60-2024年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷一、单项选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．2a3•a2＝2a6 B．（﹣2a）3÷b×＝﹣8a3 C．（a3+a2+a）÷a＝a2+a D．3a﹣2＝3．（3分）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种4．（3分）某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（）A． B． C． D．5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°6．（3分）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A．20% B．22% C．25% D．28%7．（3分）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形…按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（）A．2022 B．2023 C．2024 D．20258．（3分）矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（）A． B． C． D．9．（3分）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD′N，AD′交折痕MN于点E，则线段EN的长为（）A．8cm B． C． D．10．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc2＞0；②＜b＜2；③若﹣bx1＝﹣bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；④直线y＝﹣cx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的一个交点（m，n）（m≠0），则m＝．其中正确的结论是（）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是12．（3分）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件，使得AE＝CE．（只添一种情况即可）13．（3分）将抛物线y＝ax2+bx+3向下平移5个单位长度后，经过点（﹣2，4），则6a﹣3b﹣7＝．14．（3分）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为．15．（3分）已知一组正整数a，1，b，b，3有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数为．16．（3分）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为．17．（3分）矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边的三等分点，连接DE，点P是DE的中点，OP＝3，连接CP，则PC+PE的值为．18．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝2；④BF•NF＝AF•BP；⑤若PM∥BD，则CE＝BC．其中正确的结论是．三、解答题（共66分）19．先化简，再求值：÷（x﹣），并从﹣1，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．20．如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC，对垂直于地面CD的建筑物AD的高度进行测量，BC⊥CD于点C．在B处测得A的仰角∠ABE＝45°，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG处，FG⊥CD于点G，测得A的仰角∠AFE＝58°，BF的延长线交AD于点E，求建筑物AD的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）21．某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本了解”，D为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数；（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题．22．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝8，以BC为边向△ACB外作有一个内角为60°的菱形BCDE，对角线BD，CE交于点O，连接OA，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出△AOC的面积．23．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC．（1）求该二次函数的解析式；（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为．24．一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程ykm与两车行驶时间xh的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车行驶的速度是km/h，并在图中括号内填上正确的数；（2）求图中线段EF所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．25．