(人教A版2019选择性必修第一册)重难点题型精讲专题3.16圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练(30道)(原卷版+解析)

专题3.16圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练（30道）【人教A版2019选择性必修第一册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．(2023·全国·高三专题练习）点A,B是椭圆E:x24+y23=1的左右顶点若直线l:y=k(x−1)与椭圆E交于2．(2023·河北省高二阶段练习）在平面直角坐标系中xOy，椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线AP的斜率为k1，直线QB的斜率为k2，已知k1=7k3．(2023·江西·模拟预测（理））已知抛物线C:x2=2py(p>0)，动直线l经过点（2，5）交C于A，B两点，O为坐标原点，当l垂直于y轴时，△OAB(1)求C的方程；(2)C上是否存在定点P，使得P在以AB为直径的圆上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．(2023·全国·高三专题练习）已知A , B是双曲线x2a2−y5．(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为(1)求双曲线C的标准方程；(2)设Q为双曲线右支上的一个动点，证明：在x轴的负半轴上存在定点M，使得∠QFM=2∠QMF．6．(2023·全国·高三阶段练习（理））如图，已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.当直线(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：点P在定直线上.7．(2023·黑龙江·高三开学考试）已知双曲线C:x2a2−(1)求C的方程；(2)设A，B是直线x=−9上关于x轴对称的两点，直线y=kx+9与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN8．(2023·甘肃·高二期末（文））已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点Px0(1)求C的方程；(2)点M、N在C上，且PM⊥PN，PD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．9．(2023·湖北·高三开学考试）已知双曲线C与双曲线x212−(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知D(2,0),E,F是双曲线C上不同于D的两点，且DE⋅DF=0,DG⊥EF于G，证明：存在定点H10．(2023·福建泉州·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点A(1)求C的方程：(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．11．(2023·辽宁鞍山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A−1,32关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP(1)求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；(2)设直线AP与BP分别与直线x=3交于M，N，问是否存在点P使得△PAB与△PMN面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.12．(2023·上海市高二期末）已知F1、F2分别为椭圆E：x24+y2(1)当直线l垂直于x轴时，求弦长AB；(2)当OA⋅OB=−2(3)记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线x=6于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．13．(2023·重庆高三阶段练习）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过A(−2,0),B1,(1)求椭圆C的方程；(2)F为椭圆C的右焦点，直线l交椭圆C于P,Q（不与点A重合）两点，记直线AP,AQ,l的斜率分别为k1,k2,k14．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1(1)求椭圆E的方程；(2)如图，下顶点为A，过点B0,2作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C,D两点，直线AD,AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点.求证：△ABG与△AOH15．