中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题39中考最值难点突破阿氏圆问题(原卷版+解析)

专题39中考最值难点突破阿氏圆问题（原卷版）模块一典例剖析+针对训练类型一求和最小典例1(2023秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合PAPB=k（k＞0且k≠1）的点阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设OPOD=k，求PC+阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+23

针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+122．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（6，﹣1），M（4，4），以M为圆心，22为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为．3．(2023•碑林区校级三模）问题提出：（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：问题探究：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA＝3，求PC+12问题解决：（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+35MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+

类型二求差最大典例2（2023秋•天宁区校级月考）如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD−12PC的最大值为针对训练1．(2023•常熟市二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD−12PC的最大值为2．（2023•商河县校级模拟）（1）初步思考：如图1，在△PCB中，已知PB＝2，BC＝4，N为BC上一点且BN＝1，试证明：PN=1（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+12（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD−12

类型三综合应用典例3（2023•成华区校级模拟）如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当S1S2（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+23E'

针对训练1．（2023•九龙坡区校级模拟）在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D+22A′C最小时，求S△A′

2．(2023•高唐县二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，﹣4），B（0，4），直线AC的解析式为y=−12x﹣6，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；（2）点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上以动点，求12AM+CM

模块二2023中考押题预测1．（2023秋•西峡县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则12A．4 B．32 C．17 D．2．(2023秋•永嘉县期末）如图所示，∠ACB＝60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为．3．（2023秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则13PA+PB的最小值为4．(2023春•长顺县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+14PB的最小值为5．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为．6．（2023•武汉模拟）【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足PAPB=k（k为定值）的【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为．7．（2023•溧阳市一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为．8．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+12PC的最小值为9．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是AB上一动点，则PC+12PD的最小值为10．如图所示的平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限内一动点，OP＝2，连接AP、BP，则BP+12AP11．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则2PA+PB的最小值为．第11题第12题12．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，点E在OA上，且点E也在格点上．（I）OEOB的值为（Ⅱ）DE是以点O为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°）连接E'A，E'B，当E'A+23E'B的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E′，并简要说明点E'的位置是如何找到的（不要求证明）13．（2023秋•定海区期末）如图1，正方形OABC边长是2，以OA为半径作圆，P为弧AC上的一点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连结PO、PA，设PM＝m，PA＝n．（1）求证：∠POA＝2∠PAM；（2）探求m、n的数量关系，并求n﹣m最大值；（3）如图2：连结PB，设PB＝h，求2h+2m的最小值．14．(2023•从化区一模）已知，AB是⊙O的直径，AB=42，AC＝BC（1）求弦BC的长；（2）若点D是AB下方⊙O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值；（3）如图2，点P是动点，且AP＝2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q的运动时间t的最小值．

