【题型归类大全】2023年备考一轮复习学案（理科数学）考点09：对数与对数函数

【题型归类大全】2023年高考一复习学案(理科数学)

考点09：对数与对数函数

［考纲传真］

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然

对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特

殊点.

3.知道对数函数,是一类重要的函数模型.

4.了解指数函数y=a'与对数函数y=log”互为反函数(a>0,且aWl).

［题型归类］

题型一：对数式的化简与求值

题型二：对数函数的图象

题型三：对数函数的值域与最值

题型四：对数函数的特征

题型五：对数函数的单调性问题

题型六：对数函数的性质及应用一一比较大小

题型七：对数函数的性质及应用一一解不等式

题型八：对数函数的性质及应用---值成立问题

题型九：和对数函数有关的复合函数、分段函数

题型一对数塞的化简与求值

知识与方法

对数运算的一般思路

(1)首先利用累的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使幕的

底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.

(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，

转化为同底对数真数的积、商、暴的运算.

1.对数的定义

如果a'=Ma>0且aWl),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log.W,其

中a叫做对数的底数，N叫做真数.

2.对数的性质与运算

(1)对数的性质(a>0且aWl)：

Olog„l=0；②log“a=j_；③alog,W=&

(2)对数的换底公式：

1。短6=产(搐c均大于零且不等于1).

logca

(3)对数的运算法则：

如果a>0且松0,N>0,那么

①],og"("・A)=log,,¥+logj；

②log.,T=log“〃一log,,A；

N

③].ogJf=〃log/(〃eR).

>例1if^(log32+log92),(log43+log83)

B2n

解析：loga2=/z?,loga3=z?,:.空=2,a"=3,'.d^"=(a),a=2~X3=12.

法二：Vlog„2=/z?,log“3=〃，:.沪""=(a®)°•a=(alog,,2)",alog„3=2?X3=12.

-例2设a,b,c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成.立的是()

A.log,,Z>*logrZ>=logra

B.log力•log,.a=log”

C.log<6c)=log/Tog“c

D.loga(2?+c)=log„Z)+log.,c

解析：选Blog,力•logca=log"•J—=.g"'=log/,故选B

log«clogac

>例3已知实数a,，满足等式Iog2a=log3，，给出下列五个关系式：①a>6>l；

②6>a>l；③a<6Vl；④力<a〈l；⑤a=6.其中可能的关系式是.

解析：由已知得log2a=log3Z?,在同一坐标系中作出y=logzx,y=log3X的图象，

当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能.

答案：②④⑤

(■例4设2'=5"=加，且,+)=2,则R=.

ab

解析：V2a=5*=/z?,...a=log2勿，8=logs勿，

1,111

•■•rt=T^+w^=log»2+lo&5=logJ0=2-

.,./=10,；./n=寸G

题型二对数函数的图象

知识与方法

对数函数的图象与性质

3>10<a<l

卜7月O。

图象。启0)/

定义域(0,+8).

值域R

定点过点(1,0)

单调性在(0,十8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

函数值当x>l时，y>0；当X>1时，y<0；

正负当0<x<l时，jKO当0<%<1时，y>0

对数函数图象的画法

画对数函数y=log“x的图象应抓住三个关键点：(a,1),(1,0),—1

对数函数与指数函数的图象特征

⑴底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a>l时，图象上升；OVaVl时,

图象下降.

(2)底数的大小决定了图象的高低，即在y轴右边，指数函数尸a'的图象"底大

图高”；在X轴上方，对数函数y=log,x的图象“底大图低”.

>例1函数y=a*+6x与尸log|4x(a8W0,|a|W|)在同一直角坐标系中的

a

图象可能是()

AB

解析：令a*+'x=O,得x=0或x=-

对于A、B项,由抛物线知,0<|<1,此时,对数函数图象不合要求,故A、B

项不正确；对于C项，由抛物线知\>1,此时，对数函数图象不合要求，故C不正

确；对于D项,由抛物线知0VIII<1,此时对数函数的图象符合要求，故选D.

