九年级数学期中压轴46题（含解析）

初中数学九年级压轴题专练

1、如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(一1,0),且04=OC=408,抛物线y=

a/+匕％+c(a力0)经过A,B,C三点.

(1)求A,C两点的坐标.

(2)求抛物线的解析式.

(3)若点P是直线4c下方的抛物线上的一个动点，作PDJ.4C于点D,当PD的值最大时，求此时点

P的坐标及PD的最大值.

2、若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”，如图1,四

边形力BCD中，若AC=BD,AC1BD,则称四边形4BCD为奇妙四边形，根据“奇妙四边形”对

角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角

线乘积的一半，根据以上信息回答：

(1)写出一种你所知道的特殊四边形中是“奇妙四边形”的图形名称

(2)如图2,已知。。的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若。。的半径为6,NBCD=60。，

求“奇妙四边形"ABCD的面积.

(3)如图3,已知O。的内接四边形/BCD是“奇妙四边形”，作OMJ.BC于M,请猜测0M与4D的

数量关系，并证明你的结论.

图3

3、如图，已知经过坐标原点的。P与x轴交于点4(8,0),与y轴交于点8(0,6),点C是第一象限内

(DP上一点，CB=CO,抛物线y=ax2+bx经过点4和点C.

(1)0P的半径是,抛物线的解析式是.

(2)在抛物线上是否存在点。，使得点4、点B、点。和点。构成矩形？若存在，直接写出符合条件

的点。的坐标；若不存在，试说明理由.

(3)在直线。。下方的抛物线上是否存在一点Q,使得SA"Q=2SA°S，若存在，求出点Q的坐标,

若不存在，请说明理由.

4、如图，己知△ABC中，AB=8,BC=10,AC=12,。是AC边上一点，B.AB2=AD-AC,

连接点E、F分别是BC、4C上两点(点E不与B、C重合)，NAEF=NC,AE与BD相交于

点G.

(1)求证：BD平分NABC.

(2)设BE=x,CF=y,求y与x之间的函数关系式.

(3)连接FG,当AGEF是等腰三角形时，求8E的长度.

5、如图，抛物线y=a/+匕％+c的图象与％轴交于4(—1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,—

3),顶点为。.

(2)求此抛物线顶点。的坐标和对称轴.

(3)探究对称轴上是否存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请

求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由.

6、如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是

斜边48、DE的中点，点P为2。的中点，连接4E、BD.

0s①

(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论.

(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转a(0°<a<90°),得到图②，AE与MP、BO分

别交于点G、H.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=/G4C,CD=kCE,如图③，写出PM与

PN的数量关系，并加以证明.

7、如图，已知四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，点F在边CB的延长线上，且BE=BF,

连接EF.

⑴若取AE的中点P,求证：BP=jF.

(2)若将aBEF绕点B顺时针方向旋转a(0°<a<360°),如图所示，是否存在某位置，使得

AE//BF?若存在，求出所有可能的旋转角的大小；若不存在，请说明理由.

(3)若将△BEF绕点B顺时针旋转a(0°<a<90°),如图所示，取AE的中点P,连接BP、CF,

1

求证：BP=：CF且BP1CF.

8、我们规定；平面内点4到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d,点

A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离。，定义点4到图形G的距离跨

度为R=D-d.

(1)回答下列问题.

①如图1,在平面直角坐标系xOy中，图形Gi为以0为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各

点到图形Gi的距离跨度：

4(1,0)的距离跨度.

片)的距离跨度•

C(_3,—2)的距离跨度____________________

Si

②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是.

(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以。(—1,0)为圆心，2为半径的圆，直线y=k(x—

1)上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围.

(3)如图3,在平面直角坐标系xOy中，射线。P：y=>0),0E是以3为半径的圆，且圆心

E在％轴上运动，若射线OP上存在点到OE的距离跨度为2,直接写出圆心E的横坐标4的取值范

围____________________.

图3

9、如图，在平面直角坐标系中，二次函数旷=。/+4%—3图象的顶点是/,与久轴交于B,C两

点，与y轴交于点。，点B的坐标是(1,0).

(1)求4,C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.

(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点4的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达

式.

10、如图，抛物线y=—gx+c与x轴交于4,B两点,且点B的坐标为(3,0),与y轴交于点

C,连接AC,BC,点P是抛物线上第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a,过点P作4轴的垂线,

交4c于点Q.