数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF＝AB；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD＝AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM＝EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：推理证明：写出图①的证明过程：探究问题：（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；拓展思考：（3）在（1）（2）的条件下，若AC＝6，CD＝2BD，则EF＝．26．牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形ABCD是平行四边形，线段OA的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的一个根．请解答下列问题：（1）求点D的坐标；（2）若线段BC的垂直平分线交直线AD于点E，交x轴于点F，交BC于点G，点E在第一象限，，连接BE，求tan∠ABE的值；（3）在（2）的条件下，点M在直线DE上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1：2的直角三角形？若存在，请直接写出△EMN的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2024年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．2．（3分）下列计算正确的是（）A．2a3•a2＝2a6 B．（﹣2a）3÷b×＝﹣8a3 C．（a3+a2+a）÷a＝a2+a D．3a﹣2＝【分析】根据单项式乘单项式的法则、分式的乘除法法则、整式的除法法则以及负整数指数幂法则进行解题即可．【解答】解：A、2a3•a2＝2a5，故该选项是错误的；B、，故该选项是错误的；C、（a3+a2+a）÷a＝a2+a+1，故该选项是错误的；D、，故该选项是正确的；故选：D．【点评】本题考查单项式乘单项式、分式的乘除法、整式的除法以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（3分）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【分析】根据小正方体一共5个，以及主视图和左视图，画出俯视图即可．【解答】解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，后一排最高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示，故选：C．【点评】本题考查了三视图，解题的关键是理解三视图的定义．4．（3分）某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据列表法或者树状图分析出所有可能的结果，然后根据概率公式求出结果即可．【解答】解：列表如下：甲乙丙丁甲﹣（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）﹣（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）﹣（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）﹣由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的情况有2种，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是．故选：A．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键要明确在画树状图或列表法求概率时，列表适用于两个因素的问题，三个或三个以上因素的问题只能用树状图．5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】连接AC，由AB是⊙O的直径得到∠ACB＝90°，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BEC＝20°，得到∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，再由圆内接四边形对角互补得到答案．【解答】解：如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BEC＝20°，∴∠CAB＝∠BEC＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．6．（3分）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A．20% B．22% C．25% D．28%【分析】设每次降价的百分率为x，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意，得：48（1﹣x）2＝27，解得：（舍去）；故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程．7．（3分）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形…按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【分析】根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数．【解答】解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1，第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1，第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1，…，按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形，则第674个图案中三角形的个数为：3×674+1＝2023（个）．故选：B．【点评】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．8．