2024-2025学年高中数学 第1章 立体几何初步 5 平行关系 5.2 平行关系的性质（教师用书）教案 北师大版必修2

2024-2025学年高中数学第1章立体几何初步5平行关系5.2平行关系的性质（教师用书）教案北师大版必修2课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析本节课的主要教学内容为北师大版必修2高中数学第1章“立体几何初步”中的5.2节“平行关系的性质”。内容涉及平面与直线之间的平行关系，重点探讨平行公理及其推论，如两条平行线与第三条直线相交时的性质，以及平行线在三角形中的运用等。此部分教学内容旨在帮助学生理解空间中直线之间的位置关系，为后续学习立体几何奠定基础。

教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在初中阶段已学习过平面几何中平行线的性质，掌握了同位角、内错角等概念，以及平行线夹角相等的性质。在此基础上，本节课将引导学生将这些知识迁移至立体几何中，探索立体几何中平行关系的更多性质，如平行线与截线所形成的角的关系，并运用这些性质解决实际问题。二、核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要围绕数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学直观四个方面展开。通过学习平行关系的性质，学生将能够在立体几何的情境中，培养以下核心素养：

1.数学抽象：学生能够从具体的几何图形中抽象出平行关系的概念，理解其在不同维度几何图形中的应用，提高对空间概念的理解和抽象思维能力。

2.逻辑推理：学生在探索平行关系性质的过程中，通过观察、实验和论证，培养严谨的逻辑推理能力，学会使用几何语言和符号进行准确的推理表达。

3.数学建模：学生能够运用平行关系的性质解决实际问题，构建数学模型，将几何知识与现实情境相结合，提高解决实际问题的能力。

4.数学直观：通过观察和操作几何模型，学生将发展空间想象力和几何直观，能够直观地把握立体图形中平行关系的特征，形成对几何图形的直观认识。三、教学难点与重点1.教学重点

（1）理解并掌握平行关系的定义及其性质。平行关系的定义是空间中两条直线或两个平面不相交的关系。性质包括：两条平行线与第三条直线相交，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；两个平行平面与第三个平面相交，交线平行。

举例：在教室的天花板与地面之间，两条电线如果永远不相交，则它们是平行的。通过观察教室中的电线布局，学生可以直观理解平行线的概念。

（2）学会运用平行公理及推论解决实际问题。平行公理是几何学中的基本公理之一，指在平面内，一条直线与另外两条直线相交，若同位角相等，则这两条直线平行。

举例：在道路设计中，如何确定两条道路的交叉口使得行车视线良好，就需要运用平行公理及其推论。

（3）掌握平行线在三角形中的应用，如三角形内角和与外角的关系，以及平行线分线段比例定理等。

举例：在三角形ABC中，如果一条直线DE平行于BC，那么根据平行线分线段比例定理，有AD/DB=AE/EC。

2.教学难点

（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系。对于学生来说，从二维的平行关系扩展到三维空间中的平行关系是一个难点。

举例：在三维空间中，两条直线可以不相交却在某个平面内，这时不能简单地根据同位角判断它们是否平行，还需要考虑它们是否在同一个平面内。

（2）平行线与截线所形成的角的计算。在立体几何中，当一条直线与一对平行线相交时，所形成的角的大小需要通过几何计算得出，这对学生来说是一个难点。

举例：在正方体中，一条对角线与一组平行边相交，要求计算这两个相交角的大小，需要运用三角函数和勾股定理。

（3）平行关系的性质在解决实际问题中的应用。学生在将理论性质应用到具体问题时，往往不知道如何入手。

举例：在建筑设计中，如何利用平行关系确定建筑物的结构线，以及如何计算屋顶的斜率等，需要学生将平行性质与实际情境相结合，进行问题分析。

（4）平行关系性质证明的逻辑推理过程。学生在进行几何证明时，常常对逻辑推理的过程感到困惑。

举例：在证明“两条平行线与第三条直线相交，同位角相等”时，需要运用反证法、同位角和内错角的性质等逻辑推理方法，这对于学生来说是一个挑战。四、教学方法与手段1.教学方法

