类是数学概念、数学命题和基本数学事实结论利用；一类是数学操作性技能（作图等）。知识与技能目标要求可分为4个层次：了解、了解、掌握和综合利用。在写知识与技能目标时，依据其知识与技能内容与层次要求来写。比如，“了解什么”、“了解什么”、“掌握什么”、“综合利用什么”。29第29页

●过程与方法过程与方法内容是：经过数学学习过程，把握数学思想方法、形成数学能力，发展数学思想和数学意识（如统计意识、应用意识、创新意识），提升处理问题能力。描述过程与方法常见术语有：经历……过程、培养……能力、领悟……数学思想方法、发展……意识、学习……问题处理方法；观察、参加、尝试；探索、研究、发觉；合作、交流、反思。30第30页

●情感态度与价值观这里情感是指，在数学活动过程中比较稳定情绪体验。数学态度是指，对数学活动、数学对象心理倾向或立场，表现出兴趣、兴趣、喜欢是否、看法立场。数学态度能够演变为数学信念——对数学持有较为稳定总体看法、观念。数学态度包含对数学学科态度（数学信念）、对数学兴趣、对数学详细内容态度。这一维度目标内容还包含宏观价值观和数学审美观。比如，对数学科学价值、应用价值和文化价值看法；辩证法观点；数学简练整齐之美、统一友好之美、抽象概括之美、对称之美、准确之美。刻画情感态度目标术语有：感受……、体会……、领悟……；形成……观点、养成……习惯、观赏……之美。31第31页

需要注意是，情感态度与价值观属于内隐心理结构，不是显性知识，而是意会知识（缄默知识），无法经过传授直接取得，必须经过学生过程学习间接取得。所以，教师在进行教学设计时，要以知识技能为基础，以过程方法为路径，在引导学生学习数学过程中，为学生情感态度与价值观发展创设适宜土壤，把知识与技能学习与情感态度与价值观培养结合起来，使学生受到潜移默化影响，最终形成良好情感态度与价值观。32第32页案例1“两条直线位置关系”教学目标设计知识与技能①了解两条直线平行与垂直充要条件推导、公式及应用。②能够依据直线方程判断两条直线位置关系。过程与方法①经过探索两条直线平行或垂直充要条件和推导过程，培养学生观察、归纳数学逻辑思维能力，并渗透算法思想。②经过灵活利用公式过程，提升学生类比化归、数形结合能力。情感态度与价值观①培养学生主动探究知识、合作交流意识。②在体验数学美过程中激发学生学习兴趣。33第33页

（2）数学教学内容内容分析数学教学内容内容分析主要包含基本分析、背景分析、结构分析、数学分析和重难点分析。①基本分析：学习教材配套教参，了解教材编写意图和编写特点，了解课程学习目标，熟悉教学要求。②背景分析：了解相关数学知识产生背景和发展历程以及与其它知识、学科、实际联络，挖掘其教学价值。34第34页③结构分析：通览教材，熟悉教材内容知识结构图，从整体上把握教材。明确本课内容在相关章节中地位和作用，搞清楚本节课内容与相关内容之间上下位关系，明确例题、习题编排与教学功效。④数学分析：研究数学概念、数学命题以及例题和习题解法，把握其数学本质，尤其是所包含数学思想方法。比如，数形结合思想、分类讨论思想、化归思想、函数与方程思想、统计思想；配方法、换元法、待定系数法、坐标法、归纳法、演绎法、分析法、综正当和反证法等。⑤重难点分析：先分析教材中重难点，预估学生易混同和易犯错之处，再依据课堂教学目标要求，确定本堂课教学重难点。35第35页