15．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝62，AD＝42，tan∠ABC＝2时，求CQ+1010专题39中考最值难点突破阿氏圆问题（解析版）模块一典例剖析+针对训练【模型简介】在圆上找一点P使得PA＋k·PB的值最小．类型一求和最小求PA＋k·PB的最小值，PA＋k·PB＝PA＋PC≥AC，当A，P，C三点共线时，最小值为AC典例1（2023秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合PAPB=k（k＞0且k≠1）的点阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设OPOD=k，求PC+阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+23思路引领：（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可．（2）利用（1）中结论计算即可．解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得CM=O（2）∵AC＝m＝4，CDBC=23，在CB上取一点M，使得CM∴AD+23BD总结提升：本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+12思路引领：连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，连接DP、AD，则有CDCP=CPCB=12，以此可证明△PCD∽△BCP，即可得到PDBP=12，AP+12BP=AP+解：连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，连接DP、AD，则有CDCP∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴PDBP∴PD=1∴AP+12BP=AP要使AP+12BP最小，只要AP+当点A、P、D在同一条直线上时，AP+PD最小，即AP+12BP的最小值为在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD=A∴AP+12BP的最小值为总结提升：本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据题意分析出点A、P、D在同一条直线上时，AP+12BP的最小值为2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（6，﹣1），M（4，4），以M为圆心，22为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为10．思路引领：连接OM，在OM上截取MN，使得MN=2，连接PN，AN．证明△PMN∽△OMP，推出PNOP=MNMP=12，推出PN=12OP，推出OP+2OA＝2（12OP+PA）＝2（PN解：连接OM，在OM上截取MN，使得MN=2，连接PN，AN∵M（4，4），∴OM=42+∵PM＝22，MN=2∴PM2＝MN•MO，∴PMMN∵∠PMN＝∠OMP，∴△PMN∽△OMP，∴PNOP∴PN=12∵N（3，3），A（6，﹣1），∴AN=3∴OP+2OA＝2（12OP+PA）＝2（PN+PA∵PN+PA≥AN，∴PN+PA≥5，∴OP+2OA≥10，∴OP+2OA的最小值为10，故答案为：10．总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．3．(2023•碑林区校级三模）问题提出：（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：问题探究：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA＝3，求PC+12问题解决：（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+35MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+思路引领：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求，再根据SAS证明△BAD≌△CAE即可解决问题；（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE=32．首先证明△PAE∽△DAP，推出PEDP=PAAD=12，可得PE=1（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．由△MAE∽△DAM，推出EMMD=MAAD=1525=35，可得ME=解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE=3∵PA2＝9，AE•AD=3∴PA2＝AE•AD，∴PAAD=AEPA，∵∠∴△PAE∽△DAP，∴PEDP∴PE=12∴PC+12PD＝PC+∵PC+PE≥EC，∴PC+12PD的最小值为在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE=9∴EC=6∴PC+12PD的最小值为（3）如图3中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，∴MAAD∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴EMMD∴ME=35∴MC+35MD＝MC+∵MC+ME≥EC，∴MC+35MD的最小值为EC的长，此时点M在线段EC上（如图在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC=162∴MC+35MD的最小值为2总结提升：本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系，最短问题等知识，解题的关键是运用数形结合的思想解决问题，添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．类型二求差最大典例2（2023秋•天宁区校级月考）如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD−12PC的最大值为237思路引领：连接PB，在BC上取一点G，使得BG＝2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．利用相似三角形的性质证明PG=12PC，再根据PD−12PC＝PD﹣PG≤解：连接PB，在BC上取一点G，使得BG＝2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．∵PB＝4，BG＝2，BC＝8，∴PB2＝BG•BC，∴PBBG∵∠PBG＝∠CBP，∴△PBG∽△CBP，∴PGPC∴PG=12∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD＝BC＝8，∴∠DCH＝∠ABC＝60°，在Rt△CDH中，CH＝CD•cos60°＝4，DH＝CD•sin60°＝43，∴GH＝CG+CH＝6+4＝10，∴DG=GH2∵PD−12PC＝PD﹣PG≤∴PD−12PC≤2∴PD−12PC的最大值为2总结提升：本题考查阿氏圆问题，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．针对训练1．