章数与式1课实数及其运算市公开课金奖市赛课一等奖课件

第一章数与式

第1课实数及其运算第1页第1页实数无理数无限不循环小数整数分数负整数自然数有限小数或无限循环小数1.实数分类按实数定义分类:要点梳理正无理数负无理数有理数正整数零正分数负分数第2页第2页依据需要，我们也能够按符号进行分类，如:实数2．实数相关概念(1)数轴:要求了，和直线叫做数轴．数轴上全部点与全体实数一一对应．(2)相反数:只有______不同，而_______相同两个数称为互为相反数．若a、b互为相反数，则a＋b＝_____.(3)倒数:1除以一个不等于零实数所得_____，叫做这个数倒数．若a、b互为倒数，则ab＝_____.原点正方向单位长度符号绝对值0商1正实数负实数零第3页第3页(4)绝对值:在数轴上，一个数相应点离开原点叫做这个数绝对值．距离a0－a|a|是一个非负数,即|a|________.≥0|a|＝(a>0)(a=0)(a<0)第4页第4页(5)科学记数法，近似数，有效数字:科学记数法就是把一个数表示成形式；一个近似数，到哪一位，就说这个数准确到哪一位，这时，从左边第一个不是零数字起，到末位数字止，所有数字都叫做这个近似数有效数字．(6)平方根，算术平方根，立方根:假如x2＝a，那么x叫做a平方根，记作_______；正数a正平方根，叫做这个数算术平方根；假如x3＝a，那么x叫做a立方根，记作______．±a×10n(1≤a＜10,n是整数)四舍五入±第5页第5页3.零指数幂，负整数指数幂:任何非零数零次幂都等于1，即；任何不等于数－p次幂，等于这个数p次幂倒数，即．4.实数大小比较:______不小于零，______小于零，______不小于一切负数；在数轴上表示两个数，右边点所表示数总比______点所表示数_____．差值法比较:a－b＞0⇔a＞ba－b＜0⇔a＜ba－b＝0⇔a＝ba0＝1(a≠0)a－p＝(a≠0，p为正整数)正数负数正数左边大第6页第6页5.实数运算:实数运算顺序是先算，再算，最后算______．假如有括号，先算_______，再算______，最后算______．同级运算应.乘方和开方乘除加减小括号中括号大括号从左到右,按顺序进行第7页第7页[难点正本疑点清源]1．正确理解实数相关概念

在实数范围内，由于对数学概念理解不清楚，造成出现各种判断和列式错误．这些概念包括:正数、负数、有理数、无理数、实数、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根、绝对值、数轴、零指数、负整数指数等．2．注意基本技能掌握及正确运算

在实数范围内，由于对基本技能掌握不纯熟，造成出现一系列变形和计算错误．这些技能包括:分数通分与约分、运算灵活应用、实数运算、实数大小比较、近似数表示、用科学记数法表示数等．

第8页第8页3.利用数形结合数学思想直观地处理问题数本身是无形、抽象，而点、线等图形却是直观.数轴正是在有形直线上按由小到大顺序把无形数表示出来，把“数”与“形”有机地结合起来，从而便于学习和研究.第9页第9页4．利用分类讨论思想，全方面解答问题在学习相反数、绝对值和有理数乘方运算符号法则时，应把实数分成正实数、零、负实数三类分别研究，利用分类讨论思想，在一些看上去较复杂计算题中，可经过度类讨论，全方面地把代数式值一一求出来，如:已知abc≠0，且M＝＋＋＋，依据a、b、c不同取值，M有()A．唯一确定值B．三种不同值C．四种不同值D．八种不同值B第10页第10页基础自测1．(·金华)有四包真空小包装火腿，每包以原则克数(450克)为基准，超出克数记作正数，不足克数记作负数，下列数据是统计结果，其中表示实际克数最靠近原则克数是()A．＋2B．－3C．＋3D．＋4解析:四个选项中＋2绝对值最小，故最靠近原则．A第11页第11页2．(·衢州)数－2相反数为()

A．2B.C．－2D．－

解析:一个数相反数就是在这个数前面加“－”号．

3．(·义乌)－3绝对值是()

A．3B．－3C．－D.

解析:|－3|＝3，一个负数绝对值是它相反数．

AA第12页第12页4．(·宁波)下列各数中，是正整数是()

A．－1B.2C．0.5D.