(2023·江苏南通·模拟预测）已知A',A分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左(1)求C的方程；(2)过点F作直线l（与x轴不重合）交C于M,N两点，设直线AM,AN的斜率分别为k1,k16．(2023·山西高三阶段练习）如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1（(a>b>0)，|A1B1|=7，F1是椭圆C的左焦点，A1是椭圆C的左顶点，B(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在定点Q(x0,0)，使得QA17．(2023·河南·高二阶段练习（文））已知B−1,0,C1,0为△ABC的两个顶点，P为△ABC(1)求点P的轨迹C的方程.(2)已知点N−3,0,E−2,0,F2,0，直线PN与曲线C的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点M18．(2023·湖南·高三阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2(1)求双曲线C的方程.(2)设过点B1,0的直线l与双曲线C交于D,E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得PD⋅PE19．(2023·全国·高三专题练习）设A,B为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线(1)求双曲线C的离心率；(2)已知AB=4，若直线AM,AN分别交直线x=a2于P,Q两点，当直线l的倾斜角变化时，以20．(2023·安徽·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−(1)求双曲线C的方程．(2)设直线l是圆O:x2+y2=4上的动点Px0,y021．(2023·福建·高三阶段练习）已知两点M0,−4，N0,4，动点P在x轴的投影为Q，且PM⋅PN=3(1)求C的方程.(2)过点F26,0的直线与曲线C在y轴右侧相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点H22．（2023·全国·高三专题练习）已知E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F2，点F2到E的一条渐近线的距离为(1)求E的方程.(2)若M32,0，N是直线x=1上一点，当B,M,N23．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）实轴端点分别为A1−a,0，A2a,0，右焦点为F(1)求双曲线的方程；(2)若过F的直线l'与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A24．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：y=ax2a>0的焦点是F，若过焦点F的直线与C相交于A，B(1)求实数a的值；(2)设P，Q是抛物线C上不同于坐标原点O的两个不同的动点，且以线段PQ为直径的圆经过点O，作OM⊥PQ，M为垂足，试探究是否存在定点N，使得MN为定值，若存在，则求出该定点N的坐标及定值MN，若不存在，请说明理由．25．(2023·全国·高三专题练习）已知圆M过点1,0，且与直线x=−1相切.(1)求圆心M的轨迹C的方程；(2)过点P2,0作直线l交轨迹C于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A'，过点P作PQ⊥A'B，垂足为Q，在平面内是否存在定点E26．(2023·江西·高二期末（文））已知动圆M过定点(1，0)，且与直线(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程；(2)直线l过点(1，0)与曲线E相交于A、B两点，问：在x轴上是否存在定点D(t，0)(t≠0)，使27．（2023·全国·高三专题练习）已知点F0,2，过点P0,−2且与y轴垂直的直线为l1，l2⊥x轴，交l1于点N，直线l垂直平分(1)求点M的轨迹方程；(2)记点M的轨迹为曲线E，直线AB与曲线E交于不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)，且x2−1=x28．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线y2=4x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为S1，S2，求(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．29．(2023·宁夏·三模（理））在平面直角坐标系xOy中，动点G到点F4,0的距离比到直线x+6=0(1)求G的轨迹的方程；(2)设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为k1，k2的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中k1+k2=2．