-例2函数A^)=logj^|+l(0<a<l)的图象大致为()

解析：选A由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称.设

g(x)=log.|",先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画

出xVO时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得F(x)的图

象，结合图象知选A.

(11gx\,0〈xW10,

＞例3已知函数f(x)=〈1,

若a,b,c互不相等，且Aa)

一＞+6,%＞10,

=f(6)=f(c),则a历的取值范围是()

A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)

解析：选C作出/'(x)的大致图象.不妨设aVbVc,因为a、b、c互不相等.，

且F(a)=F(6)=F(c),由函数的图象可知10<c<12,且1lga|=1lg6|,因为

所以lga=-1g8,可得a8=l,所以a8c=c—(10,12).

>例4函数/'(x)=ai的图象如图所示，其中a,6为常数，则下列结论正确的是

()

A.a>i,b<QB.a>l,b>Q

C.0<a<l,b>0D.OVaVl,b<Q

解析：选D由函数F(x)的图象特征知，OVaVl,又/1(O)=ai〈l=a°,所以一

b>0,即bVO.

题型三对数函数的值域与最值

知识与方法

>例1函数y=log2(f+l)—logzx的值域是()

A.[0,+°°)B.+°°)

C.[1,+8)D.(—8,-1]U[1,+8)

解析：选cy=log2(/+l)—log2^=log2^y^=log./%+^^log22=l(jr>o).

VI

>例2若函数f(x)=(alog-•log2(4x)在区间4上的最大值是25,求实数a的

2o|_o

值.

解：f(x)=alogQ・log2(4x)=a[(log2X—3)(log2x+2)]=a[(log2X)2—log2*—6]，

2o

令£=log2X,则F(x)=a(Y—£—6),且方£[-3,2].

LT/、2(25

由于A(t)=t—t—6=1t—2J一■屋，

i25

所以当时，力(。取最小值一^;

乙1

当1=一3时，力⑺取最大值6.

若a=0,显然不合题意；

若a>0,则/'(x)的最大值为6a,即6a=25,

252525

所以若a<0,则f(x)的最大值为一彳。，即-7a=25,所以a=-4.

644

综上,实数a的值为/或一4.

>例3若函数y=log.(x2—ax+1)有最小值，则a的取值范围是().

A.0<a<lB.0<a<2,aWl

C.l<a<2D.a22

4-Q

解析因为y=f—dx+l是开口向上的二次函数，从而有最小值丁，故要使函

°4一4

数y=loga(*—ax+D有最小值，则a>l,且《得1〈水2,故选C.

»例4设f(x)=lg［，&+a)是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(—8,0)D.(—8,0)U(1,+8)

答案A

解析由f(x)是奇函数可得&=-1,

1—I—x

.,"(X)=lg]_、定义域为(-1,1).

1+x

由f(x)<0,可得一<1,

1—X

题型四对数函数的定义域与特征

知识与方法

-例1若f(x)=11,则f(x)的定义域为()

logg2x+l

D.(0,+8)

根据题意得log|(2x+l)＞0,即0V2x+lVl,解得时一盘

解析：选A

＞例2已知函数/'(x)=(1)\—log：/,若实数X。是方程f{x)=0的解，且0＜为＜荀,

则/1(由)的值()

A.不小于0B.恒为正数

C.恒为负数D.不大于0

解析：选B由题意知，用是函数和y=log3X的图象交点的横坐标，因为

0＜水吊，由图知，七）＞log：M所以f（xi）的值恒为正数.

1OfV—I-1

-例3函数y=上T—的定义域是()

X—1

A.(―1,+°°)B.[―1,+00)

C.(-1,1)U(1,+8)D.[-1,1)U(1,+8)

1gx~\~1

解析：要使•「一有意义，需满足叶＞。且I#。，得*＞―1且e.

，例4函数尸记的定义域是（）

A.{x|0VxV2}B.{x|0VxVl或1VXV2}

C.{x|0VxW2}D.{x|0VxVl或1VXW2}

’2一心0

解析要使函数有意义只需要｛*＞0

4gx#0

解得OVxVl或1VXW2,

定义域为｛%|0VxV1或1VxW2｝.

