2025届甘肃省陇南市外纳初级中学九年级数学第一学期期末考试试题含解析

2025届甘肃省陇南市外纳初级中学九年级数学第一学期期末考试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列说法正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．经过三点一定可以作圆C．平分弦的直径垂直于弦 D．每个三角形都有一个外接圆2．下列命题中，①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④半径不是弧，半圆包括它所对的直径，其中正确的个数是（）A． B． C． D．3．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是A．5 B．6 C．7 D．84．一个小正方体沿着斜面前进了10米，横截面如图所示，已知，此时小正方体上的点距离地面的高度升高了()A．5米 B．米 C．米 D．米5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A的锐角三角函数值()A．扩大2倍 B．缩小 C．不变 D．无法确定6．如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（）.A．3.4m B．4.7m C．5.1m D．6.8m7．张家口某小区要种植一个面积为3500m2的矩形草坪，设草坪的长为ym，宽为xm，则y关于x的函数解析式为()A．y＝3500x B．x＝3500y C．y＝ D．y＝8．在开展“爱心捐助”的活动中，某团支部8名团员捐款的数额（单位：元）分别为3，5，6，5，6，5，5，10，这组数据的中位数是（）A．3元 B．5元 C．5.5元 D．6元9．平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位10．如图，为的直径，弦于点，，，则的半径为（）A．5 B．8 C．3 D．10二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB＝4，BM＝2，则的面积为_____________．12．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为______．13．如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A＝60˚，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去，…，则四边形A2019B2019C2019D2019的面积是_____．14．某商场在“元旦”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个.顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖.那么顾客摸奖一次，得奖的概率是_______．15．小明身高是1.6m，影长为2m，同时刻教学楼的影长为24m，则楼的高是_____．16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）与正比例函数y=kx、（k＞1）的图象分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是________.17．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是_____．18．正的边长为，边长为的正的顶点与点重合，点分别在，上，将沿边顺时针连续翻转（如图所示），直至点第一次回到原来的位置，则点运动路径的长为（结果保留）三、解答题(共66分)19．（10分）已知，在平行四边形OABC中，OA＝5，AB＝4，∠OCA＝90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）求直线AC的解析式；（2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似．20．（6分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．（1）求AB的长（结果保留根号）；（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时1.5秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.7，≈1.4）21．（6分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.（1）画出关于原点对称的；（2）将绕顺时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出此过程中线段扫过图形的面积.（结果保留）22．（8分）解方程：x2-7x-18=0.23．（8分）如图，的三个顶点在平面直角坐标系中正方形的格点上．（1）求的值；（2）点在反比例函数的图象上，求的值，画出反比例函数在第一象限内的图象．24．（8分）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为1．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．25．（10分）如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长.26．（10分）如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据圆的切线的定义、圆的定义、垂径定理、三角形外接圆的定义逐项判断即可．【详解】A、垂直于半径且与圆只有一个交点的直线是圆的切线，此项说法错误B、不在同一直线上的三点一定可以作圆，此项说法错误C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，此项说法错误D、每个三角形都有一个外接圆，此项说法正确故选：D．【点睛】本题考查了圆的切线的定义、圆的定义、垂径定理、三角形外接圆的定义，熟记圆的相关概念和定理是解题关键．2、C【分析】根据弦、弧、等弧的定义即可求解．【详解】解：①直径是圆中最长的弦，真命题；

②在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，假命题；

③半径相等的两个圆是等圆，真命题；④半径是圆心与圆上一点之间的线段，不是弧，半圆包括它所对的直径，真命题．

故选：C．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．3、B【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=AB=在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+()2，解得，OA=4∴OD=OC-CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故选B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键4、B【分析】根据题意，用未知数设出斜面的铅直高度和水平宽度，再运用勾股定理列方程求解．【详解】解：Rt△ABC中，AB=2BC，