（3分）矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（）A． B． C． D．【分析】过点E作EM⊥OC，则EM∥OB，设，由△OME∽△OCA，可得，再S矩形OBAC＝S△OBD+S△OCF+S四边形ODAF，列方程，即可得出k的值．【解答】解：过点E作EM⊥OC，则EM∥OB，∴△OME∽△OCA，∴，设，∵OE＝2AE，∴，∴，∴，即，解得：，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．9．（3分）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD′N，AD′交折痕MN于点E，则线段EN的长为（）A．8cm B． C． D．【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出∠ANM＝∠D′AN，进而得出EA＝AN，设EA＝AN＝xcm，则EM＝（12﹣x）cm，根据勾股定理可得：AM2+ME2＝AE2，列出方程求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝10cm，由折叠可得：，AD＝AD′＝12cm，MN⊥AB，∠DAN＝∠D′AN，∴四边形AMND是矩形，∴MN∥AD，MN＝AD＝12cm，∴∠DAN＝∠ANM，∴∠ANM＝∠D′AN，∴EA＝EN，设EA＝EN＝xcm，则EM＝（12﹣x）cm，在Rt△AME中，根据勾股定理可得：AM2+ME2＝AE2，即52+（12﹣x）2＝x2，解得：，即，故选：B．【点评】本题考查了矩形的折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键．10．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc2＞0；②＜b＜2；③若﹣bx1＝﹣bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；④直线y＝﹣cx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的一个交点（m，n）（m≠0），则m＝．其中正确的结论是（）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【分析】根据题意得到抛物线的解析式为y＝ax2+2ax﹣3a，即可得到b＝2a，c＝﹣3a，代入即可判断①；根据﹣3＜﹣3a＜﹣2判断②；把b＝2a代入，然后利用因式分解法解方程即可判断③；然后把b＝2a，c＝﹣3a代入解方程求出m的值判断④．【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，∴b＝2a，c＝﹣3a，∴abc2＝a•2a•（﹣3a）2＝18a4＞0，故①正确；∵点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，即，∴，故②正确；∵，∴，即，∴（x1+x2﹣2）（x1﹣x2）＝0，又∵x1≠x2，∴x1+x2＝2，故③错误；∵令y相等，则，∴，解得x1＝0（舍），，∴，故④正确；故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元一次方程的关系，掌握二次函数和一元一次方程的关系是解题的关键，二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥﹣3且x≠0【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解．【解答】解：根据题意得：，解得x≥﹣3且x≠0．故答案为x≥﹣3且x≠0．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数．12．（3分）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件DE＝EF，使得AE＝CE．（只添一种情况即可）【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．【解答】解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE，∴添加条件DE＝EF，可以使得△ADE≌△CFE（AAS），添加条件AD＝CF，可以使得△ADE≌△CFE（ASA），故答案为：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．13．（3分）将抛物线y＝ax2+bx+3向下平移5个单位长度后，经过点（﹣2，4），则6a﹣3b﹣7＝2．【分析】根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到2a﹣b＝3，再整体代入变形后代数式即可．【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+3向下平移5个单位长度后得到y＝ax2+bx+3﹣5＝ax2+bx﹣2，把点（﹣2，4）代入得到，4＝a×（﹣2）2﹣2b﹣2，得到2a﹣b＝3，∴6a﹣3b﹣7＝3（2a﹣b）﹣7＝3×3﹣7＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．14．（3分）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为．【分析】由垂径定理得，设⊙O的半径为r，则OE＝OB﹣EB＝r﹣1，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程，求出r＝5，即可得出AE＝9，在Rt△AEC中，由勾股定理即可求解．【解答】解：∵AB⊥CD，CD＝6，∴，设⊙O的半径为r，则OE＝OB﹣EB＝r﹣1，在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，即（r﹣1）2+32＝r2，解得：r＝5，∴OA＝5，OE＝4，∴AE＝OA+OE＝9，在Rt△AEC中，由勾股定理得：，故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．15．