(2023•常熟市二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD−12PC的最大值为思路引领：由PD−12PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−12解：在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵PBBG=2∴PBBG∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴PGPC∴PG=12当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG故答案为：5总结提升：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．2．（2023•商河县校级模拟）（1）初步思考：如图1，在△PCB中，已知PB＝2，BC＝4，N为BC上一点且BN＝1，试证明：PN=1（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+12（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD−12PC思路引领：（1）通过相似三角形△BPN∽△BCP的性质证得结论；（2）如图2中，在BC上取一点G，使得BG＝1．由△PBG∽△CBP，推出PGPC=BGPB=12，推出PG=12PC，推出PD+12PC＝DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+12PC的值最小，最小值为（3）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．解法类似（2）；（1）证明：如图1，∵PB＝2，BC＝4，BN＝1，∴PB2＝4，BN•BC＝4．∴PB2＝BN•BC．∴BNBP又∵∠B＝∠B，∴△BPN∽△BCP．∴PNPC∴PN=12（2）如图2，在BC上取一点G，使得BG＝1，∵PB（3）同（2）中证法，如图3，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的最大值，最大值为总结提升：本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．类型三综合应用典例3（（2023•成华区校级模拟）如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当S1S2（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+23E'思路引领：（1）令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式．（2）由△PNM∽△ANE，推出PNAN（3）在y轴上取一点M使得OM′=43，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+23解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），则有n=3m+3m+n=0，解得m=−∴抛物线y=−34x2+令y＝0，得到−34x2+解得：x＝4或﹣1，∴A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则b=34k+b=0解得k=−3∴直线AB解析式为y=−34（2）如图1中，设P（m，−34m2+94m+3），则∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∵△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，S1∴PNAN∵NE∥OB，∴ANAB∴AN=54（4﹣∵抛物线解析式为y=−34x2+∴PN=−34m2+94m+3﹣（−34m+3）∴−3解得m＝2或4（舍弃），∴m＝2，∴P（2，92（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′=43，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝∵OE′＝2，OM′•OB=4∴OE′2＝OM′•OB，∴OE′OM′∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴M′E′BE′∴M′E′=23∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+23BE′最小（两点间线段最短，A、最小值＝AM′=4总结提升：本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E′A+23E′针对训练1．（2023•九龙坡区校级模拟）在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D+22A′C最小时，求S△A′思路引领：（1）通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；（2）通过作辅助线，构造全等三角形，设AC＝a，利用中位线定理，解直角三角形，用a的代数式表示CD和HG，即可得CD与HG的数量关系；（3）构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定A'（4）的位置，继而求得相关三角形的面积．解：（1）过D作DG⊥BC，垂足是G，如图1：∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，∴∠EBD＝90°，∵∠ABE＝75°，∴∠ABD＝15°，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝30°，∴在直角△BDG中有DG=12BD=∵∠ACB＝45°，∴在直角△DCG中，CG＝DG＝2，∴BC＝BG+CG=2+23∴AC=22BC（2）线段DC与线段HG的数量关系为：HG=3证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GM⊥AB于M，如图：∴∠END＝90°，由旋转可知∠EBD＝90°，∴∠EDB＝45°∴∠END＝∠EBD＝90°，∴E，B，D，N四点共圆，∴∠BNE＝∠EDB＝45°，∠NEB+∠BDN＝180°∵∠BDC+∠BDN＝180°，∠BCD＝45°，∴∠BEN＝∠BDC，∴∠BNE＝45°＝∠BCD，在△BEN和△BDC中，∠BNE=∠BCD∠BEN=∠BDC∴△BEN≌△BDC（AAS），∴BN＝BC，∵∠BAC＝90°，在等腰△BNC中，由三线合一可知BA是CN的中线，∵∠BAC＝∠END＝90°，∴EN∥AB，∵A是CN的中点，∴F是EC的中点，∵G是BC的中点，∴FG是△BEC的中位线，∴FG∥BE，FG=12∵BE⊥BD，∴FG⊥BD，∵∠ABD＝30°，∴∠BFG＝60°，∵∠ABC＝45°，∴∠BGF＝75°，设AC＝a，则AB＝a，在Rt△ABD中，AD=33a，BD＝∴FG=12∴FG=3∵GM⊥AB，∴△BGM是等腰三角形，∴MG＝MB=2在Rt△MFG中，∠MFG＝60°，∴3MF＝MG，∴MF=3∴BF＝BM+MF=3+在Rt△BFH中，∠BFG＝60°，∴FH=12∴HG＝FG﹣FH=33a−又∵CD=a−3∴CDHG∴HG=3（3）设AB＝a，则BC=2a，取BC的中点N，连接A′D，A′C，A′N，连接由旋转可知A′B＝AB＝a，∵A′BBN=a∴A′BBN又∠A'BN＝∠CBA'，∴△A′BN∽△CBA′，∴A′NA′C∴A'N=22A'根据旋转和两点之间线段最短可知，A′D+22A′C最小，即是A'D+A'N最小，此时D、A'、N共线，即A设此时A'落在A''处，过A''作A''F⊥AB于F，连接AA''，如图4，∵D，N分别是AC，BC的中点，∴DN是△ABC的中位线，∴DN∥AB，∵AB⊥AC，∴DN⊥AC，∵∠A＝∠A''FA＝∠A''DA＝90°，∴四边形A''FAD是矩形，∴AF＝A''D，A''F＝AD＝2，∵又A''B＝AB＝4，设AF＝x，在直角三角形A''FB中，A''B2＝A''F2+BF2，∴42＝22+（4﹣x）2，解得x=4−23∴此时S△A''BC＝S△ABC﹣S△AA''B﹣S△A''AC=12AB•AC−12AB•A''F−12AC•A''D=12×总结提升：此题主要考查全等三角形判定，等腰三角形的三线合一，解直角三角形，四点共圆，几何最值的阿氏圆模型等知识，综合性强，难度较大，属于压轴题，解得关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．