设BC=x，则AC=2x，

根据勾股定理可得，

x2+（2x）2=102，

解得x=或x=（负值舍去），即小正方体上的点N距离地面AB的高度升高了米，

故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理的知识，此题比较简单．5、C【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴，，，∴在Rt△ABC中，各边都扩大2倍得：，，，故在Rt△ABC中，各边都扩大2倍，则锐角A的锐角三角函数值不变.故选C.【点睛】本题考查了锐角三角函数，根据锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值可知，三角形的各边都扩大（缩小）多少倍，锐角A的三角函数值是不会变的.6、C【分析】由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，可得两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：由题意可得：∠BCA=∠EDA=90°，∠BAC=∠EAD，

故△ABC∽△AED，由相似三角形的性质，设树高x米，

则，

∴x=5.1m．

故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，得出两个相似三角形．7、C【解析】根据矩形草坪的面积=长乘宽，得，得.故选C.8、B【分析】将这组数据从小到大的顺序排列，最中间两个位置的数的平均数为中位数．【详解】将这组数据从小到大的顺序排列3，5，5，5，5，6，6，10，最中间两个位置的数是5和5，所以中位数为（5+5）÷2=5（元），故选：B．【点睛】本题考查中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键．9、B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：，顶点坐标是（-1，-4）．

，顶点坐标是（1，-4）．

所以将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，

故选：B．【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律和变化特点.10、A【分析】作辅助线，连接OA，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r，再利用勾股定理求解即可.【详解】解：如图，连接OA，设圆的半径为r，则OE=r-2，∵弦,∴AE=BE=4，由勾股定理得出：，解得：r=5，故答案为：A.【点睛】本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答.二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得CF的长，又根据线段的和差可得DF的长，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得出DE的长，最后根据直角三角形的面积公式即可得．【详解】四边形ABCD是正方形，，即在和中，，即解得又，即，即解得则的面积为故答案为：1．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定定理与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题关键．12、1【解析】试题分析：根据一元二次方程的根的判别式，直接可求△===4-8a+8≥0，解得a≤，因此a的最大整数解为1.故答案为1.点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式△=b2-4ac，解题关键是确定a、b、c的值，再求出判别式的结果.可根据下面的理由：（1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△<0时，方程没有实数根．13、【分析】连接AC、BD，根据菱形的面积公式，得S菱形ABCD=，进而得矩形A1B1C1D1的面积，菱形A2B2C2D2的面积，以此类推，即可得到答案．【详解】连接AC、BD，则AC⊥BD，∵菱形ABCD中，边长为1，∠A＝60°，∴S菱形ABCD＝AC∙BD＝1×1×sin60°＝，∵顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1，∴四边形A1B1C1D1是矩形，∴矩形A1B1C1D1的面积＝AC∙BD＝AC∙BD＝S菱形ABCD＝＝，菱形A2B2C2D2的面积＝×矩形A1B1C1D1的面积＝S菱形ABCD＝＝，……，∴四边形A2019B2019C2019D2019的面积＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查菱形得性质和矩形的性质，掌握菱形的面积公式，是解题的关键．14、【分析】根据题意列举出所有情况，并得出两球颜色相同的情况，运用概率公式进行求解．【详解】解：一次摸出两个球的所有情况有（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2），（白1，白2）6种，其中两球颜色相同的有2种．所以得奖的概率是.故答案为：.【点睛】本题考查概率的概念和求法，熟练掌握概率的概念即概率=所求情况数与总情况数之比和求法是解题的关键．15、19.2m【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出教学楼高度即可列方程解答．【详解】设教学楼高度为xm，列方程得：解得x＝19.2，故教学楼的高度为19.2m．故答案为：19.2m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相等的比例关系，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．16、2【解析】作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB（如图），设A（x1，y1），B（x2，y2），根据反比例函数k的几何意义得x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与y=kx，y=联立，解得x1=，x2=，从而得x1x2=2，所以y1=x2，y2=x1，根据SAS得△ACO≌△BDO，由全等三角形性质得AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定义和已知条件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根据AAS得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根据三角形面积公式得S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+x2y2=×2+×2=2.【详解】如图：作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A、B在反比例函数上，∴x1y1=x2y2=2，∵，解得：x1=，又∵，解得：x2=，∴x1x2=×=2，∴y1=x2，y2=x1，即OC=OD，AC=BD，∵BD⊥x轴，AC⊥y轴，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴△ACO≌△BDO（SAS），∴AO=BO，∠AOC=∠BOD，又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB，∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+x2y2=×2+×2=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键.17、﹣1.5或2【解析】将二次函数配方成顶点式，分m＜-1、m＞2和-1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．【详解】y=x2-2mx=（x-m）2-m2，