（3分）已知一组正整数a，1，b，b，3有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数为5．【分析】根据众数、算术平均数和中位数的概念求解．【解答】解：∵这组数据有唯一众数8，∴b为8，∵中位数是5，∴a是5，∴这一组数据的平均数为，故答案为：5．【点评】本题考查了众数、算术平均数和中位数的知识．熟练掌握众数、算术平均数和中位数的概念是解题的关键．16．（3分）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为﹣1．【分析】表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数m的值即可．【解答】解：，化简得：，去分母得：x＝3（x﹣1）+mx，移项合并得：（2+m）x＝3，解得：，由方程的解是正整数，得到x为正整数，即2+m＝1或2+m＝3，解得：m＝﹣1或m＝1（舍去，会使得分式无意义）．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．17．（3分）矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边的三等分点，连接DE，点P是DE的中点，OP＝3，连接CP，则PC+PE的值为13或．【分析】当CE＞BE时，利用三角形中位线定理求得CE＝12，再求得矩形的边长，利用勾股定理求得DE的长，再根据斜边中线的性质即可求解；当CE＜BE时，同理求解即可．【解答】解：当CE＞BE时，如图，∵矩形ABCD，∴点O是BD的中点，∵点P是DE的中点，∴BE＝2OP＝6，CP＝PE＝PD，∵点E是BC边的三等分点，∴CE＝2BE＝12，BC＝3BE＝18，∵矩形ABCD的面积是90，∴BC×CD＝90，∴CD＝5，∴，∴PC+PE＝DE＝13；当CE＜BE时，如图2，∵矩形ABCD，∴点O是BD的中点，∵点P是DE的中点，∴BE＝2OP＝6，CP＝PE＝PD，∵点E是BC边的三等分点，∴，BC＝3+6＝9，∵矩形ABCD的面积是90，∴BC×CD＝90，∴CD＝10，∴，∴；故答案为：13或．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用分类讨论思想解决问题．18．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝2；④BF•NF＝AF•BP；⑤若PM∥BD，则CE＝BC．其中正确的结论是①②③⑤．【分析】如图1，作PG⊥AD于G，则四边形ABPG是矩形，证明△PGN≌△ADM（ASA），则AM＝PN，可判断①的正误；如图2，作HF⊥DF交AD于H，连接CF，证明△ABF≌△CBF（SAS），则AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，由∠BPF+∠BAF＝360°﹣∠ABP﹣∠AFP＝180°，∠BPF+∠FPC＝180°，可得∠BAF＝∠FPC，PF＝CF＝AF，FN＝FM，证明△HFN≌△DFM（SAS），则HN＝DM，由勾股定理得，，由DH＝HN+DN＝DM+DN，可得，可判断②的正误；如图3，连接AP，由勾股定理得，，，可求，设EM＝x，则，BE＝3+x，由勾股定理得，，由，可得，整理得，x2﹣2x﹣24＝0，可求满足要求的解为x＝6，则，BE＝9，由，可得，可求，可判断③的正误；由题意知，∠BPF＞90°，△BPF、△NFA不相似，BF•NF≠AF•BP，可判断④的正误；由设PC＝CM＝a，BC＝CD＝AD＝AB＝b，CE＝c，则DM＝b﹣a，BE＝b+c，PE＝a+c，，证明△AFN≌△PFM（SAS），则，证明△AMD∽△EDC，则，即，可求，同理，△ANF∽△EPF，则，即，同理，△DMF∽△BAF，则，即，可得，将代入得，，整理得，，可得，，则，可判断⑤的正误．【解答】解：∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝45°，如图，作PG⊥AD于G，则四边形ABPG是矩形，∴PG＝AB＝AD，∵∠GPN+∠GNP＝90°＝∠GNP+∠DAM，∴∠GPN＝∠DAM，又∵PG＝AD，∠PGN＝90°＝∠ADM，∴△PGN≌△ADM（ASA），∴AM＝PN，①正确，故符合要求；如图，作HF⊥DF交AD于H，连接CF，∴∠DHF＝45°＝∠ADB，∴DF＝HF，∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF＝45°，BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，∵∠BPF+∠BAF＝360°﹣∠ABP﹣∠AFP＝180°，∠BPF+∠FPC＝180°，∴∠BAF＝∠FPC，∴∠BCF＝∠FPC，∴PF＝CF＝AF，∴PN﹣PF＝AM﹣AF，即FN＝FM，∵∠HFN+∠NFD＝90°＝∠DFM+∠NFD，∴∠HFN＝∠DFM，∵HF＝DF，∠HFN＝∠DFM，FN＝FM，∴△HFN≌△DFM（SAS），∴HN＝DM，由勾股定理得，，∵DH＝HN+DN＝DM+DN，∴，②正确，故符合要求；∵P是BC中点，AB＝3，∴，如图，连接AP，由勾股定理得，，，解得，，设EM＝x，则，BE＝3+x，由勾股定理得，，∵，∴，整理得，x2﹣2x﹣24＝0，解得，x＝6或x＝﹣4（舍去），∴，BE＝9，∵，∴，解得，，③正确，故符合要求；由题意知，∠BPF＞90°，∴△BPF、△NFA不相似，BF•NF≠AF•BP，④错误，故不符合要求；∵PM∥BD，∴∠CPM＝∠CBD＝45°，∠CMP＝∠CDB＝45°，设PC＝CM＝a，BC＝CD＝AD＝AB＝b，CE＝c，则DM＝b﹣a，BE＝b+c，PE＝a+c，，∵AF＝PF，∠AFN＝90°＝∠PFM，FN＝FM，∴△AFN≌△PFM（SAS），∴，∵∠ADM＝90°＝∠ECM，∠AMD＝∠EDC，∴△AMD∽△EDC，∴，即，解得，，同理，△ANF∽△EPF，∴，即，同理，△DMF∽△BAF，∴，即，∴，将代入得，，整理得，，解得，，∴，⑤正确，故符合要求；故答案为：①②③⑤．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（共66分）19．