案例2“概率加法公式”背景分析和重难点分析背景分析为了将一些较为复杂概率计算转化为较简单概率计算，首先要学会将所考虑事件作出对应正确运算。这一节先讲事件和意义，然后再讲对于怎样事件可应用哪一个概率加法公式计算事件概率。接着研究事件简单运算：互斥事件加法运算及相互独立事件乘法运算，使能够计算事件概率范围得以扩充。36第36页重点、难点分析两个互斥事件概率加法公式是一个很基本同时又是很主要公式。之所以说基本，是因为它是一个最简单概率运算公式，它是任意两个事件概率加法公式特例。而其主要性主要在于它是从单个事件向多个事件过渡起点和中介，它起着承前启后作用。假如说单个事件概率问题依靠百分比还能够处理话，那么两个以上事件概率问题仅仅依靠百分比就极难处理。对于一些较复杂事件概率，直接依据概率定义来进行计算是很不方便。本章主要包含两个基本公式：互斥事件概率加法公式及对立事件概率和公式，而前者既是教学重点又是教学难点。37第37页（3）数学教学学生分析学生是学习主体，一切教学都要从学生实际出发，只有对学生情况熟悉，才可能做到有放矢、对症下药、因材施教，才可能调动学生主动性。①基本情况分析：主要是了解学生学习情况、能力差异、年纪性格特征、兴趣兴趣、身体情况、家庭情况等。②认知结构分析：主要是了解学生知识结构、认知水平准备情况。比如，教师在讲授“指数函数与对数函数互为反函数”时，教师必须检测了解学生对函数概念认知水平情况，教学才能有效。38第38页③学生认知方式分析：认知方式表现在人知觉、记忆、思维和处理问题能力等方面不一样格调。比如，●场依存性与场独立性：场依存性学生在认知活动中倾向于以外部参考作为信息加工依据，轻易受周围人们和环境影响。他们喜欢有些人际交流集体学习情境，对社会学科材料学习记忆效果很好，较依赖于学习材料预先组织，需要明确指导和讲授，喜欢结构严密教学；场独立性学生则相反，他们在认知活动中倾向于以内部参考作为信息加工依据，不轻易受周围人们和环境影响。他们知觉比较稳定，不易为背景改变而改变。善于学习数理学科，能独立思索，对学习材料能进行分析和重组。39第39页●沉思型和冲动型：在有几个可能解答情境中，有些学生倾向于深思熟虑且错误较少，但回答速度较慢。这种认知方式称为沉思型认知方式。另一些学生倾向于很快地作出反应和检验假设，但经常犯错。这种认知方式称为冲动型认知方式。●辐合型和发散型：辐合型认知方式是指学生在处理问题时，经过搜集或综合信息，利用逻辑规律，缩小解答范围，直至找到正确解答。发散型认知方式是指学生在处理问题时，思维沿着许多不一样方向扩展，使观念发散到各个相关方面，最终产生各种答案。●整体策略和序列策略：有些学生倾向于把问题看作一个整体，从各个角度对问题进行观察和思索，采取整体策略，有些学生则倾向于把重点放在处理一系列子问题，一步一步呈直线方式进展，采取序列策略。40第40页学生认知方式差异对学生学习和教师教学都会产生一定影响，经过对学生认知方式分析，能够更加好地针对学生实际情况进行教学。了解学习普通方法有访谈法、观察法、课堂提问、检验作业、问卷法等。详细方法有：●向前任老师、班主任或家长了解●经过与学生交往了解●依据课堂教学中反馈信息了解●从练习、作业、个别辅导、测验中了解……41第41页

二、高中数学教学设计案例分析数学教学设计贯通于整个数学教学活动过程。从数学教学组成元素来看，有板书设计、教学媒体设计、问题情境设计、问题设计、讨论设计、小结设计等；从数学教学内容来看，有数学概念设计、数学命题设计、数学习题设计等；从数学课型来看，有数学新课教学设计、数学复习课教学设计、数学活动课教学设计等。下面分别择其一二而阐述。42第42页1．问题情境设计（1）问题情境含义问题情境关键是经过情境来提出问题，问题是教学设计关键。另外，在进行问题情境设计时，“情境”与“问题”是一个融合整体，刻意去寻找热闹“情境”或人为编造问题，都会发生偏差。从教学内容看，问题情境大致能够分为：实际背景、数学背景、文化背景等。其中，实际背景主要指现实生活情境；数学背景主要指数学内部规律、数学内部矛盾等；文化背景主要指数学发生、发展历史和数学在认识自然改造过程作用等。从教学步骤看，问题情境包含引入新课情境、过程展开情境、回顾反思情境。从展现方式看，问题情境包含叙述、活动、实物、问题、图形、游戏、观赏等形式。43第43页