(1)求4,C两点的坐标.

(2)请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值.

(3)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q,使得以B,C,Q为顶点的三角形是等腰三角

形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

11、如图，在等边AZBC中，点D是边AC上一动点(不与点/、C重合)，连接BD,作

于点H,将线段AH绕点4逆时针旋转60°至线段4E,连接CE.

(1)请解答下列各题：

①补全图形.

②判断线段BH与线段CE的数量关系，并证明.

(2)已知48=4,点M在边上，且=1,作直线HE.

①是否存在一个定点P,使得对于任意的点。，点P总在直线HE上，若存在，请指出点P的位

置，若不存在，请说明理由.

②直接写出点M到直线HE的距离的最大值.

12、如图，点M,N分别在正方形ABC。的边BC,CO上，且/M4N=45°.把△4DN绕点4顺

时针旋转90°得至UA4BE.

(1)求证：4AEM妾AANM.

⑵若BM=3,DN=2,求正方形ZBCD的边长.

13、如图，抛物线y=-/+bx+c与一直线相交于4(一1,0),C(2,3)两点，与y轴交于点N,其

顶点为D.

(1)求抛物线及直线4c的函数表达式.

(2)如图，点P为抛物线y=-x2+bx+c上任意一点且处于AC上方，求三角形P4C面积的最大值.

(3)设点求使MN+MD的值最小时小的值.

(4)若抛物线的对称轴与直线4c相交于点8,E为直线4c上的任意一点，过点E作EF〃BD交抛物线

于点F,以B,D,E,尸为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说

明理由.

2

14、如图，抛物线y=a(x-|)-经过点4(1,0),C(0,3).

(1)求抛物线与刀轴的另一个交点B的坐标.

(2)如图1,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形P40C的周长最小？若存在，求出此时

P点坐标：若不存在，请说明理由.

(3)如图2,点Q是。8上一动点，连接BC,在线段BC上是否存在这样的点M,使△CQM为等腰三

角形且△BQM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

y

15、在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax—a为抛物线丫=a/+b%+c(a、b、c为常数,

aHO)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三

角形”.已知抛物线丫=。％2+/?%+。与其“梦想直线”交于/、B两点(点乂在点B的左侧)，与

x轴负半轴交于点C,tanZABO=8(1,0)，点力的横坐标为一2,BC=4.

(1)求抛物线的解析式，并写出顶点坐标.

(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以4M所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N,若

△4VM为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标.

(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F,使得以点4、

C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明

理由.

16、已知抛物线y=--mx-m—1与x轴交于4、8两点，点4在点B的左边，与y轴交于点

C(0,-3),如图L

(1)求点力、B的坐标.

(2)点。是抛物线上一点，且N4co+NBCD=45°,求点。的坐标.

(3)将抛物线向上平移rn个单位，交线段BC于点M,N,如图2,若NM0N=45°,求m的值.

图2

17、对于平面直角坐标系xOy中的点P和。C,给出如下定义；若OC上存在一个点M,使得点“到

点P和点C的距离一样，则称点P为。C的“镜密点”.

已知点£)(35,F(-2V3,0)，F(0,2).

(1)当。。的半径为1时.

①在点。，E,口中，。。的"镜密点”是.

②作直线EF,若直线EF上的点P(m,n)是。。的“镜密点”，求nt的取值范围.

⑵

①。T的圆心在K轴上，半径为遮，若线段EF上存在的“镜密点”，请直接写出圆心7的

2

横坐标t的取值范围.

②若线段MN长为2,且线段MN上所有点都是OC的“镜密点”，请你直接写出OC半径的取

值范围.

18、某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：

(1)如图1,矩形力BCD中，AB=8,BC=6,将矩形对折，使得点8、点。重叠，折痕为EF,过

点F作48的垂线交AB于点G,求EF的长.

S1

(2)如图2,矩形ABC。中，AB=a,BC=b，点E,尸分别在AB,DC上，点G,H分别在AD,BC

上且EF1GH,求理的值.

⑶如图3,四边形ABCD中，ZABC=90°,AB=AD=8,BC=CD=4,AM1DN,点M,

N分别在边BC,AB上，求工的值.

圄3

19、在△ABC中，P为边AB上一点.

(1)如图1,若NACP=NB,求证：AC2=APAB.

①如图2,若NPBM=NZCP,AB=3,求BP的长.