2．(2023•高唐县二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，﹣4），B（0，4），直线AC的解析式为y=−12x﹣6，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；（2）点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上以动点，求12AM+CM思路引领：（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，可判断出AB⊥AC，当四边形EAFH是平行四边形时，四边形EAFH是矩形，分别点E、H、F的坐标，再利用中点坐标公式求解即可；（3）先取EG的中点P，进而判断出△PEM∽△MEA，即可得出PM=12AM，连接CP交⊙E于点M，再求出点解：（1）将点A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得：−16−4b+c=−4c=4解得：b=−2c=4∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+4；（2）如图，当点E运动到（﹣2，0）时，四边形EAFH是矩形，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得：−4k+b=−4b=4解得：k=2b=4∴线AB的解析式为y＝2x+4，∵直线AC的解析式为y=−12∴AB⊥AC，∴当四边形EAFH是平行四边形时，四边形EAFH是矩形，此时，EF与AH互相平分，设E（m，2m+4），H（0，t）则F（m，−12∵A（﹣4，﹣4），∴12解得：m=−2∴E（﹣2，0），H（0，﹣1）；（3）如图，由（2）可知E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=5，AE＝25设AE交⊙E于点G，取GE的中点P，则PE=5设P（k，2k+4），∵E（﹣2，0），∴PE2＝（k+2）2+（2k+4）2＝（52）2∴k=−52或k∴P（−5∵C（0，﹣6），∴PC=(−连接PC交⊙E于点M，连接EM，则EM＝EH=5∴PEME∵MEAE∴PEME∵∠PEM＝∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴PMAM∴PM=12∴12AM+CM＝PM+CM∴当P、M、C三点共线时，12AM+CM取得最小值即PC∴12AM+CM最小值为5总结提升：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数关系式，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式，极值的确定，熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用中点坐标公式构建方程，以及构造相似三角形是解决问题的关键．模块二2023中考押题预测1．（2023秋•西峡县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则12A．4 B．32 C．17 D．思路引领：在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，证明△APQ∽△ABP，可得PQ=12PB，则12PB+PC=PC+PQ，当C、Q、P三点共线时，PC+解：在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴APAB∵AP＝2，AQ＝1，∴AQAP∵∠PAQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ=12∴12PB+PC=PC+PQ≥在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QB=A∴12PB+PC的最小值故选：C．总结提升：本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．2．(2023秋•永嘉县校级期末）如图所示，∠ACB＝60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为6﹣23≤PM+2PN≤6+23思路引领：PM+2PN＝2（12PM+PN），作MH⊥PN，HP=12PM解：作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，∵PM⊥AC，PN⊥CB，∴∠PMC＝∠PNC＝90°，∴∠MPN＝360°﹣∠PMC﹣∠PNC﹣∠C＝120°，∴∠MPH＝180°﹣∠MPN＝60°，∴HP＝PM•cos∠MPH＝PM•cos60°=12∴PN+12PM＝PN+HP＝∵MF＝NH，∴当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小，如图1，连接OP，OG，OC，可得：四边形OPMG是正方形，∴MG＝OP＝2，在Rt△COG中，CG＝OG•tan60°＝23，∴CM＝CG+GM＝2+23，在Rt△CMF中，MF＝CM•sinC＝（2+23）×32=∴HN＝MF＝3+3PM+2PN＝2（12PM+PN）＝2HN＝6+2如图2，由上知：CG＝23，MG＝2，∴CM＝23−∴HM＝（23−2）×32∴PM+2PN＝2（12PM+PN）＝2HN＝6﹣2∴6﹣23≤PM+2PN≤6+23总结提升：本题考查的是解直角三角形等知识，解决问题的关键是构造12PM3．（2023秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则13PA+PB的最小值为17思路引领：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，证明△ACP∽△PCQ，可得PQ=13AP，当B、Q、P三点共线时，13PA+PB解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，∵AC＝9，CP＝3，∴CPAC∵CP＝3，CQ＝1，∴CQCP∴△ACP∽△PCQ，∴PQ=13∴13PA+PB＝PQ+PB≥BQ∴当B、Q、P三点共线时，13PA+PB在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1，∴QB=17∴13PA+PB的最小值17故答案为：17．总结提升：本题考查阿氏圆求最短距离，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，利用三角形相似将13PA转化为PQ4．