解析:选项中只有2既是正数，又是整数．

5．(·陕西)我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875人，将这个总人口数(保留三个有效数字)用科学计数法表示为()

A．1.37×109B．1.37×107

C．1.37×108D．1.37×1010

解析:1370536875＝1.370536875×109≈1.37×109.BA第13页第13页题型分类深度剖析题型一实数分类【例1】(1)在0,1,－2,－3.5这四个数中，是负整数是()A．0B．1C．－2D．－3.5解析:负整数既是负数，又是整数，这里只有－2符合．(2)在实数0,1,,0.1235中，无理数个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个解析:无理数是无限不循环小数，开不尽方，是无限不循环小数．CB第14页第14页探究提升判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循环小数．初中常见无理数共分三种类型:(1)含根号且开不尽方数；(2)化简后含π(圆周率)式子；(3)有规律但不循环无限小数．掌握常见无理数类型有助于辨认无理数．

第15页第15页知能迁移1(1)下列五个实数:，0，tan45°，－|－3|，()－1.其中正数和为()

A．4B．5C．6D．7解析:(3－π)0＋tan45°＋()－1＝1＋1＋2＝4，这三个正数和等于4，选A.

(2)下列四个数中，在0到3之间无理数是()

A.B.C．πD．－1

解析:0<<，只有是0到3之间无理数，选B.BA第16页第16页题型二科学记数法与近似值、有效数字【例2】(1)(·浙江)中国是严重缺水国家之一，人均淡水资源为世界人均量四分之一，因此我们要为中国节水，为世界节水．若每人天天浪费水0.32L，那么100万人天天浪费水，用科学记数法表示为()A.3.2×107LB.3.2×106LC.3.2×105LD.3.2×104L解析:0.32×100万＝0.32×106＝3.2×105(L)．(2)下列近似数中准确到千位是()A．90200B．3.450×102C．3.4×104D．3.4×102解析:3.4×104表示3万4千，准确到千位，选C.CC第17页第17页探究提升(1)科学记数法普通表示数较大，因此解题时一定要仔细.拟定n值时，从最后一位起数到最高位下一位即可，最后可将答案还原成原数进行检查.(2)用有效数字表示数，在拟定其准确度时，要还原成原数后再进行判断.第18页第18页知能迁移2(1)近似数2.5万准确到____位；有效数字分是．

解析:2.5万＝2万5千，准确到千位，有效数字分别是2，5.(2)0.5796保留三个有效数字近似数是_______；由四舍五入法得到近似数2.30亿准确到_______位，有_______个有效数字．

解析:0.5796≈0.580，保留三位有效数字近似数是0.580；2.30亿≈2亿3千0百万，准确到百万位，有3个有效数字．

千2,50.580百万3第19页第19页(3)(·安徽芜湖)我们身处于自然环境中，一年接受宇宙射线及其它天然辐射照射量约为3100微西弗(1西弗等于1000毫西弗，1毫西弗等于1000微西弗)，用科学记数法可表示为()

A．3.1×106西弗B．3.1×103西弗

C．3.1×10－3西弗D．3.1×10－6西弗

解析:3100×10－3×10－3＝3.1×10－3.C第20页第20页题型三实数运算【例3】(1)计算：＋0－；(2)计算：(－2)2＋2×(－3)＋()－1.解题示范——规范环节，该得分，一分不丢!解：(1)|－4|＋(＋1)0－＝4＋1－2[3分]＝5－2[4分](2)(－2)2＋2×(－3)＋()－1＝4－6＋3[3分]＝1[4分]

第21页第21页探究提升

实数运算要严格按照法则进行,对于实数混合运算,注意符号和顺序是非常主要.知能迁移3(1)(·温州)计算:(－2)2＋(－)0－.解:(－2)2＋(－)0－＝4＋1－2＝5－2.(2)(·舟山)计算:22－＋(－3)0－(－2).解:原式＝4－3＋1＋2＝4.第22页第22页题型四与实数相关概念【例4】(1)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a>b>c，那么a＋b－c＝________.解析:由|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，得a＝±1，b＝±2，c＝±3.又a>b>c.能够a＝±1，b＝－2，c＝－3，因此a＋b－c＝1＋(－2)－(－3)＝2，或a＋b－c＝(－1)＋(－2)－(－3)＝0.2或0第23页第23页(2)设|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝－(a＋b)，试求a－b所有值和．解:∵|a|＝4，|b|＝2，∴a＝±4，b＝±2，又|a＋b|＝－(a＋b)≥0，∴a＋b<0，可知a＝－4，b＝±2，因此a－b＝－4－2＝－6，或a－b＝－4－(－2)＝－2，－6＋(－2)＝－8，a－b所有值和是－8.第24页第24页探究提升

(1)两个互为相反数和为0；

(2)正数绝对值是它本身,负数绝对值是它相反数,

0绝对值是0.知能迁移4(1)(·镇江)计算:－(－)＝________；＝________；0＝________；－1＝________.

