专题06 幂运算压轴题（解析版）（人教版）

专题06幂运算压轴题的三种考法类型一、比较大小【答案】B【分析】逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的8次方的形式，比较底数得结论.【详解】解::a=240=(25)8=328,843:32<64<81,8:a<c<b.故选：B.【点睛】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键.【变式训练1】．已知a1,a2,a3,...a20N=(a1+a2+...+a2015)(a2+a3+...+a2014)，则M与N的大小关系是()A．M=NB．M>NC．M<ND．无法确定【答案】B【分析】根据换元法将，设x=a1+a2+…+a2014，y=a2+a3+…+a2015，则M=xy，N=(x+a2015)(ya2015)，作差即可求得大小关系.则M=xy，MN=a2015(yxa2015)=a1a2015由于a1,a2,a3,...a2015均为负数所以a1a2015为正数，则M—N=a1a2015>0，M>N.故选：B.【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键，解答时注意运用整体思想，属难题.【变式训练2】已知a=355，b=444，c=533，则a、b、c的大小关系为()【答案】A【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系.【详解】解：∵a35）11＝24311，b44）11＝25611，c53）11＝12511，故选：A.【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同.【变式训练3】340430（填“＞ℽℼ<ℽ或“=”）【答案】＞【详解】因340=（34）10=8110，430=（43）10=6410，81＞64，可得8110＞6410，所以340＞430.点睛：此题考查了幂的乘方．解此题的关键是将将340与430变形为同指数的幂.【变式训练4】比较52012+62012与72012的大小.【答案】72012>52012+62012.【分析】先比较52012+62012<62012+62012=2×62012，再比较72012>2×62012，即可得出结论.【详解】∵52012+62012<62012+62012=2×62012=2×63×62009=432×62009=93312×62006，72012=73×72009=343×72009=117649×72006，∴72012>2×62012>52012+62012.【点睛】此题考查了有理数的大小比较，难点在于得出52012+62012<2×62012，72012>2×62012.类型二、化简求值【答案】A【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答案.【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则以及逆运算是解本题的关键.【答案】1.【分析】利用幂的乘方与同底数幂相乘，得到2a+1＝2a×2＝6，3b+1＝3b×3＝6，进而得到6.6=6+=6，求出答案即可.故答案为：1.【点睛】本题考查幂的乘方与同底数幂相乘，掌握幂的乘方与同底数幂相乘的运算法则是解题关键.【变式训练2】．若am=20，bn=20，ab=20，则=.【答案】1【分析】先根据ab=20可得anbn=20n，再结合bn=20可得an=20n—1，由此结合am=20可得am+n=amn=20n，由此可得m+n=mn，进而可求得答案.【详解】解：∵ab=20，即anbn=20n，又∵am=20，故答案为：1.【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键.【变式训练3】．已知2a=5b=10，判断a＋b和ab的大小关系.【分析】利用幂的乘方和积的乘方将式化简得到：(2a)b=2ab=10b，(5b)a=5ab=10a，10a×10b=10a+b=5ab×2ab=(5×2)ab=10ab，即可求出a＋b和ab的大小关系.【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方，求出类型三、新定义问题例．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a.a…，记为an．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3一般地，若an＝b（a>0且a≠1，b>0则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n．如34＝81，则4叫做以3 为底81的对数，记为log381（即log381=4）.(1)计算以下各对数的值：log24log216log264=.(2)写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式.(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN=_____（a>0且a≠1，(4)设an＝N，am＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性.【答案】(1)2，4，6(2)log24+log216=log264(3)loga(MN)(4)证明见解析【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，log24+log216=log264；（3）由特殊到一般，得出结论：logaM+logaN=loga(MN).（4）设logaM＝b1，logaN＝b2，根据同底数幂的运算法则：am.an=am+n和给出的材料证明结论.故答案为：2，4，6；故答案为：log24+log216=log264；（3）由（2）的结果可得logaM+logaN=loga(MN)，故答案为：loga(MN).（4）设logaM＝b1，logaN＝b2，则ab=M，ab=N∴MN=abab∴logaM+logaN=loga(MN).