2021年秋季高三数学（理）开学摸底考试卷03（解析版）

2021年秋季高三数学（理）开学摸底考试卷03

班级姓名分数

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合4={》6%|1效k9},B={x\0<x<5],则=

A.{2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{x|掇*5}D.{x|l,,x<5}

【答案】B

【解析】•.•集合A={xeN|掇巾9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9）.

B={x|0<x<5},

二.巾8={1，2,3,4}.

故选B.

1+Z

2.设复数z满足——=/,则彳=

1-z

A.iB.-iC.1D.\+i

【答案】B

【解析】因为生=i,所以z=±=（T+">’）=吗,

1-z1+z（l+z）（l-t）2

故5=-晨

故选B.

3.2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛

活动，以庆祝中国共产党成立100周年.比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的

具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30,150]内，其频率分布直

方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为

A.650B.660C.680D.700

【答案】A

【解析】由频率分布直方图可得，学生初赛成绩在(30,90J分的频率为

(0.0025+0.0075+0.0075)x20=0.35,

所以学生初赛成绩大于90分的频率为1-0.35=0.65，

则该校获得复赛资格的人数为0.65x1000=650.

故选A.

4.某新晋网红一线城市鹅城人口模型近似为P=250024e°°⑵，其中f=0表示2020年的人口

数量，则鹅城人口数量达到320000的年份大约是)(/«2»0.693，仇3al.099，/〃5al.609)

A.2040年B.2045年C.2030年D.2050年

【答案】A

［解析］令250024e°a"=320000,

贝I］滑。⑵320000两边取对数得0.012/=%史”，

―250024250024

,320000

In—

5历2—2人5

即r=,2烈2衽«20.583,

0.0120.012

过去20年或21年，，=0表示2020年的人口数量,

则鹅城人口数量达到320000的年份大约是2040年或2041年.

故选A.

5.已知直线/:依+丫-&k=0与双曲线-2r=1(〃>0)的一条渐近线平行，且这两条平行线间的

4

距离为一，则双曲线。的焦距为

3

A.4B.6C.2>/3D.8

【答案】B

2

【解析】直线/与双曲线C:x2-5=1S>O)的一条渐近线平行，

不妨设直线/与渐近线bx-y=0平行，

由h+y-0%=O可知，/过点(0,0),

•.•两条平行线间的距离为

3

|0-缶I4

解得从=8,

Jl+/3

.-.c2=9,双曲线C的焦距为6.

故选B.

6.三棱锥A-BCD的四个顶点为正方体的四个顶点，正方向如图所示，则三棱锥的左视图为

【答案】A

［解析】如图三棱锥A-BCD的四个顶点为正方体的四个顶点,

则观察可知其左视图为

故选A.

正方向/B

1+sin70°

7.-------j---=

2-2sin210°

A.2B.-1C.1D.-

2

【答案】C

n匚、1+sin70°1+cos20°l+(l-25w210o),

[解析]-------—=-------—=---------；-----=1.

2-2sin210O2-2.vzn210°2-2,vz/7210o

故选C.

8.设p:2x2-3x+L,0，4：/_(2。+1口+。(。+1),,0,若p的必要不充分条件是一/?,则实数。的

取值范围是

A-[0,1]B.(0,i]

c.y,o)U[；，+°°)D.y,o)U(；,+°o)

【答案】A

【解析】p:2x2-3x+L,0，解得」谈k1.

2

q:x2-(2a+l)x+a(a+1)„0,瀛ka+1,

丁-p是r的必要不充分条件，是夕的充分不必要条件，

,等号不能同时成立，

.L,4+1

解得畸人

2

则实数。的取值范围[0,1].

故选A.

9.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶。在西偏北45°(即

NB4C=45。)的方向上，行驶600指机后到达8处，测得此山顶在北偏东15°(即NABC=75。)的方

向上，仰角NDBC为30°,则此山的高度CD=

B

A.2(X)6"?B.400y/3mC.600\[3mD.800>/3/M

【答案】B

【解析】AABC中，ABAC=45°,AB=60076,ZABC=75°,

:.ZACB=60°,

BC600V6

由正弦定理得

sin45°sin600

/y

600限在

BC=--------=1200,

B

2

RtAABC中，ZDBC=30。,

:.CD=BCtanNDBC=1200x—=400g,

3

则山高C£>为400G〃7.