设线段MN和PQ的中点分别为A，B，过点F作FD⊥AB，垂足为D30．(2023·河北保定·二模）已知抛物线Ω:(1)直线l:y=kx−1与Ω交于A、B两点，O从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分.①证明：OA⋅②若∠AOB=2π3，求(2)已知点P1,2，直线m与Ω交于C、D两点（均异于点P），且kPC+kPD=1.过P作直线m的垂线，垂足为专题3.16圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练（30道）【人教A版2019选择性必修第一册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．(2023·全国·高三专题练习）点A,B是椭圆E:x24+y23=1的左右顶点若直线l:y=k(x−1)与椭圆E交于【解题思路】联立直线与椭圆方程，联立直线AN的方程与直线BM的方程，结合韦达定理，化简可求得直线AM与直线BN交点在定直线x＝4上．【解答过程】由题意得，A−2,0，B2,0，设联立x24+所以x1+x直线AM的方程为y=y1x1+2联立y=y1x1原式==2故直线AM与直线BN交点在定直线x＝4上．2．(2023·河北省高二阶段练习）在平面直角坐标系中xOy，椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线AP的斜率为k1，直线QB的斜率为k2，已知k1=7k【解题思路】（1）由题意列方程组求解；（2）设PQ直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线PQ的斜率是否为0.【解答过程】（1）由题意可得{ca=所以椭圆C的方程为x2（2）依题意，点A(−2,0),B(2,0)，设P(x因为若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有kAP所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为x=ty+n(n≠±2)，与椭圆C联立{x24所以Δ=4t因为点P(x1,则kAP所以kAP=−因为28=28(所以n=−32，此时故直线PQ：x=ty+32恒过x轴上一定点3．(2023·江西·模拟预测（理））已知抛物线C:x2=2py(p>0)，动直线l经过点（2，5）交C于A，B两点，O为坐标原点，当l垂直于y轴时，△OAB(1)求C的方程；(2)C上是否存在定点P，使得P在以AB为直径的圆上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据当l垂直于y轴时，△OAB的面积为105，由y=5与抛物线方程联立求解；（2）设l的方程为y=kx−2+5，与抛物线方程联立，根据P在以AB为直径的圆上，由【解答过程】(1)解：因为当l垂直于y轴时，△OAB的面积为105，联立y=5x2=2py所以△OAB的面积为12解得p=2，所以C的方程为x2(2)由题知l的斜率存在，设l的方程为y=kx−2+5，A(x假设存在点P（x0，x02联立y=kx−2+5x则Δ=16x1又PA=所以PA⃑=x又x1≠x0且所以x1则x02+4k所以当x0=−2时，无论将x0=−2代入x2所以存在定点P（－2，1）符合题意．4．(2023·全国·高三专题练习）已知A , B是双曲线x2a2−y【解题思路】设Px1,y1【解答过程】设Px1,y1，Ax2点A和点P在双曲线上，则有x1两式作差得1a可得y1−y5．(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为(1)求双曲线C的标准方程；(2)设Q为双曲线右支上的一个动点，证明：在x轴的负半轴上存在定点M，使得∠QFM=2∠QMF．【解题思路】（1）由双曲线的对称性可取渐近线y=bax，则可求出交点P（2）设Qx0,y0x0≥1，讨论当∠QFM=90°时求出点M；当∠QFM≠90°，设出点【解答过程】（1）根据双曲线的对称性，不妨设直线x=a2c与渐近线y=由x=a2c因为PF=所以c−a2c又离心率为2，所以c2a2所以双曲线C的标准方程为x2（2）由（1）知双曲线C的右焦点为F2,0设Qx0,①当x0=2时，因为∠QFM=2∠QMF=90°，所以∠QMF=45°，所以MF=所以M−1,0②当x0≠2时，设tan∠QFM=−kQF因为∠QFM=2∠QMF，所以−y（i）当y0≠0时，上式化简为又x02−y0所以−(4+4t)=03+4t+t2=0，解得（ii）当y0=0，t=−1时，即M−1,0综上，在x轴的负半轴上存在定点M−1,0，使得∠QFM=2∠QMF6．(2023·全国·高三阶段练习（理））如图，已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.当直线(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：点P在定直线上.