（1）讲授法：对于平行关系的性质及定理的讲解，采用讲授法进行。通过清晰的讲解，使学生理解并掌握空间几何中平行关系的定义、性质和应用。同时，结合实际生活中的例子，帮助学生将抽象的几何知识具体化。

例如，在讲解平行线性质时，可以以教室里的黑板和地面为例，说明两条平行线与第三条直线相交时，同位角相等的现象。

（2）讨论法：针对空间几何中的难点问题，组织学生进行小组讨论。通过生生互动、观点碰撞，激发学生的思考，提高解决问题的能力。

例如，在探讨平行线与截线所形成的角的计算方法时，可以让学生分组讨论，共同寻找解题策略。

（3）实验法：引导学生通过实际操作，观察和验证几何性质。让学生在动手实践中，加深对平行关系性质的理解。

例如，在探究三角形中平行线的性质时，可以让学生使用直尺和量角器进行实际测量，验证理论知识的正确性。

2.教学手段

（1）多媒体设备：利用多媒体设备，如投影仪、电子白板等，展示立体几何图形，让学生直观地感受空间几何中平行关系的性质。通过动态演示，使抽象的几何知识变得形象易懂。

例如，在讲解平行线的性质时，可以使用动画演示两条平行线与第三条直线相交时，同位角、内错角的变化规律。

（2）教学软件：运用教学软件，如几何画板、Mathematica等，帮助学生进行几何图形的绘制和计算。使学生在实际操作中，掌握几何知识，提高解决问题的能力。

例如，在解决实际问题时，学生可以使用几何画板软件绘制立体图形，直观地观察平行线与截线所形成的角的大小。

（3）网络资源：充分利用网络资源，为学生提供丰富的学习资料和实例。引导学生通过自主学习，拓宽知识视野，提高空间想象力。

例如，可以推荐学生观看网络上的几何教学视频，了解平行关系在不同领域的应用，激发学生的学习兴趣。五、教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解“立体几何初步”中“平行关系”的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。设计预习问题，如“如何判断两条直线在空间中是否平行？”激发学生思考，为课堂学习平行关系的性质做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确教学目标和重难点。准备教学用具和多媒体资源，确保教学过程的顺利进行。设计课堂互动环节，如小组讨论和实验探究，提高学生学习平行关系的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的立体几何基本概念，帮助学生建立知识之间的联系。提出问题，检查学生对直线、平面的掌握情况，为学习新课打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解平行关系的定义和性质，结合实例帮助学生理解。突出平行公理及其推论的重点，强调空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间平行关系的难点。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕“如何证明两条直线平行？”等问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考。

技能训练：

总结归纳：

在新课呈现结束后，对平行关系的性质进行梳理和总结。强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

布置随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对平行关系知识的掌握情况。鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与平行关系相关的拓展知识，如平行线在建筑设计和工程测量中的应用。引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合平行关系内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。鼓励学生分享学习心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的平行关系性质，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。六、学生学习效果1.理解平行关系的定义及性质：学生掌握了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间平行关系的定义，能够准确判断和证明几何图形中的平行关系。在解决实际问题时，能够运用平行公理及其推论，提高了解决问题的能力。

2.掌握平行线在三角形中的应用：学生学会了平行线在三角形中内角和与外角的关系，能够运用平行线分线段比例定理解决相关问题。在几何证明和计算中，能够灵活运用这些性质，提高了解题效率。

3.提高逻辑推理能力：在探索平行关系性质的过程中，学生通过观察、实验和论证，培养了严谨的逻辑推理能力。他们能够使用几何语言和符号进行准确的推理表达，提高了解决几何问题的能力。

4.发展空间想象力和几何直观：通过观察和操作几何模型，学生发展了空间想象力和几何直观。他们能够直观地把握立体图形中平行关系的特征，形成对几何图形的直观认识，为后续学习立体几何奠定了基础。

5.学会合作与沟通：在小组讨论和互动探究环节，学生学会了与他人合作，共同解决问题。他们能够积极参与讨论，提出自己的观点和疑问，倾听他人的意见，提高了解决问题的效果。