1－2第25页第25页(2)若ab>0，则＋－值等于________．

解析:由ab>0，得a>0且b>0或a<0且b<0，于是＋－＝1＋1－1＝1或＋－＝(－1)＋(－1)－1＝－3.1或－3第26页第26页题型五与数轴联系【例5】(1)如图，若A是实数a在数轴上相应点，则关于a，－a,1大小关系，表示正确是()

A．a<1<－aB．a<－a<1C．1<－a<aD．－a<a<1解析:如图，在数轴上找出－a所相应位置，易知a<1<－a，选A.A第27页第27页(2)观测图中数轴，用字母a，b，c依次表示点A、B.C所相应数，则、、大小关系是()A.<<B.<<C.<<D.<<解析：由所给数轴表示，能够表示－1<a<－，－<b<0，c>1∴0<<1，……①，<b－a<1，∴1<<3……②，<|a|<1,0<|b|<，∴0<|ab|<，>3，>3……③.∴①<②<③.∴选C.C第28页第28页探究提升

数形结合借助数轴找到数位置，或由数找到在数轴上点位置，及其相反数位置.再依据数轴上右边数不小于左边数，拟定各数大小.知能迁移5(1)(·宜昌)如图，数轴上A.B两点分别相应实数a、b，则下列结论正确是()A.a<bB．a＝bC.a>bD．ab>0解析：由于a>0，b<0，因此a>b.C第29页第29页(2)有理数a、b满足a<0，b>0，且|a|>|b|，试用“<”号把a、b，－a、－b连接起来:________________.解析:据题意，把有理数a、b表示在数轴上，并把－a、－b也表示在同一条数轴上，如图，易得a<－b<b<－a.a<－b<b<－a第30页第30页易错警示1．实数概念中常见错误试题若一个实数(1)倒数；(2)绝对值；(3)平方数；(4)立方；(5)平方根；(6)算术平方根；(7)立方根等于它本身，则这个数分别为:(1)(2)(3)_____(4)_____(5)____(6)____(7)_____．学生答案展示(1)1；(2)正数；(3)1；(4)1或－1；(5)1；(6)0；(7)1和－1.剖析实数概念理解往往似是而非或不够全面，出现一些不该有错误．上述给出答案不完整，漏掉了一些符合条件数，产生错误原因是忽略了引进负数对数范围扩展不适应．第31页第31页试题若一个实数(1)倒数；(2)绝对值；(3)平方数；(4)立方；(5)平方根；(6)算术平方根；(7)立方根等于它本身，则这个数分别为：(1)(2)_____(3)_____(4)_____(5)_____(6)_____(7)_____．正解(1)1和－1；(2)正数和0(或非负数)；(3)1和0；(4)－1.0和1；(5)0；(6)0和1；(7)－1.0和1.批阅笔记本题考察了实数基本概念，有同窗对所学倒数、绝对值、平方与平方根等概念没有全面理解，因而造成错误．第32页第32页思想办法感悟提升办法与技巧

1.注重实数概念学习，理解实数与数轴上点是一一相应.

2.注意实数乘方概念理解，预防概念之间混淆.

3.可借助数轴，“数形结合”，找到数与点关系，依据对称性质找出互为相反数位置，再比较大小.

第33页第33页失误与防备

引进负数，使数概念得以扩展，实现了算术数到有理数奔腾，许多小学形成结识被推翻了:

1．“＋”“－”除了仍表示运算符号外，还能够看作一个数性质符号；“－”还能够用来表示原数相反数，即在一个数前面添上“－”号，可得到原数相反数．

2．减法能够转化为加法，在小学里，加法与减法是两回事，但引进负数后，减法就不再作为独立运算而存在，而是把减法转化为加法．第34页第34页3.本来一些结论不再成立，如“差一定小于或等于被减数”这个结论就是不一定正确了.

4.数“0”被赋予新含义，含有独特性质，思考相关问题要全面，不然话，极易落入“0”设置陷阱.第35页第35页完毕考点跟踪训练1第36页第36页第37页第37页弄清实数分类原则，尤其要弄懂无理数三种常见形式:①；②无限不循环小数，如0.1010010001……；③开方开不尽数，如等。绝对值性质——要注意正确区别数三种情况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反数。实数大小比较应重点掌握作差法和作商法，才干更加好地有放矢。方法小结:第38页第38页2.相关实数非负性:若几种非负数和等于0,那么这几种非负数都0.例、若求值。解:由｜3a+4｜+(4b-3)2=0得｜3a+4｜=0且(4b-3)２＝０