二次根式-恒等变形学

二次根式恒等变形

方法一、分母有理化；因式分解、约分、再分母有理化；裂项；比例性质。

..G2A/6

例1.化简〒~%一~广

V2+V3+V5

例2.化简：、+受人

2V30-6V2+4V3

0+6

例3.化简：（1）

710+714+715+721°

75+277+3

(2)

岳+36+3S+7°

2+25+而4+2厉+而

(V7+710)(77+2)(V10+713)(713+4)

⑷屈+屈-岳-后

VIO+VU+A/TS+VZT

9+2V6+2V14+V21

⑸2V2+V3+V7

8+2715-710-76

V5+V3-V2

(7)7V5+2+7V5-2_^7I

VA/5+1

例4.(1)化简3+2/二8二9;(2)化简3+后后

1+V2-V31+V2-V3

例5.解方程=1（该方程中有2006个2）

1+J1+X

V5-3+2V5_</5+1

例6.求证：Z

V5+3-2V5-^5-1

例7・计算：---------7=-----7=H---7=-----7=+H---/-----/T---/-----[

1+V2V2+V3V3+V4V1991+V1992V1992+V1993

例8.已知x、y为实数，且满足

卜+J.+2008)(y+7/+2008):2008.

那么X2-3xy-4y2-6x-6y+2008的值等于

方法二、分子有理化。

例9.已知x=J2001—J2000,y=^2000-71999,则x和y的大小关系.

例10.已知c>l,x—s/c—y/c—1>y={c+1—s/c,z-Jc+2—Jc+1,比较x、y、

z的大小.

例11.设厂24,a=-b=c=广，则下列各式一定成立

rr+1Vrvr+1r(Vr+vr+1)

的是.

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

gjc廿C4A/1+住u,I-

例12.若xw0,求--------------------的最大值.

X

方法三：复合二次根式化简配方法；公式法：

例13.化简55+2"

例14.2,3-20+J17-12应等于()

A.5-4垃B.4A/2-1C.5D.1

11

例15.化简:

4+759+30A/23766—40日

例16.化简

73-2A/2+75-276+小-2厢+，9-2而+也\-2向+J13-2屈+J15-2廊

+717-2772

例17.化简1+2(1+6(1+3)

例18.化简：，10+8/3+20

例19.化简：(1)2^/3+V5-713+748

⑵721-475+873-4^

(3)在(6-26-2百+而)

(4)J12+阴+屈+-J12-&+如-。

例20.化简：①,8+痴+,8_屈；②&+后+&-后.

例21.化简：(1),\/1+tz"+,\/l+CT+

(2)\2a-\13a~-2ab-b*23(a>b>O')

(3)5+x—4\[x+1+\/l0+x—6y[x+1

方法四、配方法；非负性；非负和。

例22.已知Ja-3-2百+(a+3-242=0,求2的值.

a

例23.如果a+Z?—2ja—1—4JZ?—2—3Jc—3----5,求a,b,c的值.

2

例24.设a+Z?+c+3=2(J^+Jb+l+Jc—l),求代数式〃？+/的值

g八田a2—3a+2a—3r

例25.化简：J—---------^=+«—a

\a2-6a+9，12—a

例26.已知:y=J=2—J日士+2,求/+y2的值

N5x—4\4-5x

例27.若a、b满足3布+5g|=7,则S=2后-3g|的取值范围是多少？

例28.正实数a,b,c,d满足a+Z?+c+d=l,设<=J3a+l+j3b+l+j3c+l+，3d+l

则()•

A..p>5B.0=5C.p<5D.p与5的大小关系不确定.

方法五：平方法；立方法；n次方法。

例29.已知a+E=Jjl992+&^l,a-b=^1992-^1991,求a。.

例30.已知:a+。=7A/2000+V2001,a-b=772001-72000，求a4-b4的值.