M

图2

②如图3,若//BC=45°,NZ=/BMP=60°,直接写出BP的长.

20、如图，在直角△ABC中，直角边AC=6cm,BC=8cm,设尸、Q分别为AB、BC上的动点，

点P自点4沿AB方向向点B作匀速移动且速度为每秒2cm,同时点Q自点8沿BC方向向点C作匀速移

动且速度为每秒1cm,当点P到达点B时，点Q就停止移动，设P、Q移动的时间为t秒.

(1)写出△PBQ的面积S(cm2)与时间t(s)之间的函数表达式及定义域.

(2)当t为何值时，APBQ为等腰三角形？

(3)z\PBQ能否与直角△力BC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由.

21、阅读材料：若加？—+2n2—8n+16=0,求m、ri的值.

解：".'m2—2mn+2n2—8n+16=0,

(m2-2mn+n2)+(n2—8n+16)=0,

(m—n)z+(n—4)2=0，

.".m—n=0,n—4=0,

..n=4>m=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知/+2xy+2y2+2y+1=0,求x—y的值.

(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a?+X—6a—8b+25=0,求边c的最大

值.

(3)若已知a-b=4,ah+c2—6c+13=0,求a—b+c的值.

22、如图，AB为。。的直径，PQ切。。于T,AC1PQ于C,交O0于D.

(1)求证：AT平分NBAC.

(2)若/D=2,TC=V3，求。。的半径.

23、若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，

这条角平分线叫做这个三角形的“弱线"，如图①，AD是△ABC的角平分线，当时，则

△ABC是“弱等腰三角形”，线段AO是△力BC的“弱线”.

(1)如图②，在△ABC中.ZB=60°,ZC=45°.求证：△/BC是“弱等腰三角形”.

D

(2)如图③，在矩形ZBCD中，AB=3,BC=4.以点B为圆心在矩形内部作荒，交BC于点E,F

是几上一点，连接CF.且CF与成有另一个交点G.连接BG.当BG是ABC尸的“弱线”时，求

CG的长.

(3)已知A4BC是“弱等腰三角形”，4D是“弱线”，且4B=3BD,求4C:BC的值.

24、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=%2+6%+。与直线48相交于4,B两点，其中

■4(—3,—4),B(0,—1).

(1)求该抛物线的函数表达式.

(2)点P为直线4B下方抛物线上的任意一点，连接PA,PB,求APAB面积的最大值.

2

(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a1X+b1x+。式的H0),平移后的抛物线与

原抛物线相交于点C,点。为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E,使以

点B,C,D,E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

25、已知抛物线y=a久2+bx+c(a〉0)与4轴交于4(-1,0)、2两点,与y轴交于点C(0,—3a).

(1)求点B的坐标.

(2)若a=5点M和点N在抛物线上，且M的横坐标为4,点N在第二象限，若=

求点N的坐标.

(3)P是第四象限内抛物线上的一个动点，直线PA、PB分别交y轴于点M、N,判断CM与CN的数

量关系.

26、如图，已知抛物线y=a/+bx+c(a+0)与y轴相交于点4(0,1),与％轴分别交于点B(3,0)

和点C,且N4CB=45°.

(2)设。是抛物线上的一点，若SMBD=：SAABC，求点。的横坐标.

(3)抛物线上是否存在一点E,使得NBCE=2NABC,若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说

明理由.

27、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?-2ax+3与久轴交于4、8两点(点4在点B的左

侧)，其中点4坐标为(-1,0),经过点/的直线/：y=kx+b与y轴负半轴交于点C(0,a),与抛物

线的另一个交点为。.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点E是直线2上方的抛物线上的动点，求当点E运动到何处时，A4CE的面积的最大，并求出△

ACE面积的最大值.

(3)设点P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点4、。、P、Q为顶点的四边形能否成

为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由.

28、已知二次函数y=/—(2m-l)x+巾2-7n(6是常数，且7nH0).

(1)证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点.

(2)若A(n-3,足+2)、B(-n+1,层+2)是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数的解析

式和71的值.

(3)若当0<%<1时，函数有最小值为1,求加的值.

29、已知，如图1,8。是边长为1的正方形的对角线，BE平分NDBC交DC于点、E,延长BC

到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G.

B

图I

(1)求证：ABCEdDCF.

(2)求CF的长.