【解题思路】（1）根据抛物线的定义及韦达定理可求解；（2）根据垂心建立斜率之间的关系，从而得到直线PA,PB，两直线联立得到点P的坐标，结合韦达定理，从而可得点P在定直线上.【解答过程】(1)设直线l的方程为x=my+p2，Ax由x=my+p2,所以y1+yAB=当直线l的倾斜角为30°时，m=1AB=2p所以2p=4，即抛物线C的标准方程为y2(2)由（1），得y1+y因为△PAB的垂心为原点O，所以OA⊥PB，OB⊥PA.因为kBO=y所以直线AP的方程为y−y1=−同理可得，直线BP的方程为y=−y联立方程y=−y2即P−3,3m.所以点P在定直线x=−37．(2023·黑龙江·高三开学考试）已知双曲线C:x2a2−(1)求C的方程；(2)设A，B是直线x=−9上关于x轴对称的两点，直线y=kx+9与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN【解题思路】（1）根据渐近线方程得到ba=13，结合点到直线距离公式求出c=42，利用（2）联立直线与双曲线方程，写出两根之和，两根之积，表达出直线AM与BN的方程，联立后求得交点横坐标满足x=−1【解答过程】（1）双曲线C:x2a2−又焦点c,0到直线y=13x的距离d=13又c2=a2+所以双曲线C的标准方程为x2（2）证明：联立方程组x23−y2设Mx1,y1，N设A−9,t，B−9,−t（t≠0），则得直线AM的方程为直线BN的方程为y+t=y两个方程相减得2t=y2因为y2把上式代入①得：2=x所以x=2因此直线AM与BN的交点在直线x=−18．(2023·甘肃·高二期末（文））已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点Px0(1)求C的方程；(2)点M、N在C上，且PM⊥PN，PD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．【解题思路】（1）利用抛物线的定义，转化求解抛物线方程即可．（2）①直线MN斜率不存在时，满足题意，②直线MN斜率不存在时，设直线MN:y=kx+m，联立直线与抛物线方程，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出【解答过程】(1)解：由抛物线定义，得|PF|=x0+p所以抛物线C的方程为y2(2)证明：①直线MN斜率不存在时，可设M(xM,∵P(1,2)，∴PM=(xM又∵xM=x∴PN⋅PM=0，解得∵PD⊥MN，D为垂足，∴D(5,2)，故存在定点Q，使得|DQ|为定值，②直线MN斜率存在时，设直线MN:y=kx+m，y2=4xy=kx+m设M(x1，y1)，N(x2，因为PM⊥PN，所以PM⋅得(k所以(k得5k2+(6m−8)k+当m=−k+2时，过定点P(1,2)，不符合题意；当m=−5k−2时，直线MN过点H(5,−2)，所以点D在以PH为直径的圆上，故当Q为PH的中点Q(3,0)时，|DQ|=229．(2023·湖北·高三开学考试）已知双曲线C与双曲线x212−(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知D(2,0),E,F是双曲线C上不同于D的两点，且DE⋅DF=0,DG⊥EF于G，证明：存在定点H【解题思路】（1）根据双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C的标准方程为x2−4y（2）（i）当直线EF斜率存在时，设EF:y=kx+m，与双曲线x24−y2=1联立，根据且DE⋅【解答过程】（1）解：因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C的标准方程为x代入点A坐标，解得λ=4所以双曲线C的标准方程为x（2）（i）当直线EF斜率存在时，设EF:y=kx+m，设Ex1,y1化简得4kΔ=(8km)2则有x1又y1因为DE⋅所以k2所以k2化简，得3m2+16km+20所以m1且均满足4k当m1=−2k时，直线l的方程为y=kx−2当m2=−103k时，直线（ii）当直线EF斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：y=x−2，与双曲线C方程联立解得xE=xF=综上，直线EF过定点M10由于DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，GH为该圆半径，所以存在定点H83,0，使GH10．(2023·福建泉州·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点A(1)求C的方程：(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．【解题思路】（1）设点Fc,0，其中c=a2−b2>0，则Mc,32，由已知条件求出（2）分析可知，直线PQ过x轴上的定点Tt,0，设点Px0,y0x0≠±2,y0【解答过程】（1）解：设点Fc,0，其中c=a2因为椭圆C过点A−2,0，则a=2将点M的坐标代入椭圆C的方程，可得c2a2+9因此，椭圆C的标准方程为x2（2）证明：由对称性可知，若直线PQ过定点T，则点T必在x轴上，设点Tt,0设点Px0,所以，直线PA的垂线的斜率为k=−x故直线FQ的方程为y=−x在直线FQ的方程中，令x=−2，可得y=3x0所以，直线PQ的方程为y−y因为点T在直线PQ上，所以，−y即y02又因为x024+将②代入①可得3−3x0∵x0≠−2，则t=2，所以，直线PQ11．