（2）问题情境设计问题情境设计主要是为了引发学生学习兴趣，激发学生好奇心，使学生能从情境中提出数学问题，进而为了处理问题而进行主动学习。因而，问题情境设计标准是有利于学生思维能力发展，有利于学生发觉问题、提出问题能力发展，有利于学生创新意识发展。在设计问题情境时应注意问题情境适度性、导向性和探究性。44第44页①适度性问题情境应与数学知识相连，与学生认知起点相吻合。有些情境过分追求数学理论严谨性，追求数学逻辑起点，而没有与学生已经有数学知识相连，这么问题情境没有实际内容，难以发挥应有主动效果。45第45页

案例3“复数概念”引入设计1

在遨游数学王国时，你还记得数概念发生和发展过程吗？在历经几次“添加新数”之后，数集已经扩充到实数集。不过，因为负数在实数范围内不能开平方，所以代数运算在实数集内仍不能永远实施。比如，当△＜0时，实系数一元二次方程没有实数根。再比如，一元三次方程x3=1只有一个实数根。根个数与方程次数“不一致”，有悖于数学“友好美”。这么看来，数概念需要深入发展：实数集怎样扩充？在新数集里，怎样实施数运算？

剖析这里设计问题情境符合“数”科学扩充过程，但与学生已经有知识相差太远，脱离了学生认知起点，过分重视数学逻辑起点，因而难以真正实现学生思维开启。46第46页设计2

16世纪，意大利数学家卡尔达诺（Gardano）在处理求两个数，使其和为10，积为40时，认为这两个数是5+和5－。这是因为（5+）+（5－）=10，（5+）（5－）=40。在实数集内，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0平方根是0。然而，表示什么意义呢？尽管很长一段时间内，部分数学家都认为“5+”和“5－”这两个式子没有意义，是虚构、想像。但在处理许多问题时，使用类似这么式子却带来极大方便。那么，能作为数吗？它真是无意义、虚构吗？

47第47页评析

这个问题情境是经过数学史上真实发生故事作为情境。当年，这个问题困扰过许多数学家。今天，学生一样会对这个看似荒谬但又难以否定问题感兴趣，这个问题情境符合学生认知起点，普通学生都能了解，从而可顺利进入复数概念建立阶段。

48第48页教育心理学家奥苏伯尔曾说：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理话，那么，我将一言以蔽之：影响学习唯一最主要原因，就是学习者已经知道了什么。”在进行问题情境设计时，首先要考虑是学生认知起点。若违反这条标准，表现为过分追求知识逻辑起点，那么，所谓问题情境不能真正开启学生思维，实际上依然是教师“灌输”。49第49页②导向性所谓导向性指是所设计问题要有利于学生提出问题。有些情境设计过分追求视觉效果，追求新奇，追求浅层次趣味。面对这么情境，学生不能产生疑问，不能自觉提出问题。50第50页

案例4“圆标准方程”引入设计1

展示一些与圆相关生活图片，创设情境，引入新课。评析

这里给出几幅图片，表面上看是与圆相关，与生活实际联络亲密，不过，整个情境没有问题，学生只是接收视觉刺激，没有思维发生。这么情境不但无助于本节课内容学习，相反可能会分散学生注意力，给学生带来负面影响。51第51页设计2

圆是最漂亮曲线，圆是到定点距离等于定长点集合，定点是圆心，定长是半径。那么，怎样求圆方程？评析这里依据学生已经有关于圆知识，直接给出圆几何关系，单刀直入，引导学生提出解析几何基本问题：怎样把几何问题转化为代数问题：求圆方程，就是要建立适当直角坐标系，并写出圆上任意一点P（x，y）所满足关系式。小结问题是数学心脏，问题是思维关键。没有问题，思维便无法开启。这里问题是以各种形式出现，但在问题情境设计时必须同时考虑问题提出、处理和拓展，不然问题情境将失去价值，难以到达预期目标。这也就是导向性标准。52第52页③探究性问题情境应该是开放、挑战、新奇，应该能够激发学生主动发觉问题、提出问题和处理问题欲望。链接2:案例5“导数”引入53第53页（3）几点注意①预防出现惟生活情境，以生活情境代替问题情境现象。在许多情况下，数学内部问题就是好问题情境。②预防出现假情境、为情境而情境、只有情境没有问题现象。③预防出现过分重视数学逻辑起点，忽略学生接收能力现象。④预防出现一个内容一个情境，情境遍地开花现象。要重视学生对所学内容整体认识。54第54页2．问题设计（1）“问题”含义“问题”在数学学习中是十分主要。在数学学习中，“问题”是引导学生发觉数学、探究数学一个心理困境，这种困境是学生有目标准备去追求但还未找到适当伎俩处理一个状态。依据数学内容与教学步骤不一样，教学中“数学问题”能够分为各种类别，有是为了揭示关键内容关键问题，有是为了引出新内容导向性问题，有是为了渗透数学思想方法启迪性问题。55第55页（2）问题设计怎样进行问题设计？依据问题在数学学习中作用，必须重视问题关键性、整体性、探究性和开放性等。56第56页①重视问题关键性