(3)如图2,在AB上取一点，，且BH=CF,若以BC为工轴，力B为y轴建立直角坐标系，问在直线

上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合

条件的P点坐标.若不存在，说明理由.

图2

30、已知：在RtAABC中，ZC=90",AC=4,ZA=60°,CD是边A8上的中线，直线

BM//AC,E是边G4的延长线上一点，ED的延长线交直线于点F,将△EOC沿CO翻折得△

E'DC，射线CE'交直线于点G.

(1)如图1,当CDJ.EF时，求B尸的值.

(2)如图2,当点G在点F的右侧时:

①求证：4BDFFBGD.

②设AE=x,△DFG的面积为y,求y关于久的函数解析式，并写出x的取值范围.

31、温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可

获利15元.根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获

利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元.设每天安排x人生产乙产品.

(1)根据信息填表：

产品抑类每天工人数(A)每天产■(件)第件产品可获利利(元)

甲1&

乙X

(2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的

利润.

(3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等.已知

每人每天可生产1件丙(每人每天只能生产一件产品)，丙产品每件可获利30元，求每天生产三种

产品可获得的总利润W(元)的最大值及相应的式值.

32、如图1,在△ABC中，=30°,点P从点4出发以2cm/s的速度沿折线A—C—B运动，点

Q从点A出发以acm/s的速度沿AB运动，P,Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停

止运动.设运动时间为x(s),△4PQ的面积为y(cm2),y关于x的函数图象由两段组成，如

图2所示.

(2)求图2中图象段的函数表达式.

(3)当点P运动到线段BC上某一段时，△APQ的面积大于当点P在线段4C上任意一点时△APQ的面

积，求x的取值范围.

33、已知：RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC.

(1)如图1,点。是BC边上一点(不与点B,C重合)，连接AC,过点B作BEJ.40,交4D的延长

线于点E,连接CE.

①若NB4D=a,求NDBE的大小(用含a的式子表示).

②用等式表示线段EA,EB和EC之间的数量关系，并证明.

(2)如图2,点。在线段BC的延长线上时，连接4。，过点B作BE14D,垂足E在线段40上，连接

CE.

①依题意补全图2.

②直接写出线段及4,EB和EC之间的数量关系.

34、已知关于x的二次函数y=ax2-(2a+2)x+b(a丰0)在x=0和x=6时函数值相等.

(1)求a的值.

(2)若该二次函数的图象与直线y=-2x的一个交点为(2,m),求它的解析式.

(3)在(2)的条件下，直线y=-2%-4与x轴、y轴分别交于点力，B,将线段AB向右平移n(n>

0)个单位，同时将该二次函数在247的部分向左平移n个单位后得到的图象记为G,请结合图

象回答，当图象G与平移后的线段有公共点时，求n的取值范围.

-2^1234567

.21

35、在AABC中，ZACB=45°,D(与点8,C不重合)为BC边上一动点，连接AD,以/。为直

角边，在4。的右侧作等腰直角三角形4DE,直线0E与AC相交于点F,连接CE.

(1)如图1,如果4怪=AC.

HI)

①直线CE与B0之间的位置关系是

②线段ZF,CF,DF,EF的数量关系是

(2)如图2,如果力BHAC,(1)中的结论是否还成立，为什么？

(3)若AC=4,AD=3-/2»求4F的长.

36、已知二次函数y=a/+"+c中，函数y与自变量工的部分对应值如下表:

(1)当ax?+bx+c=3时，则无=

(2)求该二次函数的表达式.

(3)将原函数的图象向上(下)平移，使图象与直线y=3只有一个公共点，直接写出平移后的函数

表达式.

37、已知抛物线经过点4(0,3)、B(4,l)、C(3,0).

(1)求抛物线的解析式.

(2)连接力C、BC、AB.求/B4C的正切值.

(3)点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG1AP交y轴于点G,当点G在点A的上方,

且△APG与AABC相似时，求点P的坐标.

38、抛物线y=+c与久轴交于4、B两点，与y轴交于点C,且4(2,0),B(-6,0).

(1)求抛物线以及直线BC的解析式.

(2)如图1,点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作2(?〃丫轴交直线BC于点Q,点T在直

线QBE连接PT,若APQT是以PQ为底的等腰三角形，则△PQT的周长是否存在最大值？若存

在，求出周长的最大值以及此时点P的坐标，若不存在，请说明理由.