(2023·辽宁鞍山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A−1,32关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP(1)求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；(2)设直线AP与BP分别与直线x=3交于M，N，问是否存在点P使得△PAB与△PMN面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.【解题思路】（1）根据两点间斜率公式以及题中条件斜率之积即可列方程求解，（2）由面积相等可得长度的比例关系|PA||PM|【解答过程】（1）因为点B与点A−1,32关于原点O对称，所以点设点P的坐标为(x,y)，由题意得y−32故动点P的轨迹方程为x2（2）若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为x0则1因为sin∠APB=sin∠MPN，所以即3−x02=x02故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为5312．(2023·上海市高二期末）已知F1、F2分别为椭圆E：x24+y2(1)当直线l垂直于x轴时，求弦长AB；(2)当OA⋅OB=−2(3)记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线x=6于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．【解题思路】（1）将x=−1代入椭圆方程求解即可；（2）由（1）知当直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+1，联立直线与椭圆的方程，得出3+4k2x2（3）分析当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性知若以CD为直径的圆恒过定点则定点在x轴上，再以CD为直径的圆的方程，令y=0，代入韦达定理化简可得定点【解答过程】(1)由题知F1−1，0(2)由（1）知当直线l的斜率不存在时，A(−1，32)，B(−1，−∴直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+1联立x24+y23=1由OA∙OB∴直线l的方程为y=±2(3)①当直线l的斜率不存在时，A(−1，直线AT的方程为y=−12x+1，C直线BT的方程为y=12x−1，D点坐标为6，2，以CD为直径的圆方程为(x−6)2+y2=4，由椭圆的对称性知若以②当直线l的斜率存在时，同（2）联立，直线AT的方程为y=yC点坐标为(6，4y1x1−2)，同理D令y=0，得x2由16y得x2−12x+32=0，解得x=4，x=8，即圆过点综上可得，以CD为直径的圆恒过定点(4，0)，(8，0)．13．(2023·重庆高三阶段练习）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过A(−2,0),B1,(1)求椭圆C的方程；(2)F为椭圆C的右焦点，直线l交椭圆C于P,Q（不与点A重合）两点，记直线AP,AQ,l的斜率分别为k1,k2,k【解题思路】（1）结合A,B两点的坐标，利用待定系数法求得椭圆C的方程.（2）设直线l:y=kx+m，联立直线l的方程和椭圆C的方程，化简写出根与系数关系，利用k1+k2=−3k求得m,k【解答过程】（1）由已知设椭圆C方程为：mx代入A−2,0,B1,故椭圆C方程为x2（2）设直线l:y=kx+m,Px由y=kx+m,3x1+x又k1故k==3m−6k由k1+k故m−2km−k=0⇒m=2k或①当m=2k时，直线l:y=kx+2k=kx+2，过定点A②当m=k时，直线l:y=kx+k=kx+1，过定点−1,0，即直线l此时Δ=192所以△FPQ的周长为定值4a=8.14．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1(1)求椭圆E的方程；(2)如图，下顶点为A，过点B0,2作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C,D两点，直线AD,AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点.