故选B.

10.把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的纸盒中，则

四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为

2

D.

3

【答案】B

【解析】将四种不同颜色的球放入四种不同颜色的纸盒中基本事件的总数为九=44=256,

四个球都没有放入相同颜色的纸盒中的基本事件的总数为帆=34=81,

所以四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为尸=包.

256

故选B.

11.已知直三棱柱ABC-A4G，的各顶点都在球。的球面上，且A[B=AC=2,6。=26，若球。的

体积为吆5万则这个直三棱柱的体积等于

3

A.4拒B.8>/3C.8D.4石

【答案】B

【解析】设球O的半径为R,•.•球。的体积为竺幽不，，皿=史述乃，解得/?=2石.

333

\AB=AC=2,BC=2g,

,-.ZBAC=2x60°=120°.SMBC=gx2?xsinl200=G.

.•.△ABC外接圆的半径2r=—空一=4,可得r=2.

sin120°

设球心到底面的距离为肌则〃=正-底=4.

这个直三棱柱的体积=2/?x6=8G.

故选B.

一仇¥,0<工，1

12.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数.当x>0时，f(x)=\1，则函数

2/(x—1)+-,x>1

g(x)=/(x)-sin^x在［-万，T］上的零点个数为()

4

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】解：令g(x)=/(%)-sin工x=0,即/(x)=sin-x>

44

函数/(%)为R上的奇函数,则”))=0,

函数〃(x)=sin2x也是R上的奇函数,

故只需研究当X>0时的零点个数即可,

-/«X,0<A；,1

又当x>0时，f(x)=<

2/(x-1)+>

故在同一坐标系下，作出函数y=/(x)与y=〃(x)的函数图象，如图所示,

由图象可得，当x>0时，函数y=/(x)与y=/i(x)的函数图象有2个交点,

则当xvO时，函数y=/@)与y=〃(x)的函数图象也有2个交点,

又(0,0)也是它们的交点,

故函数y=/(x)与y=〃(x)的函数图象有5个交点,

即函数g(x)=f(x)-sin^x在［-万，TI\上的零点个数为5个.

4

故选C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设函数，(x)=d+加+(a+2)x.若/(x)的图象关于原点(0,0))对称，则曲线y=/(x)在点(1,3)处的

切线方程为一.

【答案】5x-y-2=0

【解析】由题函数/。)=1+以2+(a+2)》./(幻的图象关于原点(0,0))对称，

知/(x)为奇函数,可得a=0,/(x)=x3+2x.f'(x)=3x2+2,

/(I)=5=k.所以切线方程为5x-y-2=0.

故答案为：5x—y—2=0.

14.已知平面向量1,b,是单位向量，且&石=0,则|不-d-b|的最大值为.

【答案】&+1

［解析］由|aR11=1,且@-5=0,

建立如图所示平面直角坐标系，

再设e=(x,y),R!|c-5-ft=(x-l,y-l),

|l)?+(y-1尸，其几何意义为单位圆上的动点与定点P(1,1)间的距离.

则其最大值为1。尸1+1="+6+1=&+1.

故答案为：\/24-1.

22

15.设耳，尸2分别是椭圆E：=+当=l(a>b>0)的左、右焦点，过点匕的直线交椭圆£于A,8两点,

ab

\AFt|=3|B/-b若cosNAE8=g,则椭圆E的离心率为.

【答案】—

2

【解析】设|月8|=制发>0),贝111A甲=3左，|AB|=4M

：］AF21=2a-3k,\BF21=2a-k.