(3)如图2,过点4作力F//y轴交直线BC于点F,点。是抛物线的顶点，连接BD、CD、OF,△OAF

沿射线力B方向以每秒1个单位长度运动，运动时间为t秒Q>0),当点F与点。重合时立即停止运

动.设运动过程中△04F与四边形OCDB重叠部分面积为S,请直接写出S与t的函数关系式.

39、已知二次函数y=—/+(m—l)x+TH.

(1)证明：不论血取何值，该函数图象与无轴总有公共点.

(2)若该函数的图象与y轴交于点(0,3),求出顶点坐标并画出该函数图象.

(3)在(2)的条件下，观察图象.

①不等式一式2+(m—l)x+m>3的解集是.

②若一元二次方程一/+(m-l)x+m=k有两个不相等的实数根，贝腺的取值范围

是.

③若一元二次方程一/+(m-l)x+m-t=0在一1<x<4的范围内有实数根，则t的取

值范围是.

40、如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径作。。，分别交AC,BC于点D,E.

(2)若NBAC=50°,求NADE的度数.

(3)过点E作。。的切线，交4B的延长线于点/，当4O=EF=2e时，求图中阴影部分的面积.

41、如图，已知二次函数y=&%2+/?%+£?的图象与4轴相交于/(一1,0),8(3,0)两点，与y轴相交

于点C(0,-3).

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHlx轴于点H,与BC交于点M,连接PC.

①求线段PM的最大值.

②当公PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标.

42、如图1,在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,E,尸分别是DC,的中点，四边形DFGE为矩

形，连接BG.

(1)问题发现：

①图1中案二_____________________.

D(J

②将图1中的矩形DFGE绕点。旋转至如图2所示的位置，点G恰好落在边上，则

CE_

而―---------------------•

⑵拓展探索：

将图1中的矩形DFGE绕点。旋转一周，兽的大小有无变化?

BG

请仅就图3的情形给出证明.

IBi

(3)问题解决：

当矩形DFGE旋转至B、G、E三点共线时，直接写出线段CE的长.

43、问题探究.

(1)如图1,在△ABC中，BC=8,D为BC上一点,AD=6,则△ABC面积的最大值

是____________________

(2)如图2,在△ABC中，ZBAC=60°,AG为BC边上的高，。。为△ABC的外接圆，若4G=3,

试判断BC是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.

(3)问题解决:

如图3,王老先生有一块矩形地ABC。，AB=6a+12，BC=6724-6.现在他想利用这块地

建一个四边形鱼塘AMFN,且满足点E在CO上，4。=DE,点F在BC上，且CF=6,点M在AE上,

点N在上，NMFN=90°,这个四边形4MFN的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的

最大值；若不存在，请说明理由.

44、在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,D为平面内一点，且满足4。＜AB,以点A为中心，将

线段4。逆时针旋转180。-a,得到线段4E.

(1)如图1,当点。在线段BC上时，恰有4E〃BC,连接DE交AC于凡求证：F为CE的中点.

(2)连接BE,CD,取BE的中点G,连接4G,

①当点。在△力BC内部时，如图2,用等式表示AG与CD的数量关系，并证明.

IV

tt

②令a=90°,若当A,D,G三点共线时，恰有/4GB=120°,直接写出此时算的值.

45、在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y=a/+(a+l)x,其中aH0.

(1)若此函数图象过点(1,-3),求这个二次函数的表达式.

(2)函数y=a/+(a+l)x(aH0),若(与,力)，(%2，、2)为此二次函数图象上两个不同点•

①若+&=2，则％=丫2，试求a的值.

②当＞%2》一2时，对任意的外都有力＞为，试求a的取值范围.

46、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点,

将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM.CM.

(1)求证：&AMB安XENB.

(2)

①当M点在何处时，AM+CM的值最小.

②当M点在何处时，4M+8M+CM的值最小，并说明理由.

⑶当AM+BM+CM的最小值为2遍+2时，求正方形的边长.

1、【答案】(1)4、C两点的坐标分别为(4,0),(0,-4).

(2)y=x2—3x—4.

⑶P(2,-6),PD的最大值为2e.

【解析】(1)(-1,0)，，OB=1,：.OA=OC=WB=4,

故2、C两点的坐标分别为(4,0),(0,-4).

(2)设抛物线的解析式为：y=a(x+l)(x-4)=a(x2—3x—4).