6.提升实践操作能力：通过例题讲解和实践活动，学生掌握了平行关系性质的操作方法。在解决实际问题时，能够运用所学知识进行实际操作，提高了解题能力。

7.拓宽知识视野：在知识拓展环节，学生了解了平行关系在建筑、工程等领域的应用，拓宽了知识视野。他们能够认识到几何知识在现实生活中的重要性，激发了对学科学习的兴趣。

8.培养创新意识和探索精神：学生在学习过程中，不断提出问题、探索解决问题的新方法。他们关注学科前沿动态，敢于挑战传统观念，培养了解决问题的创新意识和探索精神。

9.增强学科素养：通过本节课的学习，学生不仅掌握了立体几何知识，还培养了数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学直观等核心素养。他们在解决问题的过程中，能够运用所学知识，形成完整的知识体系。

10.增进情感交流：在课堂教学中，学生分享了学习心得和体会，与教师、同学进行了积极的情感交流。这有助于增进师生之间的了解，营造和谐的学习氛围。七、板书设计1.教学内容：平行关系的性质

2.重点：平行公理及推论、平行线在三角形中的应用

3.难点：空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系

4.教学目标：理解平行关系的定义及性质，掌握平行线在三角形中的应用，提高逻辑推理能力，发展空间想象力和几何直观，学会合作与沟通，提升实践操作能力。

板书设计：

一、平行关系的定义及性质

1.平行关系的定义

2.平行公理及推论

3.平行线在三角形中的应用

二、空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系

三、平行关系的逻辑推理过程

四、平行关系的实践应用

五、总结八、作业布置与反馈1.作业布置

(1)填空题：根据平行关系的定义和性质，完成以下填空题，巩固学生对平行关系的理解和记忆。

(2)选择题：设计一些选择题，涵盖平行关系的重点和难点，让学生在选择题中加深对平行关系的理解。

(3)解答题：布置一些解答题，要求学生运用平行关系的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。

(4)探究题：设计一些探究题，让学生通过探究和实验来验证平行关系的性质，培养学生的探究精神和实践能力。

2.作业反馈

(1)及时批改：对学生提交的作业及时进行批改，确保学生能够及时得到反馈。

(2)指出问题：在批改作业时，指出学生存在的问题，如概念不清、推理不严密等，帮助学生找到问题所在。

(3)给出建议：针对学生存在的问题，给出具体的改进建议，如加强概念理解、练习逻辑推理等，帮助学生改进学习方法和提高能力。

(4)鼓励表扬：对学生的进步和优秀表现给予鼓励和表扬，提高学生的学习积极性和自信心。课后作业1.证明题：证明两条平行线与第三条直线相交，同位角相等。

2.应用题：在一个三角形中，已知一条边与另一边平行，求证这两条边的对角相等。

3.绘图题：绘制一个空间图形，其中包含两条平行线和一个与它们相交的第三条直线，并标出相关的角。

4.探究题：探究两条平行线与第三条直线相交时，内错角和同旁内角的关系。

5.计算题：已知一个三角形中，一条边与另一边平行，求证这个三角形的两个外角相等。

答案：

1.证明：两条平行线与第三条直线相交，形成两个同位角和两个内错角。由于平行线之间的夹角相等，因此这两个同位角相等。

2.解答：在一个三角形中，如果一条边与另一边平行，那么这两条边所对的角是相等的，因为它们是同位角。

3.绘图：可以绘制一个长方体，其中两条边是平行线，另一条边与它们相交，形成一个角。

4.探究：当两条平行线与第三条直线相交时，内错角相等，而同旁内角互补。

5.计算：在一个三角形中，如果一条边与另一边平行，那么这个三角形的两个外角相等，因为它们是同旁内角。教学反思在本节课的教学过程中，我发现学生对平行关系的性质掌握得较好，但空间想象力仍需加强。在讲解平行关系的定义时，学生能够理解两条直线在空间中不相交的概念，但对于平面与平面之间的平行关系，部分学生仍感到困惑。为了帮助学生更好地理解这一概念，我尝试通过多媒体展示和实物模型演示，让学生直观地感受到空间中平面之间的位置关系。在讲解平行公理及其推论时，我发现学生能