案例6“集合”引言蓝蓝天空中，一群鸟在欢快地翱翔；茫茫草原上，一群羊在悠闲地走动；清清湖水中，一群鱼在自由地游泳……鸟群、羊群、鱼群……都是“同一类对象聚集在一起”，这就是本章将要学习“集合”。那么，我们要问：第一，集合含义是什么？第二，集合之间有什么关系？第三，怎样进行集合运算？57第57页评析

这里问题就是本章要研究关键内容，本章学习实际上就是要处理这三个问题。而为了处理这三个问题，又产生出若干小问题，每个小问题处理，就组成整个内容学习与探究过程。关键问题有利于学生对知识整体把握，经过关键问题引领，学习过程能够有序、有效。58第58页

案例7“反函数”课堂小结问题

为何叫做反函数？你以为这个“反”到底反在什么地方？评析

此问题提出独具特色，也带有一定诙谐，让学生以为很有意思。在这么教学活动中，学生不需要教师再三嘱咐，也不会忘记反函数“反”在哪里？同时，此问题又是本学习内容关键所在，因为反函数“反”也就是它主要内涵、性质所在！59第59页②重视问题整体性整个课堂是一个有机整体，从初始问题开始，到回顾反思为止，应该是一个系统、完整思维整体。不然，课堂被分解地支离破碎，没有协力。问题只有以“问题串”形式出现，在“问题串”引领下，学生才能进行系列、连续思维活动。

链接3:案例8研究性学习课“怎样烧开水最省煤气”中“问题串”③重视问题探究性怎样引导学生进行有效教学探究，关键在于问题“设计”，即问题本身应含有探究性。60第60页案例9“均值不等式”变式问题问题

甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超出80km/h。已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成。可变部分与速度v（km/h）平方成正比，百分比系数为1/10，固定部分490元。(1)把全部运输成本y表示为v（km/h）函数，并指出这个函数定义域。

(2)为了使运输成本最小，汽车以多大速度行驶？61第61页变式问题1：在问题1中，只把汽车“速度不超出80km/h”改为“速度不超出60km/h”，其它条件不变，让学生探索一样问题。变式问题2：在问题1中，把汽车“速度不超出80km/h”改为“速度不超出c（km/h）”，其它条件不变，让学生探索一样问题。变式问题3：在问题1中，把汽车“速度不超出80km/h”改为“速度不超出c（km/h）”，把“百分比系数为1/10，固定部分490元”改为“百分比系数为b，固定部分a元。”。其它条件不变，让学生探索一样问题。62第62页评析

问题基本解答为：全部运输成本y与v（km/h）关系式是（0＜v≤80）。利用均值不等式，得到当汽车以70km/h速度行驶时，运输成本最低。在问题基础上给出了三个变式问题。教师为何要在变式问题1中把汽车“速度不超出80km/h”改为“速度不超出60km/h”？其实它是针对函数定义域改变而来：问题中所求70km/h在其定义域（0＜v≤80）之内，但不在变式问题2中定义域（0＜v≤60）内。深入地，变式问题2-3把相关问题抽像化了。这么问题不但可推进学生愈加主动地、主动地去探究学习，而且也培养了他们逻辑思维和抽象思维能力。63第63页