求证：△ABG与△AOH【解题思路】（1）写出直线方程，取x=1求得y值，得到直线与椭圆的交点，再由已知列关于a，b的方程组，求解a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC:y=kx+2，由椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得D，C横纵坐标的和与积，分别写出AD，AC的方程，求得H与G的坐标，再写出两三角形面积的乘积，结合根与系数的关系可得△ABG与△AOH的面积之积为定值12【解答过程】（1）由题意，F1−1,0，F21,0，故过F1令x=1，得y=22，由题意可得a2−b∴求椭圆E的方程为x2（2）证明：由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC:y=kx+2，D(x1，y1)，联立y=kx+2x22∴x1+x由Δ=16k2∴yy1直线AD的方程为y=y1+1x1则H(x11+y1，0)∴S=315．(2023·江苏南通·模拟预测）已知A',A分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左(1)求C的方程；(2)过点F作直线l（与x轴不重合）交C于M,N两点，设直线AM,AN的斜率分别为k1,k【解题思路】（1）根据PF⊥A'A可设P−c,y0，根据AB∥OP，利用（2）由题意设l：x=ty−2，联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理，再表达出k【解答过程】（1）因为PF⊥A'A，故可设P−c,y0，因为AB∥OP，故又P−c,bca在椭圆C上，故c2a又FA'=2−2，故FA故C的方程为x2（2）因为椭圆方程为x24+y22=1，故F−2,0,A联立x24+y22=1故k=y1=1t2故定值为2−16．(2023·山西高三阶段练习）如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1（(a>b>0)，|A1B1|=7，F1是椭圆C的左焦点，A1是椭圆C的左顶点，B(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在定点Q(x0,0)，使得QA【解题思路】（1）由已知列出关于a,b,c的方程组解之可得椭圆方程；（2）假设存在Q(x0,0)满足题意，设A(x1,y1)，B(x2【解答过程】（1）由已知知a2+b所以椭圆方程为x2（2）假设存在Q(x设A(x1,y1①当直线l与x轴不垂直时，设l：y=k(x−n)，代入x24∴x1+QA=(=(=(7n（*）式是与k无关的常数，则3(7n解得x0=1②当直线l与x垂直时，l:x=n，An,3(1−nQA⋅所以存在定点Q(12n+17．(2023·河南·高二阶段练习（文））已知B−1,0,C1,0为△ABC的两个顶点，P为△ABC(1)求点P的轨迹C的方程.(2)已知点N−3,0,E−2,0,F2,0，直线PN与曲线C的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点M【解题思路】（1）由三角形重心的性质与椭圆的定义求解即可；（2）设直线PQ的方程为：x=my−3，Px1,y1【解答过程】(1)因为P为△ABC的重心，且边AC,AB上的两条中线长度之和为6，所以PB+故由椭圆的定义可知P的轨迹C是以B−1,0且a=2,c=1，所以b=3所以P的轨迹C的方程为x2(2)设直线PQ的方程为：x=my−3，Px联立方程x=my−3x24则y1所以2my又直线PE的方程为：y=y又直线QF的方程为：y=y联立方程y=y1my把2myx=2所以当点P运动时，点M恒在定直线x=−4318．(2023·湖南·高三阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2(1)求双曲线C的方程.(2)设过点B1,0的直线l与双曲线C交于D,E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得PD⋅PE【解题思路】（1）由离心率得出a2=2b（2）设Dx1,y1,Ex2,y2，直线l的方程为y=k(x−1)，代入双曲线方程，消去y得y的一元二次方程，由相交可得k的范围，由韦达定理得x【解答过程】（1）因为双曲线C的离心率为62所以622=1+将点A6,4的坐标代入x22解得b2所以C的方程为x2（2）设Dx1,y1,Ex2,y2，直线l由题可知1−2k2≠0且Δ>0，即所以x1设存在符合条件的定点Pt,0，则PD所以PD⋅所以PD⋅化简得PD⋅因为PD⋅PE为常数，所以−2t此时该常数的值为t2所以，在x轴上存在点P134,0，使得PD19．(2023·全国·高三专题练习）设A,B为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线(1)求双曲线C的离心率；(2)已知AB=4，若直线AM,AN分别交直线x=a2于P,Q两点，当直线l的倾斜角变化时，以【解题思路】（1）当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角形，故AF=FM，列出方程，得到（2）直线l的斜率存在时，设出直线y=kx−4，与双曲线联立后得到两根之和，两根之积，求出直线AM:y=y1x1+2x+2，得到P1,3【解答过程】（1）由已知得：Fc,0将x=c代入C:x2a当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