将C(0,—4)代入得：-4a=-4,

解得：a=1,

故抛物线的解析式为：y=/—3x—4.

(3)•.,直线过点C(0,-4),

设其函数解析式为：y=k%—4,

将4(4,0)代入，得4k-4=0,解得：k=l,

故直线CA的解析式为：y=x—4.

过点P作y轴的平行线交ZC于点H,

'：OA=OC=4,

：.ZOAC=ZOCA=45°,

：PH〃y轴，

：.ZPHD=AOCA=45°,

设点P(x,%2-3%一4),则点H(x,x—4),

PD=HP-sin/PHD=y(x-4-x2+3x+4)=-yx2+2缶=-y(x-2)2+2y/2.

...当％=2时，PD取最大值，最大值为2及，

此时点P(2,-6).

2、【答案】(1)菱形；

⑵54.

(3)OM=^AD,证明见解析.

【解析】(1)菱形的面积等于对角线乘积的一半，所以菱形是“奇妙四边形”.

故答案为：菱形.

(2)连接。B、0D,作。H1B0于如图2,则=0H,

ZBOD=2ZBCD=2X60°=120°,

：.ZOBD=30°,

在RtAOBH中，

■:N0BH=30°,

：.0H=-0B=3,

2

=V3OH=3技

-'-BD=2BH=6V3，

-,.AC=BD=6V3.

“奇妙四边形"ABCD的面积=|x6V3x6V3=54.

故答案为：54.

(3)OM=\AD,理由如下：

连接08、OC、OA.0D,作0EJ.4。于E,如图3,

图3

U：OE1AD,

：.AE=DE,

■:/BOC=2/BAC,

且NBOC=2/BOM,

：.ZBOM=ZBAC,

同理可得N40E=NABD,

•；BDLAC,

・•・ABAC+ZABD=90°,

：.ZBOM+ZAOE=90°,

:/BOM+NOBM=9。°,

：.ZOBM=ZAOE,

在ABOM和ZkOAE中，

ZBMO=ZOEA

ZOBM=N力OE,

OB=AO

/.△BOM^AOAE,

：.OM=AE,

：

.OM=-2AD.

3、【答案】(1)5了=1X2-5居

(2)存在，点D的坐标为(—1,3).

(3)存在，点Q坐标为(号至,空空)或(上科,三产)，理由见解析.

【解析】⑴连接AB,

,/ZAOB=90°,

.•.48是(DP的直径，

•.,点4(8,0),B(0,6),

.".AO=8,BO=6,

•'•AB=yJOA2+OB2=V82+62=10>

...OP的半径是5；

:CB=CO,

是OB的中点,

CH过圆心P,

PH=<PB2-BH2=V52-32=4-

的坐标是(9,3),

把4C的坐标分别代入y=a/+bx得：｛署：：*二:

抛物线的解析式为：y=i%2-|x.

(2)设直线力C的解析式为y=kx+c.

•・・A(8,0),C(9,3),

+c=0

S+c=3'

解得：fk="

lc=-24

.,.直线4c的解析式为y=3x-24,

•.•点力、点B、点C和点。构成矩形，

ABD//AC,

设直线B。的解析式为y=3x+d,

•直线BO过B点，

••d=6,

・•・直线BD的解析式为：y=3x4-6,

将y=3x+6与y=1x2-联立得：3%+6=|x2-

解得：=—=(不合题意)，

1,%218

%二-1时，y=3,

AD(-1,3).

(3)过点C作CM1》轴，过点4作4E10C于点、E,过点Q作QF10C于点F.

・・・C(9,3),・・・M(9,0),

・・・4(8,0),・・・/0=8,且CM=3,0M=9,

：・

S^0CA=|xOAxCM=|x8x3=12,

在Rt/kOMC中，OM=9,CM=3,

・・・OC=3V1U,

vS40C4=2xOCxAE=12,

.4V10

・AE

•.AE=---5--

S^OCQ=2sAOS，

8\/T5

：

•QF=2AE5

V0(0,0),C(9,3),

•••直线OC的解析式为y=《x,

设点Q(x,1x2

lx-(lx2-lx)8V10

由点到直线的距离公式可得,炉1

解得，％=型豆

2

当X=M时，y=近二2,

2,6

当％=上姮时，yWb,

2）6

••点Q（当口牛）或Q（手，上詈）•

4、【答案】（1）证明见解析.