先化简，再求值：÷（x﹣），并从﹣1，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．【分析】先计算括号内的减法，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可得．【解答】解：＝＝＝＝．∵x≠0且x≠3，∴x＝﹣1或x＝1或x＝2．当x＝﹣1时，原式＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．20．如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC，对垂直于地面CD的建筑物AD的高度进行测量，BC⊥CD于点C．在B处测得A的仰角∠ABE＝45°，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG处，FG⊥CD于点G，测得A的仰角∠AFE＝58°，BF的延长线交AD于点E，求建筑物AD的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】由题意可得四边形BEDC是矩形，则DE＝BC＝1.5m．解直角三角形得到，进而得到，据此求出AE即可得到答案．【解答】解：根据题意可知四边形BEDC是矩形，∴DE＝BC＝1.5m．如图，∠ABE＝45°，∠AFE＝58°．∵，∴．∵BE＝EF+BF，∴∴AE≈16．∴AD＝AE+DE＝17.5（米）答：建筑物AD的高度约为17.5米．【点评】本题主要考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．21．某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本了解”，D为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取了50名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数；（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题．【分析】（1）用A、C、D的总人数除以所占比例即可求解；（2）先用360°×“了解较少”的占比，用总人数减去A、C、D的人数即可得B的人数，据此即可补全条形统计图；（3）用样本估算总体即可．【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为：（20+8+5）÷（1﹣34%）＝50（名）；（2）“了解较少”所对应的圆心角度数为：，50×34%＝17（人）补全图形如下：（3）（名），估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题有480名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝8，以BC为边向△ACB外作有一个内角为60°的菱形BCDE，对角线BD，CE交于点O，连接OA，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出△AOC的面积．【分析】分两种情况讨论，作OF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质以及勾股定理分别求得CF的长，再利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：当∠CBE＝60°时，所作图形如图，作OF⊥BC，垂足为F，∵菱形BCDE，∠CBE＝60°，∴∠COB＝90°，∠CBO＝30°，∠OCB＝60°，∵BC＝12，∴，∵∠OCB＝60°，∴∠COF＝30°，∴，∴△AOC的面积为；当∠BCD＝60°时，所作图形如图，作OF⊥BC，垂足为F，如图2，∵菱形BCDE，∠BCD＝60°，∴∠COB＝90°，∠BCO＝30°，∵BC＝12，∴，，∴，，∴△AOC的面积为；综上，△AOC的面积为12或36．【点评】本题考查了作图v﹣复杂作图，三角形的面积，含30度角的直角三角形，菱形的性质，解答本题的关键是熟练运用分类讨论思想解决问题．23．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC．（1）求该二次函数的解析式；（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为．【分析】（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出直线BC的解析式，然后过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设点P的坐标为，则点D的坐标为，根据求出面积的最大值，然后求高PN即可．【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入得：，解得，∴二次函数的解析式为；（2）令y＝0，则，解得：x1＝﹣1，x2＝6，∴点B的坐标为（6，0），∴，设直线BC的解析式为y＝mx+n，代入得：，解得，∴直线BC的解析式为，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，如图，设点P的坐标为，则点D的坐标为，∴，∴，∴△PBC最大为，∴，故答案为：．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键．24．一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程ykm与两车行驶时间xh的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车行驶的速度是70km/h，并在图中括号内填上正确的数；（2）求图中线段EF所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．【分析】（1）利用时间、速度、路程之间的关系求解；（2）利用待定系数法求解；（3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可．