角形，此时AF=即a+c=b2a因为b2=c方程两边同除以a2得：2+e−e2=0，解得：所以双曲线C的离心率为2（2）因为AB=4，所以2a=4，解得：a=2，故c=2a=4，b2=c当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx−4与双曲线联立得：3−k设Mx则x1+x因为直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M,N两点，所以x1+x直线AM:y=y1x同理可求得：Q1,则1=3kPQ=3k其中x1所以PQ=18k则以PQ为直径的圆的圆心坐标为1,3k，半径为所以以PQ为直径的圆的方程为：x−12整理得：x−12+y2−6yk当直线l的斜率不存在时，此时不妨设M4,6此时直线AM:y=x+2，点P坐标为1,3，同理可得：Q1,−3.以PQ为直径的圆的方程为x−12+y2=9综上：以PQ为直径的圆过定点4,0，−2,0.20．(2023·安徽·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−(1)求双曲线C的方程．(2)设直线l是圆O:x2+y2=4上的动点Px0,y0【解题思路】（1）根据双曲线的基本量关系求解即可；（2）解法1：先求得圆在点Px0,y0处的切线方程为x0x+y0解法2：同解法1，联立直线与双曲线的方程得3x02【解答过程】（1）由题意得：ca=3，故c又过点(2,2)可得4a2−4b2=1，即（2）解法1：因为点Px0,所以圆在点Px0,化简得x0则直线l的方程为xx0+yy0变形为42整理得y02+4得到y0设Ax1,故OA⊥OB，即以AB为直径的圆过坐标原点．解法2：因为点Px0,所以圆在点Px0,y由x22−y2∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0<x∴3x02设A、B两点的坐标分别为x1则x1则OA⋅===32−4x021．(2023·福建·高三阶段练习）已知两点M0,−4，N0,4，动点P在x轴的投影为Q，且PM⋅PN=3(1)求C的方程.(2)过点F26,0的直线与曲线C在y轴右侧相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点H【解题思路】（1）设Px,y，利用PM⋅PN（2）设出直线AB的方程并与曲线C的方程联立，化简写出根与系数关系，求得线段AB的垂直平分线的方程，进而求得H点的坐标，结合弦长公式求得ABFH【解答过程】（1）设Px,y，则Qx,0，PM=−x,−4−y，因为PM⋅PN=3故C的方程为x2（2）由题可知直线AB的斜率一定存在，且不为0，不妨设直线AB的方程为y=kx−26，Ax联立方程组y=k(x−26)x216则Δ=384k4x1+x则线段AB的垂直平分线的方程为y+2令y=0，得x=−66kFH=AB==1+k2⋅则ABFH故ABFH是定值，该定值为222．（2023·全国·高三专题练习）已知E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F2，点F2到E的一条渐近线的距离为(1)求E的方程.(2)若M32,0，N是直线x=1上一点，当B,M,N【解题思路】（1）利用点到直线的距离求出b，再根据通径求出a，即可得解；（2）设Ax1,y1,Bx2,y2【解答过程】（1）解：根据对称性，不妨设F2c,0到直线bx+ay=0的距离为则bca令x=c，则c2a2所以当AB⊥x轴时，|AB|=2b2故E的方程为x2（2）解：设Ax当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x=my+2，联立方程组x22−由Δ=8m2+1设N(1,t)，因为B,M,N三点共线，所以t−12因为y1所以kAN=y当直线AB的斜率为0时，A，B，M，N都在x轴上，则直线AN的斜率为定值.综上所述，直线AN的斜率为定值0.23．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）实轴端点分别为A1−a,0，A2a,0，右焦点为F(1)求双曲线的方程；(2)若过F的直线l'与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A【解题思路】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点B，进而根据三角形面积公式即可求出a,b,c的值；（2）分直线斜率和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.【解答过程】（1）设直线l的方程为y=x+a，联立y=x+ax2a又e=ca=2，c2=∴S△A1BF=12a+c⋅3a=92，解得（2）当直线l'点的斜率不存在时，M2,3，N2,−3，直线A1M的方程为y=x+1，直线A2N的方程为y=−3x+3当直线l'的斜率存在时，设直线l'的方程为y=kx−2，M联立y=kx−2x2−y23=1∴直线A1M的方程为y=y1x联立直线A1M与直线x+1x−1=y又Mx1,y1∴y=4∴x+1x−12=9，∴x=综上，Q在定直线上，且定直线方程为x=124．