题型五对数函数的单调性问题

知识与方法

-例1函数y=logj『HI的单调递减区间为，单调递增区间为

解析:作出函数y=log〃的图象，将其关于y轴对称得到函数y=log20的图象，

再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y=logjx+l|的图象(如图所示).由图

知，函数y=logz|x+l|的单调递减区间为(一8,—1),单调递增区间为(-1,+8).

答案：(-8,—1)(―1,+00)

>例2已知函数f(x)=10蒋(才—3a+3);

(1)判断函数的奇偶性；

(2)若y=f(x)在(一8,+8)上为减函数，求a的取值范围.

解⑴函数f(x)=log1(才一3a+3)'的定义域为R.

又f(-x)=log^(<a2—3a+3)-'

乙

=­log^(a2—3a+3)A=—，

所以函数f(x)是奇函数.

(2)函数f(x)=log1(a2—3a+3)'在(一8,十8)上为减函数，则了=(才一3a+3)"

在(-8,+8)上为增函数，

由指数函数的单调性，知a2—3a+3〉l,解得水1或a>2.

所以a的取值范围是(一8,1)U(2,+8).

►•例3已知函数y=log|(V-ax+a)在区间(一8,镜)上是增函数，求a的取值范围.

2

解函数y=llogi(*—ax+a)是由函数y=log|大和1=矛2—ax+a复合而成.

22

因为函数y=log11在区间(0,+8)上单调递减，

2

而函数力=/一ax+a在区间(一8,乡上单调递减，

又因为函数了=log](*—ax+a)在区间(一8,十)上是增函数，

a，2低

所以解得

aW2yj2+l

y/2~—aNO,

即2吸WaW2（啦+1）.

>例4若函数f(x)=lg(*—2ax+l+a)在区间(-8,1]上递减，则a的取值范围

为(A)

A.[1,2)B.[1,2]

C.[1,+8)D.[2,+8)

解析：令函数g(x)=/—2ax+l+a=(x—a),+l+a—才，对称轴为x=a,要使

\g1>0,[2-a>0,

函数在(一8,1]上递减，则有即解得lWa<2,即aG

、启1,[启1,

[1,2).

题型六对数函数的性质及应用——比较大小

知识与方法

比较对数式的大小.①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判

断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；②若底数不同，真数相同，则可

以先用换底公式化为同底后，再进行比较；③若底数与真数都不同，则常借助1,0等

中间量进行比较.

(■例1设a=log36,Z>=log510,c=log714,则()

A.c>b>aB.b>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

解析：由对数运算法则得a=log36=l+log32,Z?=l+log52,c=l+log；2,由对

数函数图象得Iog32>log52>log72,所以a>b>c.

>例2己知a=51og23.4,b=51og43.6,log：。3,则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

解析：选Ca=51og23.4,A=51og43.6,c=Mlog30.3=51og3-y.XVlog23.4

>log—>1,0<log3.6<1,A51og3.4>log0.3>51og36,即a>c>b.

3o423

a例3已知a=log23+log2V^,6=log29—log2/,<?=log32,则ab,c的大小

关系是（）

A.a=b<.cB.a=b>c

C.水伙cD.a>b>c

3

解析：选B因为a=log23+log2^/§=log23"\/§=51og23>l,Z>=log29—log2-\/3=

log23^3=a,c=log32<log33=L所以选B.

>例4设a=log32,b=logs2,c=log23,则（）

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

解析：•.♦/<2V3,1<2<乖，3>2,.,.log3V3<log32<log33,log5l<log52<

logslog23>log22,

11

A-<a<1,0<Z?<―,c>l.

「・c>a>b.

题型七对数函数的性质及应用——解不等式

知识与方法

解对数不等式.形如log,x>log/的不等式，借助y=log,x的单调性求解，如果

a的取值不确定，需分a>l与OVaVl两种情况讨论；形如log“x>6的不等式，需

先将。化为以a为底的对数式的形式.