①若m＜-1，当x=-1时，y=1+2m=-2，

解得：m=-32=-1.5；

②若m＞2，当x=2时，y=4-4m=-2，

解得：m=32＜2（舍）；

③若-1≤m≤2，当x=m时，y=-m2=-2，

解得：m=2或m=-2＜-1（舍），

∴m的值为-1.5或2，

故答案为：﹣1.5或【点睛】本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．18、【解析】从图中可以看出翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，第一次第二次同样没有路程，AC边上也是如此，点P运动路径的长为三、解答题(共66分)19、（1）；（2）当t＝或时，△OAC与△APQ相似．【分析】（1）要求直线AC的解析式，需要求出点A、点C的坐标，可以利用等积法求得C点的纵坐标，利用勾股定理求得横坐标，利用待定系数法求得直线的解析式；（2）对于相似要分情况进行讨论，根据对应线段成比例可求得t的数值．【详解】解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，在Rt△OCA中，AC＝＝3，∴5×CE＝3×4，∴CE＝，在Rt△OCE中，OE＝＝，∴C（，），A（5，0），设AC的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴；（2）当0≤t≤2.5时，P在OA上，因为∠OAQ≠90°，故此时△OAC与△PAQ不可能相似．当t＞2.5时，①若∠APQ＝90°，则△APQ∽△OCA，故＝＝，∴＝，∴t＝，∵t＞2.5，∴t＝符合条件．②若∠AQP＝90°，则△APQ∽△OAC，故＝＝，∴＝，∴t＝，∵t＞2.5，∴t＝符合条件．综上可知，当t＝或时，△OAC与△APQ相似．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，关于动点的问题要注意对问题进行分类讨论．20、(1);(2)此校车在AB路段超速，理由见解析.【分析】（1）结合三角函数的计算公式，列出等式，分别计算AD和BD的长度，计算结果，即可．（2）在第一问的基础上，结合时间关系，计算速度，判断，即可．【详解】解：（1）由题意得，在Rt△ADC中，tan30°＝＝，解得AD＝24．在Rt△BDC中，tan60°＝＝，解得BD＝8所以AB＝AD﹣BD＝24﹣8＝16（米）．（2）汽车从A到B用时1.5秒，所以速度为16÷1.5≈18.1（米/秒），因为18.1（米/秒）＝65.2千米/时＞45千米/时，所以此校车在AB路段超速．【点睛】考查三角函数计算公式，考查速度计算方法，关键利用正切值计算方法，计算结果，难度中等．21、（1）如图所示，见解析；（2）【分析】（1）利用画中心对称图形的作图方法直接画出关于原点对称的即可；（2）利用画旋转图形的作图方法直接画出，并利用扇形公式求出线段扫过图形的面积.【详解】解：（1）如图所示（2）作图见图；由题意可知线段扫过图形的面积为扇形利用扇形公式：.【点睛】本题考查中心对称图形以及旋转图形的作图，熟练掌握相关作图技巧以及利用扇形公式是解题关键.22、【分析】利用因式分解法求解即可.【详解】因式分解，得于是得或故原方程的解为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，其主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法（十字相乘法）等，熟记各解法是解题关键.23、（1）；（2），图见解析【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D,然后在Rt△ABD中可以求出；（2）将点B代入，可得出k的值，从而得出反比例函数解析式，进而用描点法画出函数图象即可.【详解】解：（1）过点B作BD⊥AC于点D,由图可得，BD=2，AD=4，∴.（2）将点B(1,3)代入,得k=3,∴反比例函数解析式为.函数在第一象限内取点，描点得，x(x＞0)1236y6322连线得函数图象如图：【点睛】本题主要考查正切值的求法，反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象的画法，掌握基本概念和作图步骤是解题的关键.24、(1)；；(2)的面积最大值是，此时点坐标为；(2)的最小值是2.【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点代入可求得的值，由的面积为1可求出点的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)作轴交于，如图，利用三角形面积公式，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题