3

cosZA/%B=—,

在&4BK中，由余弦定理得，|43|2=|4工|2+|8入|2—2|AKH8K|cos4K8,

.二(4A)~=(2。—3k)~+(2cz—k)~——(2。—3k)(2a—k),

化简可得(a+4)(。一34)=0,而a+k>0,故a=3左，

：\AF2HAF1|=33|BF21=5k,

22

/JBF212=|伍|+|AB|,

A耳_LAF2,

.•.△AKK是等腰直角二角形,

..C=—Cl,

2

椭圆的离心率e=£=走，

a2

16.设函数+f+石加山口一口(«>0),若VxeR,\f(x)(0)|,则，一2匕的最

小值为

【答案】272

【解析】函数/(x)=asin(x+看)+\[3bsinfx~~

=asin\x+—\-y/3bcos\x+—

I6)I6

=\la2+3b2sinix+^-(p\,其中=*——-,«>0,

因为VxGR,\f(x)|W，(0)I，

所以/(O)为函数f(x)的最值，

7t7t

则有o+q—e=,+z乃，kwz,

JI

故°二-----kmkEZi

所以%〃9=1—?一左；rj=〃z〃-yj=-V3,

故叵=一6.，

a

所以b=-a,〃>0,

故上一2b=^+2a22JL2a=2四,

aava

当且仅当』=2a,即“=也时取等号,

a2

所以‘一2》的最小值为2血.

a

故答案为：2五.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.

17.已知数列仅“｝满足4=1,a,川=区_

4,+2

(1)求证数列为等差数列;

(2)设。“=%4+]，求数列也〃｝的前〃项和多.

【答案】(1)证明见解析；(2)T=2一——.

"n+2

【解析】(1)数列｛4｝满足4=1，a„+1=2--整理得a„an+l=2a„-2an+l,

a“+2

故一L--!-=_L(常数)，

4用a„2

所以数列是以1为首项，,为公差的等差数列.

(2)由于数列是以1为首项，g为公差的等差数列.

所以'=]+1_1)=”+1,故a“=2

an22n+1

r-r-Kl,2211

所以b=aa=-----=4(-----)>

nnll+t714-1〃+2n+\n+2

则：T=4(---+---+...+—------)=4(-———)=2.

"2334n+\n+22n+2n+2

18.某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关，随机抽取一个容量为〃的样本进行调

查.调查结果表明，主动预习的学生占样本容量的上，学习兴趣高的学生占样本容量的工，主动预习且

153

学习兴趣高的学生占样本容量的3.

5

(1)完成下面2*2列联表.若有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关，求样本容量〃的最小值;

学习兴趣高学习兴趣一般合计

313

主动预习—n一n

515

不太主动预习

2

合计—nn

3

(2)该校为了提高学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人,

组成数学学习小组，现从该小组中随机抽取3人进行摸底测试，记3人中“不太主动预习”的人数为X,

求X的分布列和数学期望E(X).

附：K'S；：')其中〃力+〃+C+”.

20.100.050.0250.0100.0050.001

P(K..k0)

k。2.0763.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)270；(2)分布列见解析；£(%)=-.

【解析】(1)2x2列联表如下：

学习兴趣高学习兴趣一般合

计

主动预习3413

—n一n一力

51515

不太主动预习112

一n一n一n

151515

21n

合计—n-n

33

因为有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关，

所以”..5.024,解得”..251.248,

52

结合题意，正整数〃是15的倍数，

所以〃的最小值为270：

(2)由(1)可知，”学习兴趣一般”的学生中，

“主动预习”与“不太主动预习”的学生人数之比为4:1,

因此用分层抽样的方法，从''学习兴趣一般”的学生中抽取10人中，“不太主动预习”的人数为2,

所以X~4(3,2,10),

所以P(X=0)=4=Z,

15

HX_n-C©_7

/(A—1；-;——

cn15

P(X=2)窄$

jo

所以X的分布列为:

X0i2

p771

T?1515

则"x)=MW

19.如图，在三棱柱48C-ASG中，BCi，平面AAGC,。是M的中点，AACD是边长为1的等边三

角形.

(1)证明：CDLB.D；

(2)若BC=G，求二面角3-CQ-用的大小.

【答案】⑴证明见解析：(2)30°.

【解析】(1)证明：•.•AACD是边长为1的等边三角形,

/.ZADC=6O°,ZDA,C}=120°,

•.•。是A4,的中点，

AD=AfD=AlCl,即△ACQ是等腰三角形，

NADCt=30°,从而ZCDC,=90°.即CD1C.D.

•••AG，平面MGC,且C£>u平面A4CC，

:.B©1CD,

又用。|「］。|。=。|,8c|U平面SC。，CQu平面EC。,

.•.8_1_平面86。，

•.•BQu平面BCD,

.-.CD±BlD.