【解答】解：（1）由图可知，甲车小时行驶的路程为（200﹣180）km，∴甲车行驶的速度是，70×（4+）＝300（km），填图如下：故答案为：70；（2）由图可知E，F的坐标分别为，（4，180），设线段EF所在直线的函数解析式为y＝kx+b，则，解得，∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝120x﹣300；（3）由题意知，A、C两地的距离为：，乙车行驶的速度为：，C、B两地的距离为：50×4＝200（km），A、B两地的距离为：300﹣200＝100（km），设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分两种情况，当甲乙相遇前时：200﹣50x＝3（100﹣70x），解得；当甲乙相遇后时：200﹣50x＝3（70x﹣100），解得；综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．【点评】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题的关键．25．数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF＝AB；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD＝AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM＝EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：推理证明：写出图①的证明过程：探究问题：（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；拓展思考：（3）在（1）（2）的条件下，若AC＝6，CD＝2BD，则EF＝10或18．【分析】（1）在AB边上截取AM＝EF，连接DM，根据题意证明出△DAM≌△AEF（SAS），得到AF＝DM，然后证明出△BMD是等边三角形，得到BD＝BM＝DM，进而求解即可；（2）图②：在BD上取点H，使BH＝AB，连接AH并延长到点G使AG＝AF，连接DG，首先证明出△ABH是等边三角形，得到∠BAH＝60°，然后求出∠BAH＝∠DAE，然后证明出△FAE≌△GAD（SAS），得到EF＝DG，∠AFE＝∠G，然后证明出△DHG是等边三角形，得到DH＝DG＝EF，进而求解即可；图③：在EF上取点H使AH＝AF，同理证明出△EAH≌△ADB（AAS），得到BD＝AH，AB＝EH，进而求解即可；（3）根据勾股定理和含30°角直角三角形的性质求出BC＝6，AB＝12，然后结合CD＝2BD，分别（1）（2）的条件下求出BD的长度，进而求解即可．【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．在AB边上截取AM＝EF，连接DM．如图1，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣30°＝60°．∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠B＝60°．又∵∠EAD＝60°，∴∠EFB＝∠EAD．又∵∠BAD＝∠EAD﹣∠EAF，∠AEF＝∠EFB﹣∠EAF，∴∠BAD＝∠AEF．又∵AD＝AE，AM＝EF，∴△DAM≌△AEF（SAS）．∴AF＝DM．∴∠AMD＝∠EFA＝180°﹣∠EFB＝180°﹣60°＝120°．∴∠BMD＝180°﹣∠AMD＝180°﹣120°＝60°．∵∠B＝60°，∴∠BMD＝∠B＝∠BDM．∴△BMD是等边三角形．∴BD＝BM＝DM，∵AB＝AM+BM，∴AB＝EF+BD；（2）解：图②：AB＝BD﹣EF，证明如下：如图2.1所示，在BD上取点H，使BH＝AB，连接AH并延长到点G使AG＝AF，连接DG，∵∠ABC＝60°，∴△ABH是等边三角形，∴∠BAH＝60°，∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD，∴∠BAH＝∠DAE，∴∠BAH﹣∠EAH＝∠DAE﹣∠EAH，即∠BAE＝∠HAD，又∵AG＝AF，∴△FAE≌△GAD（SAS），∴EF＝DG，∠AFE＝∠G，∵BD∥EF，∴∠ABC＝∠F＝∠G＝60°，∵∠DHG＝∠AHB＝60°，∴△DHG是等边三角形，∴DH＝DG＝EF，∴AB＝BH＝BD﹣DH＝BD﹣EF；图③：AB＝EF﹣BD，证明如下：如图2.2所示，在EF上取点H使AH＝AF，∵EF∥BC，∴∠F＝∠ABC＝60°，∵AH＝AF，∴△AHF是等边三角形，∴∠AHF＝∠HAF＝60°，∴∠AHE＝120°，∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠DAB+∠EAH＝180°﹣∠EAD﹣∠HAF＝60°，∵∠D+∠DAB＝∠ABC＝60°，∴∠D＝∠EAH，∵∠DBA＝180°﹣∠ABC＝120°＝∠EHA，又∵AD＝AE，∴△EAH≌△ADB（AAS），∴BD＝AH，AB＝EH，∵AH＝FH，∴BD＝HF，∴AB＝EH＝EF﹣FH＝EF﹣BD；（3）解：如图3.1所示，∵∠BAC＝30°，∠C＝90°，∴AB＝2BC，AB2＝BC2+AC2，∴，∴BC＝6，∴AB＝2BC＝12，∵CD＝2BD，BC＝BD+CD，∴，由（1）可知，BD+EF＝AB，∴EF＝AB﹣BD＝12﹣2＝10；如图3.2所示，当点D在线段BC的延长线上时，∵CD＜BD，与CD＝2BD矛盾，∴不符合题意；如图3.3所示，当点D在线段CB的延长线上时，∵CD＝2BD＝BD+BC，BC＝6，∴BD＝BC＝6，由（2）可知，AB＝EF﹣BD，∵AB＝2BC＝12，∴EF＝AB+BD＝12+6＝18．综上所述，EF＝10或18，故答案为：10或18．【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含30°角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．26．牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．【分析】（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