专题07 平方差与完全平方公式压轴题（原卷版）（人教版）

专题07平方差与完全平方公式压轴题的四种考法类型一、平方差公式逆运算【变式训练2】．若A2＋122＋124＋128＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是.【变式训练3】阅读：在计算(x-1)(xn+xn-1+xn-2+…+x+1)的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：【观察】①(x-1)(x+1)=x2-1；②(x-1)(x2+x+1)=x3-1；③(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1；……(1)【归纳】由此可得：(x-1)(xn+xn-1+xn-2+…+x+1)=；(3)计算：220-219+218-217+…-23+22-2+1=______；(4)若x5+x4+x3+x2+x+1=0，求x2022的值.类型二、完全平方公式（换元法）例．设a=x-2022，b=x-2024，c=x-2023．若a2+b2=16，则c2的值是()【变式训练1】已知(n-2016)(2019-n)=1，则(n-2016)2+(n-2019)2=.【变式训练2】已知(2018-a)(a-2021)=-5，求(a-2018)2+(a-2021)2=.【变式训练3】阅读理解：已知a+b=﹣4，ab＝3，求a2+b2的值.解：∵a+b=﹣4，2＝(-4)2.2+b2＝10.参考上述过程解答：（1）已知a-b=﹣3，ab=﹣2．求式（a-ba2+b2）的值；（2）若m-n-p=-10，(m-p)n=﹣12，求式(m-p)2+n2的值.类型三、完全平方公式变形例．已知a-b=5，且c-b=10，则a2+b2+c2-ab-bc-ac等于()例2．已知x2-3x+1=0,求x4+.【变式训练1】．已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为.【变式训练2】已知x2+2x-1＝0，则x3-5x+4的值为；的值为.【变式训练3】．如果x2+4y2﹣2x﹣4y+2＝0，则（2x﹣3y）2﹣（3y+2x）2=.类型四、完全平方公式与几何综合例．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①),其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②),两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2.（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a-b=8，ab=13，求S1+S2的值；（3）用a、b的代数式表示S3；并当S1+S2=34时，求出图③中阴影部分的面积S3.【变式训练1】若x满足(9-x)(x-4)=4，求(4-x)2+(x-9)2的值.解：设9-x=a，x-4=b，则(9-x)(x-4)=ab=4，a+b=(9-x)+(x-4)=5，∴(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若x满足(x-10)(x-20)=15，求(x-10)2+(x-20)2的值；(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积.【变式训练2】如图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.(1)图2中正方形阴影部分的面积为；(2)请你用两种不同的方法分别求图2中阴影部分的面积，可以得到等式是；若x-y=-4，xy=，则x+y=；(4)若x2-y2=3，xy=2，求x-y的值.“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2（如图1利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题.【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：(1)由图2可得等式：；由图3可得等式：；(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形（无空隙、无重叠地拼接）.①请画出拼出后的长方形；②x+y+z=；(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接则拼成的正方形的边长最长可以为.课后训练1．设a=x-2017，b=x-2019，c=x-2018．若a2+b2=34，则c2的值是()2．已知a2-a-2=0，则a2+等于()3．若a，b满足2a2+b2+2ab-4a+4=0，则a+3b的值为.4．已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是.5．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）.(1)观察图2，请你写出(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系是；(2)利用（1）中的结论，若x+y=5，xy=，求2的值；(3)如图3，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE的面积记为S2,…，以此类推，当BC=n时，△BEG的面积记为Sn，计算S50-S49+S48-S47+…+S2-S1的值.6．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如：由图①可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：(1)直接应用：若xy=5，x+y=7，直接写出x2+y2的值为；(2)类比应用：填空：①若x(4-x)=2，则x2+(x-4)2=；②若(x-3)(x-5)=2，则(x-3)2+(x-5)2=；(3)知识迁移：如图②,一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形ABCD）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以AD，CD为边分别向外扩建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为2000m2，求原有长方形用地ABCD的面积.7．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于.(2)观察图2你能写出下列三个代数式(m+n)2，(m-n)2，mn之间的等量关系.(3)运用你所得到的公式，计算若mn=-2，m-n=4，求：②m4+n4的值.(4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式x2+2x+y2-4y+9的最小值.8．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于______（2）观察图2你能写出下列三个代数式(m+n)2，(m-n)2，mn之间的等量关系_____（3）运用你所得到的公式，计算若mn=-2，m-n=4，求①(m+n)2