-X2+2X+8O

(2)y=

12

(3)4或-5+A/105或一3+《89.

【解析】(1)・「AB=8,AC=12,AB2=AD-AC,

：,AD=^,CD=12-^=^

U：AB2=AD-AC,

.AD_AB

**AB-AC9

又・・,NBAC是公共角,

:・△ADBs&ABC,

BDAD

AZABD=ZC,

BCAB9

,BY

：.BD=CD,

：.ZDBC=ZC,

AZABD=/DBC,

平分N4BC.

(2)过点4作4H〃口。交3D的延长线于点”,

*：AH“BC,

16

.AD_PH_AH_-_4

••而=益=而=变=『

3

20

VBD=CD=—,BC=10,

3

：.AD=DH=AH=8,

3

：.BH=12,

•.A•H_HGf

BEBG

.8_12-BG

••—―，

xBG

•-12”

••DCr—,

X+8

ZBEF=ZC+/EFC,即N8EA+ZAEF=NC+/EFC,

VZAEF=ZC,

AABEA=/EFC,

又•：/DBC=NC,

△BEGCFE,

BE_BG

CF-CE'

12X

X

_X+8T

y—10-x

(3)当是等腰三角形时，存在以下三种情况：

①若GE=GF,则/GEF=NGFE=ZC=NDBC,

/.△GEFDBC.

20

VBC=10,DB=DC=丝,

3

.GE_DB_2

•・EF一BC-3。

又,：〉BEGfCFE,

.GEBE2x2

=—=即nn一=二.

EFCF3y3

又・・_-X2+2X+80

,y―12，

.*.%=BE=4；

②若EG=EF,则ABEG与全等,

•*.BE=CFy即％=y,

又^•・_-久2+2%+80

•y-12

Ax=BE=-5+V105;

③若FG=FE,则同理可得第=差=：,

FECD2

由△BEG^CFE,可得,=*=|,即1=|，

T7..-X2+2X+80

乂・y=------------，

J12

・・・%=BE=-3+刷.

综上所述，BE的长度为4或一5+dl证或一3+刷.

5、【答案】(l)y=%2-2%-3

⑵顶点。的坐标是(1,一4),对称轴是直线％=1.

⑶(1,-1)或(1,-4-2遥)或(1,-4+2通)或(1,4).

【解析】⑴:抛物线y=a/+.+c的图象与％轴交于A(-1,O),B(3,0)两点，与y轴交于点

C(0,—3),

ax(-l)2+bx(―1)+c=0

ax32+3b+c=0，

c=-3

a=1

解得，b=—2,

、c=-3

即此抛物线的解析式是y=X2-2X-3.

(2)Vy=x2—2%—3=(%—l)2—4,

・•・此抛物线顶点。的坐标是(1,-4),对称轴是直线％=1.

(3)存在点P,使得以点P、D、4为顶点的三角形是等腰三角形，

设点P的坐标为(Ly)，

当PA=PD时,

-1)2+(0_y)2=J(1_1)2+(一4一y)2,

解得，y=-l，

即点P的坐标为(1,一|)；

当DA=DP时，

V(-l-l)2+[0-(-4)]2=V(1-l)2+(-4-y)2>

解得，y=-4+2V5，

即点P的坐标为(1,一4-2遮)或(1,一4+2V5);

当AD=”时，

V(-i-1)2+[o-(-4)]2=VC-1-i)2+(°-y)2>

解得，y=±4>

即点尸的坐标是(1,4)或(1,一4),

当点P为(1,一4)时与点。重合，故不符合题意，

综上，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为(1,一|)或(1,—4一2遍)或

(1,-4+2的)或(1,4).

6、【答案】⑴PM=PN,PM1PN.

(2)成立，证明见解析.

⑶PM=kPN.

【解析】(1):△ACB和AECD是等腰直角三角形，

：.AC=BC,EC=CD,ZACB=ZECD=90°.

在△林?和4BCD中

,AC=BC

/ACB=/ECD=90°,

.CE=CD

，△ACE芸BCD(SAS),

：.AE=BD,ZEAC=ZCBD,

:点M、N分别是斜边48、DE的中点，点P为4。的中点,

11

：.PM=-BDPN=-AE

22ff

：.PM=PN,

VPM//BD,PN〃AE,

:.NNPD=NEAC,ZMPA=ZBDC,

VZEAC+ZBDC=90°,

/.ZMPA+ZNPD=90°,

AZMPN=90°,

即PM1PN.