【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质.【变式训练1】阅读理解：规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)；如果ac=b，那么(a,b)=c．例如：因为23=8，(1)根据上述规定，填空：②若=5，则x=______；③若(3,y)=4，则y=.(2)若(4,7)=a，(2,3)=b，(4,63)=c．请探索a，b，c之间的数量关系并说明理由.【答案】(1)①2；②2；③81【分析】（1）根据规定的运算法则结合有理数的乘方和负整数指数幂解答即可；（2）由题意可得出4a=7，2b=3，4c=63，结合7×32=63，即得出4a×(2b)2=4c，再根据幂的乘方及其逆用法则和同底数幂乘法的逆用法则计算即可求解.故答案为：2；故答案为：2；故答案为：81.a2=4ca×4b=4c，解题意，掌握新规定的运算法则是解题关键.【变式训练2】如果xn=y，那么我们规定(x,y]=n．例如：因为42=16，所以(4,16]=2.(1)(2,16]=______；若(2,y]=6，则y=______；②求t的值.【答案】(1)4，64(2)y=604=1，可直接得出(2,16]=4；由26=64，可得出y=64；（2）由题意可得出4a=12，4b=5，4c=y．根据a+b=c，得出4a+b=4c，即4a.4b=4c，进而即可求出y=12×5=60；b4bb4合题意可得出(5,10babbb，进而得:(2,y]=6，且26=64，:y=64.:a+b=c，:4a+b=4c，即4a.4b=4c，2b4bb44:5ab=10b，:(5,10b:(5,10b【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键.课后训练1．计算(0.125)2020×(2)606【答案】A【分析】将(2)6060化为(8)2020使两个幂的指数相同，再利用积的乘方逆运算进行计算.故选：A.【点睛】此题考查幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟记公式是解题的关键.2．已知2x+2.3x+2=36x—3，则x=.【答案】8.【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可.【详解】解：2x+2.3x+2=36x—3，根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为：(2×3)x+2=(62)x—3，即6x+2=62x—6，x+2=2x6，解得，x=8故答案为：8.【点睛】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数也相同列方程.3．已知a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，则a、b、c、d的大小关系是()【答案】A433=32比较11次幂的底数大小即可.3所以553＞662，故5533＞6622即c>d；同理可证a>b，b>c所以a>b>c>d，故选A.【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键.2=3③b+c=2a+3；④b=a+2．其中，正确的关系式是（填序号）.【答案】①②③【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可.ac所以a+c＝2b，因此①正确；所以a+b＝2c﹣3，因此②正确；③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确；④b＝a+1，因此④不正确；综上所述，正确的结论有：①②③三个，故选：C.【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c的关系.【答案】1【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于5×32=160，因此对等式5x=160两边同时取y次方，可以得到5xy=160y，再把160换成5×32得到5xy=5y×32y，接着把32y换成5x（都等于160）得到5xy=5x+y，从而推出xy=x+y，最后对(—2022)(x—1)(y—1)—1中的指数去括号，整体代入可得结果.【详解】解：∵5x=160，x=160，32y=160,5y×∴(2022)(x1)(y1)1=(2022)xyxy+11=(2022)x故答案为：1.【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键.【答案】<【分析】根据幂的乘方，底数大于1时，根据指数越大幂越大，可得答案.3即430＜340，【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，利用幂的乘方化成同指数的幂是解题关键.7．阅读材料：3的末尾数字是3，32的末尾数字是9，3的末尾数字是7，3的末尾数字是1，3的末尾数字是3，......，观察规律，34n+1=(34)n×3，∵3的末尾数字是1，∴(34)n的末尾数答下列问题：(1)32021的末尾数字是，142022的末尾数字是；(2)求22022的末尾数字；(3)求证：122024+372018能被5整除.【答案】(1)3，6；(3)证明见解析.【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知32021的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得142n+1的末尾数字是4，142n的末尾数字是6，于是得解；（2）先将22022化成(24)505×4，再利用(24)505=16505的末尾数字是6，从而得出结论；（3）分别证明122024的末尾数字为6和372018的末尾数字9，则命题即可得证.【详解】（1）解：:32021=34×505+1，:32021的末尾数字为3；:141的末尾数字是4，142的末尾数字是6，143的末尾数字是4，ⅆ:142n+1