例31.化简M=j8+14O+8括+^8-)40+8后

例32.化简^4-710+275+〔4+J10+2房

例33.求410+66+310-66的值。

例34.已知线段a、b、c组成一个三角形，则无能否组成三角形？

例35.已知x>0,y>0,xdl-y2+p%2=1,求证x+y=1o

已知储+〃=/"且ab+zvo,求证

ab(ab+2)

方法六：换元法。

例37.计算：12002825391200282538J200282537义200282535+m+1。

例38.计算-3633x3635x3639x3641+36—3636x3638

例39.求根式，2+，2+也+，的值.

例40.计算J2J2亚石二的值.

例41.求根式,2_小2+,2々2+产的值.

x+y+z=Jx+y+z+1+5

例42.解方程组1%丫z

5--8-4

、4■留+^/3+y/11+y/5+V7

例43.

•i+（ViT+V5+V7）（V3-V2）

例44.已知:25-尤2一J15-d=2.贝!!-25-d+的值为（）.

例45.设x+G-l=产,求的值。

例46.

例47.已知。=揖+也+近，那么，-+4+^=

aaa

=7

例48.方程组的解是.

例49.已知+知+/♦-]2=6应,求x.

例50.已知寻x+28-为:-28=2,求x.

例51.+9无+13+—5、+13=7无，贝!|x=

目-+—=l(x>O,y>0)

例53.已知1949x2=1993/且九y求证

J1949x+1993y=V1949+V1993。

例54.设1995V=1996：/=1997Z3xyz>0,且有

^/1995x2+1996y2+1997z2=^/1995+^/1996+^/1997,试求工+工+工的值。

,xyz

111

方法七：裂项:

ky/k+l+(左+l)y/ky/kyjk+l

例55.271+V2+372+273+",+100799+99^/100求P的值.

方法九：估算，比较大小：作差、平方；

例56.若一^的整数部分是a,小数部分是b,求/+(l+J7)aZ?的值.

3-V7

例57.设号±2的整数部分为a小数部分为b,求/++"的值

V5-22

例58.设〃2=店+1,求机+工的整数部分

m

例59.若［可表示实数”的整数部分，则等于(

_716-6A/7_

D.4.

例60.

例61.设“二的整数部分是m,小数部分是n,求198〃?+9〃+”2的值;

例62.已知9+而和9—而■的小数部分分别是a和b,贝！Jab—3。+必+8的值是

例63.比较相与颁的大小。

例64.已知a、b是互不相等的正数，M=8+&,N=—比较M、N的大

方法十一：有理数、无理数性质。

例65.已知：a,b,c为有理数，且等式«+V2Z?+V3C=A/5+276成立，求

2a+99%+1001c的值

例66.已知：a,b,c为有理数，且等式。+岳+&=)5+2新成立，求

2。+99%+1001c的值

例67.设正整数a,满足Ja?-4A历=4m-4n^.a,m,n的直

设a、b是两个不相等的有理数，试判断实数丝旺是有理数还是无理数?

例68.

b+y/2

若土吆是不等于1的有理数，求证幺是有理数。

例69.

a-ba

例70,设百+2为方程12+加^+〃=。的根，求相+〃的值。

方法十：几何意义：平面直角坐标系中两点间距离公式。

例71.求代数式」炉+4+小(12_尤)2+9的最小值。

方法十一：共朝二次根式；构造共朝根式。

例72.已知尤=+6y=17J,求/+的值。

例73.比(有+行尸大的最小整数是；

例74.已知胫=(6+g)6的小数部分是P,求M(l—P)的值;

例75.求所有实数x,使得x=

方法八：变形条件和结论，降次。

已知6+4=8,则土包

例76.

已知：x^1+求(4f—1997X—1994)2°°1的值。

例77.

已知x=避二1,求5x的值;

例78.

2

设a=-7^—，求/-2〃-4。的值;

例79.

V5-1

例80.已知x=6+0,求/一205-3/一/+2辰2-4%+迅的值。

后1。1口左口_厂1_^X+2+V^2+4X

例81・已知