(2)和△ECD是等腰直角三角形，

：.AC=BC,EC=CD,ZACB=ZECD=90°

・•・ZACB+/BCE=ZECD+NBCE,

：.ZACE=/BCD,

AAi4CF^ABCD(SAS),

：.AE=BD,ZCAE=ZCBD,

又；ZAOC=NBOE,ACAE=NCBD,

：.ZBHO=ZACO=90°,

•・•点P、M、N分别为40、AB.DE的中点，

：.PM=^BD,PM//BDxPN=\AE,PN//AE,

：.PM=PN,ZMGE+ZBHA=180°,

9：AE1BD,

：.NMGE=90°,

・・・NMPN=90°,

：.PM1PN.

⑶:△ACB和△ECD是直角三角形，

AZACB=ZECD=90°,

・・・ZACB+/BCE=ZECD+NBCE,

AZACE=/BCD,

•；BC=kAC,CD=kCE,

.BCCD.

••=~~=k,

ACCE

：.△BCD"ACE,

：.BD=kAE,

•・,点P、M、N分别为4。、AB.DE的中点，

i1

：.PM=±BD,PN=-AE,

22

：.PM=kPN.

7、【答案】(1)证明见解析.

(2)存在,当a=60。或300。时,AE//BF.

(3)证明见解析.

【解析】(1)・・•四边形力BCD是正方形，

：.BC=

IE为AB中点,P为AE中点,

：.2BE=2AE=AB,2PE=AE,

,:BE=BF,

i3

：.CF=BC+BF=3BF,BP=BE+-BE=±BE,

22

：.BP=-CF.

2

⑵存在，

9：AE//BF,

■:EB1BF,

：.EBLAE,

••a=/ABE,

..BEI

.cosa=—=

・・・a=60°或300°.

存在，使得/E//BF,当a=60°或300。时，AE//BF.

(3)方法一：延长BP到G,使BP=PG,连接4G、EG,延长PB交CF于”,

•・・/P=EP,BP=PG,

・・・四边形4BEG是平行四边形，

：.AG=BE=BF,AG//BE,

：.ZGAB+ZABE=180°,

VZABC=ZEBF=90°,

・•・ZCBF+ZABE=360°-180°=180°,

AZCBF=ZBAG,

在△G48和△FBC中

(AG=BF

\ZGAB=NFBC,

(AB=BC

•••△GAB丝△FBC(SAS),

：.CF=BG=2BP,ZABG=ZBCF,

：.ZABG+ZCBH=180°—90°=90°,

：・NBCF+NCBH=90°,

：.ZCHB=180°-90°=90°,

1

：.BP1CF,BP=-CF.

2

(3)方法二：延长4B到点G,使得BG=AB,连接EG,交CF于点H,

D

IB为4G中点,P为AE中点,

i

:.BP"EG,BP=：EG,

■:NEBF=ZCBG=90°,

・•・NEBF+ZGBF=ZCBG+ZGBF,

：.ZCBF=/GBE,

在尸和中，

CB=GB

ZCBF=NGBE,

BF=BE

/.△CSF^AGSF(SAS),

：.CF=EG,

AZBEG=ZBFC,

：.ZEHF=90°,

即EG1CF,

：.BP=^CF&BP1CF.

8、【答案】(1)

①2；2；4

②圆

(2)-y<fc<y

(3)-1<x£<2;

【解析】(1)

①如图,

•.•图形Gi为以。为圆心，2为半径的圆，

，直径为4,

；A(1,O),OA=1,

...点A到。。的最小距离d=MA=OM-OA=1,

点A到。。的最大距离。=AN=ON+0/=2+1=3,

.•.点A到图形Gi的距离跨度R=O—d=3—l=2.

*(-渭),

••・。"」(-丁+(穿=「

.•.点B到。。的最小距离d=BG=OG-OB=1,

点B到。。的最大距离。=BF=F。+OB=2+1=3,

.•.点B到图形Gi的距离跨度R=D-d=3-l=2.

VC(-3,-2),

OC=V(-3)2+(-2)2=V13.

.•.点C到。。的最小距离d=CD=OC-OD=V13-21

点C到。。的最大距离。=CE=OC+0E=2+V13,

.•.点C到图形G］的距离跨度R=D-d=2+V13-(V13-2)=