（2）解：连接CA,

vCD=^AA,,AC

以C为原点，C4、C4,、8所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则C（0,0,0）,8（0,0,圆G（-l,石,0）,£>（］昼,0）,4（7,有,回

.•.西=（-1,5-G）,CD=（-,--,O）,丽=（』,-乌-6）.

2222

--才=（）-x+&-V3z=0

设平面B£>G的法向量为所=（x,y,z）,则””及一，即八仙,

m.CfD=0l-x--^-y=0

令尤=百，则y=3,z=2,m=（A/3>3,2）,

由（1）知，平面片G。的一个法向量为M=28=（1,0,0）,

m*n73+373V3

/.cos<m,n>=

I|»l«I73+9+4x22'

由图可知，:面角B-JD-B］为锐角,

故二面角8-C]£>-耳的大小为30。.

20.如图，己知椭圆C：W+与=l（a>b>0）经过点（1,也），离心率为正，直线/经过椭圆C的右焦点F,

a~b~22

交椭圆于A,B两点.

（I）求椭圆C的方程.

（II）若直线/交y轴于点且Mi-府，MB=pBF,当直线/的倾斜角变化时，2+〃是否为定

值？若是，请求出2+〃的值；否则，请说明理由.

【答案】（1）y+/=l;（2）-4.

【解析】（I）设椭圆的半焦距为c,

则有『当‘解得"邑="=】,

a2=b2+c2

所以椭圆。的方程为上+y2=i；

2

（II）由（1）知，F（l,0）,由条件得直线/的斜率必存在,

设方程为y=女（工一1）,又M（0,-A）,设A（x，y）,B（x2,%），

__।^2—1

则由2，解得(1+2,2)/一4入+212一2=0,

y=k(x-l)

4k22k2-2

所以％+&=

l+2k2，X'X2=1+2/

因为碗=2/,

则有（石,乂+k）=>（1一石，一乂），

所以7=」—，

If

同理可得〃=上「，

1—%2

4r_4(♦-1)

所以a+〃=工+上=2g=1+2a-1+2省〜*

1-%)1-%1—(玉+X2)+玉%。।4K+2%~-2

2-1+2/+1+2/

即/1+〃是定值T.

21.已知e是自然对数的底数，函数f(x)=2ei-"2,其中aeR.

(1)当a=l时，若g(x)=/，(x),求g(x)的单调区间；

(2)若/")在R上恰有三个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)g(x)在(ro,l)上单调递减，在(1,y0)上单调递增；(2)(-,+oo).

2

【解析】(1)当”=1时，f'M=2ex-'-2x

令g(x)=/'(x),则g'(x)=2e'T-2,

.,.当x<l时，g'(x)<0,g(x)在(-co』)上单调递减；

当x>1时g'(x)>0,g(x)在(1,位)上单调递增.

:.f'(x)=g(x)..g(1)=0..•./(%)在R上单调递增.

2

(2)•.•/(0)=_#0,.•./。)的零点彳/0，

令/(幻=2。1_奴2=0,可得4=二，

X

、r2ex~l

设h(x)=——(xw0)，

x

〃/、2ex-]-x2-2ex-}-2x2ex-j(x-2)

...h(x)=-----------7----------=-------z-----，

XX

令”(x)=0,得x=2,且〃(2)=J

2

.,.当XG(YO,0)时，〃'(x)>0,〃(x)单调递增且〃(x)w(O,-KO)；

当xe(0,2)时，h'(x)<0,〃(x)单调递减且/z(x)e(£,+oo)；

2

当xe(2,4w)时,//(x)>0，h(x)单调递增且h(x)e(-,-K»),

2

作图〃(x)的大致图象，如图所示，

由图象可知，时，y=aHy=〃(x)的图象有三个交点，即/(x)有三个不同的零点,

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选

修4-4：坐标系与参数方程|（10分）

22.在平面直角坐标系X。），中，曲线a的参数方程为厂=c°s”（a为参数），M是q上的动点，动点P

[y=1+sina

满足OP=3OM.

（1）求动点P的轨迹G的参数方程；

（2）在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线9与G异于极点的交点为A，与内异

于极点的交点为B,求

【答案】⑴I"：。：。（a为参数）；⑵2.

[y=3+3sma

【解析】（I）设P（x,y）,M（x0,%）,由。户=3而，得①，

（7=3%

又M