＞例1当时，4yog,x,则a的取值范围是（）

4。,阴B.将,1）

C.（1,⑫,D.（蜴2）

解析：由且logaxM'X）,得0＜水1,

在同一坐标系中画出函数y=4（0〈xwg）和y=log/（0＜a＜l,0＜后刍的图象,

如图所示:

由图象知.，要使当OVxwJ,4：,＜log.x,

乙

1

2

贝.

na>-

只需.log/>4万,即log友>log房,J2

解得。＞¥或＜3＜一乎，又0＜水1,所以当VaVl.

»例2如果log|x<log|y<0,那么（）

A.y<x<\B.x<y<l

C.IVxVyD.l<y<x

由log1^<log^y<0,得log1^<log|y<

解析：选D.所以x>y>\.

»例3定义在R上的偶函数/'（x）在［0,+8）上是增函数，且=0,则不等式

f(log|x)>0的解集是.

o

解析：定义在R上的偶函数/'(x)在［0,+8)上是增函数，

由于则3)=0,由『3>0可得右!或才<一/不等式f(log|x)

>0

等价于log|x>：,或log|z<—

…11Uf1111

即lo^>-log—,或log~^<--log—,

所以0Vx<g,或x>2.

2

••例4设/'(x)=lg(7；--+a)是奇函数，则使/'(x)V0的x的取值范围是().

1—x

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(一8,0)D.(—8,0)U(1,4-00)

解析为奇函数，，/■(())=0,，a=—l.

V—k-1V—k-1

/.f{x)=1g-j---，由/'(x)<0得，0V"；---<1,

\—x\~x

，一IVxVO.

题型八对数函数的性质及应用——恒成立问题

知识与方法

•►例1若不等式(x-lTviog,x在xG(1,2)内恒成立，求实数a的取值范围.

解：设£(x)=(X—1)2,£(x)=log.x,要使当XG(1,2)时，不等式(X—1)?Vlog,,X

恒成立，只需f(x)=(x—1)2在(1,2)上的图象在£(x)=logu图象的下方即可.当0

Va<l时，显然不成立；当a>l时，如图，要使xW(1,2)时，£(x)=(x—1尸的图

象在£(x)=log,x的图象下方，只需£(2)<£(2),即(2—l)2Wlog“2,log%21,...

lVaW2,即实数a的取值范围是(1,2］

>例2已知函数f(x)=log式3—ax).

(1)当xG［0,2］时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间［1,2］上为减函数，并且最大值

为1?如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.

解：(l)；a>0且aWl,设亡=3—ax,则「=3—ax为减函数，xe［0,2］时，大最

小值为3-22当x£［0,2］时，f(x)恒有意义，即xW［0,2］时，3—ax>0恒成立.

3

/.3-2a>0,BPa<-

又a>0且a#l,

.,.ad(0,1)U(l,I)

(2)£=3—ax,,.,於0,，函数1(x)在R上为减函数.

在区间［1,2］上为减函数，...y=log/为增函数.，a>Lx£［l,2］时，寅力

最小值为3—2a,f(x)最大值为AD=loga(3-a),

一3

3—2a>0,水2，

二।。，即〈。故这样的实数a不存在.

［log“3—a=1,3

、a=］,

>例3已知a>0且若函数f(x)=log”(ax?—x)在［3,4］上是增函数，则a的

取值范围是.

解析：当a>l时，要使/Xx)=loga(aV—x)在［3,4］上单调递增，则尸a/—x在

%>1,

［3,4］上单调递增，且y=ax2—x>0恒成立，即解得a〉l.

、9a—3>0,

当0〈水1时，要使f(x)=loga(af-x)在［3,4］上单调递增，则—x在［3,4］

’0〈水1,

上单调递减，且了=。/一X>0恒成立，即此时无解.

4a

、16a—4>0,

综上可知，a的取值范围是(1,+°°).

题型九和对数函数有关的复合函数、分段函数

知识与方法

»例1已知函数/'(x)=10g0(3—ax).

(1)当xe［0,2］时，函数f(