④重视问题开放性有些数学教师在教学中也力图提出一些问题来促进学生思索。可是，这些问题大多数都是指向性明确封闭性问题，即为“是/否”（Yes/No）问题。我们不能否定这些问题在有些情况下价值，不过，若要更加好地促进学生思维建构，则需要教师提出开放性问题。

链接4:案例10“一条直线到另一条直线角（到角）”引入64第64页

案例11“反函数”概念及性质（请学生回想前面学习过指数函数和对数函数，且依据学生回答，在黑板上画出相关指数函数、对数函数一些性质对照表）问题学习完一些知识以后，我们要有一个习惯，就是能不能把这些知识横向联络起来？那么，现在请同学们思索这么一个问题，你以为指数函数和对数函数有哪些关系？你打算怎样研究？65第65页评析

教师第一句话，其实是培养学生良好学习方法。教师第二句话看似是教师提问，其实是把学习主动权交给学生，让学生来发觉问题：发觉指数函数与对数函数之间关系，并用某种方法来研究它们。给时间让学生讨论、讲话，可得到一个猜测：指数函数图像与对数函数图像关于直线y=x对称等。66第66页教师再给时间让学生继续证实自己猜测。而在学生思索时间内，老师不要有多出话语，只是在教室里四处走动，不时停下来解答学生问题。等到学生思索出大致进程后，老师请有想法学生举手回答，与全班学生一起分享他想法。然后，师生又经过几何画板验证学生自己得出猜测。至此，教师对以上学生相关讨论做出一个小结，指出指数函数和对数函数有如此关系，教材上给一名称把它们叫做一对反函数，从而引出反函数概念。67第67页3．数学概念教学设计（1）数学概念学习内容数学概念是反映一类对象本质属性思维形式。它具有抽象性和具体性双重特点。因为数学概念代表了一类事物本质属性，所以它是抽象，没有实际物质存在。以“三角形”概念为例，现实世界中，没有见过抽象三角形，而只能见到具体三角形。它是客观现实抽象。这是概念抽象性一面。其次，尽管概念作为一种抽象，物质世界中没有实际存在，但是从数学教学方面来看，学生可以获得概念，概念一旦为学生掌握，对学生来说就是“实在”东西了，这是概念具体性一面。68第68页数学概念是进行数学推理、证实基础和依据，数学中推理和证实实质上是由一连串概念、判断和命题组成，而数学中命题又都是一些概念组成。所以，数学概念学习是数学学习基础，数学概念教学是数学教学最主要组成部分。普通来说，数学概念学习包含以下四个方面：①数学概念名称。比如“三角形”、“正方体”、“椭圆”等。②数学概念定义。比如“三角形”定义是“由不在同一直线上三条线段首尾顺次相接所组成图形”。③数学概念例子。符合数学概念定义事物是数学概念正例，不符合数学概念定义事物是数学概念反例。④数学概念属性。比如“三角形”这个数学概念属性是平面图形、封闭、有三条边、有三个角等。69第69页（2）数学概念学习形式数学概念学习形式普通有两种，一是概念形成，二是概念同化。第一，概念形成概念形成是在教学条件下，从大量详细例子出发，从学生实际经验必定例证中，以归纳方法概括出一类事物本质属性。第二，概念同化概念同化是利用学生已经有知识经验，以定义方式直接向学生揭示概念本质。

70第70页（3）数学概念教学设计所需要注意几个问题为帮助学生透彻了解并掌握所学数学概念，教师要注意以下几个方面：①加强对数学概念解剖分析数学概念是借助于数学语言符号来表示，其用语、用词普通都非常严密、精练，含有高度概括性。所以，教师必须抓住概念中关键词句进行解剖分析，揭示每一个词、句、符号、式子内在含义，使学生深刻了解概念本质属性。

链接5:案例12对“正弦函数”概念分析

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②利用变式，突出概念本质属性变式是指概念例证在非本质属性方面改变。利用变式目标是经过非本质属性改变来突出本质属性，使学生取得概念更准确。比如，为了使学生全方面了解无理数概念，教师能够展现下面各种变式：●开不尽数：●负无理数：●超越数：●无限不循环小数：4.12112111211112…72第72页③注意概念对比数学中许多概念是相互联络。所以，在数学学习中，可把它们