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：y=ax2a>0的焦点是F，若过焦点F的直线与C相交于A，B(1)求实数a的值；(2)设P，Q是抛物线C上不同于坐标原点O的两个不同的动点，且以线段PQ为直径的圆经过点O，作OM⊥PQ，M为垂足，试探究是否存在定点N，使得MN为定值，若存在，则求出该定点N的坐标及定值MN，若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据抛物线和过焦点的直线联立方程，根据焦点弦的计算，即可求解.（2）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段PQ为直径的圆经过点O，转化成OP⋅OQ=0，可得直线过定点，再由OM⊥PQ【解答过程】（1）抛物线C：y=ax2(a>0)化为标准方程为：x2=联立方程得：{y=k1x+1其中A(x1,y1)，因为焦点弦长|AB|=y1+y2所以，实数a的值为12（2）由题意可知直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+t(t≠0)．联立方程得：{y=kx+tx2=2y，整理得：其中P(x3,y3)，因为以PQ为直径的圆经过点O，所以OP⋅又因为OP⋅∵t≠0，∴t=2．所以直线PQ过定点T(0,2)，又因为OM⊥PQ，所以△OMT为直角三角形，所以当N为斜边OT中点时，|MN|为定值，此时|MN|=1所以定点N为(0,1)，|MN|为定值1．25．(2023·全国·高三专题练习）已知圆M过点1,0，且与直线x=−1相切.(1)求圆心M的轨迹C的方程；(2)过点P2,0作直线l交轨迹C于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A'，过点P作PQ⊥A'B，垂足为Q，在平面内是否存在定点E【解题思路】（1）设出点M的坐标，利用给定条件列式化简作答.（2）设出直线l的方程，与轨迹C的方程联立，探求出直线A'【解答过程】(1)设圆心M(x,y)，依题意，(x−1)2+y所以圆心M的轨迹C的方程是：y2(2)依题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：x=ty+2，A(x1,y1由抛物线对称性知，点A'在轨迹C上，直线A'B直线A'B的方程为：y−y由x=ty+2y2=4x消去x并整理得：y直线A'B的方程化为：y=4y2因PQ⊥A'B于点Q，于是得△PQP'是直角三角形，且点O(0,0)令点(0,0)为E，从而有|EQ|=2，所以存在定点E，使得|EQ|=2为定值，点E坐标为(0,0).26．(2023·江西·高二期末（文））已知动圆M过定点(1，0)，且与直线(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程；(2)直线l过点(1，0)与曲线E相交于A、B两点，问：在x轴上是否存在定点D(t，0)(t≠0)，使【解题思路】（1）利用两点间的距离公式和直线与圆相切的性质即可得出；（2）假设存在点D(x0，0)满足题设条件kAD【解答过程】(1)设动圆的圆心M(x,y)，依题意：(x−1)化简得：y2即为动圆的圆心M的轨迹E的方程．(2)假设存在点D(x0，0)满足条件，使k显然直线斜率不为0，所以由直线l过点(1，0)，可设由y2=4xx=my+1设A(x1，y1)，B(x2，由①式得kAD∴y即y1消去x1，x2，得即14∵y∴x0存在点D(−1,0)使得kAD27．（2023·全国·高三专题练习）已知点F0,2，过点P0,−2且与y轴垂直的直线为l1，l2⊥x轴，交l1于点N，直线l垂直平分(1)求点M的轨迹方程；(2)记点M的轨迹为曲线E，直线AB与曲线E交于不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)，且x2−1=x【解题思路】（1）由题意得FM=MN，结合抛物线的定义即可求得点（2）设出直线AB的方程，联立抛物线求得AB的中点Q坐标，再联立切线与抛物线求出切点坐标，得到CQ⊥x轴，结合x2−1=x1+【解答过程】(1)由题意得FM=MN，即动点M到点F0,2的距离和到直线y=−2的距离相等，所以点M直线y＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为x2(2)由题意知，直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，由y=kx+b,x2=8y消去y则x1+x2=8k,x1⋅x2=−8b由y=kx+t,x2=8y消去y整理得x2−8kx−8t=0，∵直线与抛物线相切，∴∴切点C的横坐标为4k，∴点C的坐标为4k,2k2，∴CQ⊥x轴，∵∴(x2−x∴S△ABC=12CQ⋅x28．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线y2=4x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，(1)若矩