(2023春•长顺县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+14PB的最小值为145思路引领：如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF．利用相似三角形的性质证明PF=14PB，根据PF+PA≥解：如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC=12∵CFCP=1∴CFCP∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴PFPB∴PF=14∴PA+14PB＝PA+∵PA+PF≥AF，AF=C∴PA+14PB∴PA+14PB的最小值为故答案为1452总结提升：本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．5．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为85．思路引领：在y轴上取点H（0，9），连接BH，通过证明△AOP∽△POH，可证HP＝3AP，则3PA+PB＝PH+PB，当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，即可求解．解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH，∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9），∴AO＝1，OB＝2，OH＝9，∵OAOP=13=∴△AOP∽△POH，∴APHP∴HP＝3AP，∴3PA+PB＝PH+PB，∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，∴BH=OB故答案为：85．总结提升：本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．6．（2023•武汉模拟）【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足PAPB=k（k为定值）的【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为163思路引领：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP＝∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，证明△APC∽△BPA，由相似三角形的性质可得BP＝2AP，CP=12AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，再找出距离BC最远的解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP＝∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，∵∠CAP＝∠ABC，∠BPA＝∠APC，AB＝2AC，∴△APC∽△BPA，APBP∴BP＝2AP，CP=12∵BP﹣CP＝BC＝4，∴2AP−12AP＝4，解得：AP∴BP=163，CP=4∴点A的轨迹为以点P为圆心，83为半径的圆上，如图，过点P作BC的垂线，交圆P与点A1，此时点A1到BC的距离最大，即△ABCS△ABC=12BC•A1P=1故答案为：163总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积，确定点的运动轨迹，熟练掌握三角形的判定和性质以及三角形的面积公式是解题的关键．7．（2023•溧阳市一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为410思路引领：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．利用相似三角形的性质证明MT＝2DM，求CM+2DM的最小值问题转化为求CM+MT的最小值．求出CT即可判断．解：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，∴OM2＝OD•OT，∴OMOD∵∠MOD＝∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴DMMT∴MT＝2DM，∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，∴CT=OC2∴CM+2DM≥410，∴CM+2DM的最小值为410，∴答案为410．总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，阿氏圆问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．8．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+12PC的最小值为思路引领：如图，在BC上取一点T，使得BT＝1，连接PB，PT，DT．证明△PBT∽△CBP，推出PTPC=PBCB=12，推出PT=12PC，由PD解：如图，在BC上取一点T，使得BT＝1，连接PB，PT，DT．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCT＝90°，∵CD＝4，CT＝3，∴DT=C∵PB＝2，BT＝1，BC＝4，∴PB2＝BT•BC，∴PBBT∵∠PBT＝∠PBC，∴△PBT∽△CBP，∴PTPC∴PT=12∵PD+12PC＝PD+PT≥∴PD+12故答案为：5．总结提升：本题考查阿氏圆问题，正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是AB上一动点，则PC+12PD的最小值为13思路引领：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP，证明△OPE∽△OCP推出PCPE=OPOE=12，推出EP＝2PC，推出PC+12PD=12（2PC+PD）=12（PD解：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP，∵AO＝OB＝6，C分别是OA的中点，∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，∴OPOE=OCOP∴△OPE∽△OCP∴PCPE∴EP＝2PC，∴PC+12PD=12（2PC+PD）=1∴当点E，点P，点D三点共线时，PC+12∵DE=O∴PD+PE≥DE＝13，∴PD+PE的最小值为13，∴PC+12PD的值最小值为故答案为：132总结提升：本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．10．如图所示的平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限内一动点，OP＝2，连接AP、BP，则BP+12AP的最小值是思路引领：如图，取点T（0，1），连接PT，BT．利用相似三角形的性质证明PT=12PB，推出PB+12PA＝PB+PT≥解：如图，取点T（0，1），连接PT，BT．∵T（0，1），A（0，4），B（4，0），∴OT＝1，OA＝4，OB＝4，∵OP＝2，∴OP2＝OT•OA，∴OPOT∵∠POT＝∠AOP，∴△POT∽△AOP，∴PTPA∴PT=12∴PB+12PA＝PB+∵BT=1∴PB+PT≥17∴BP+12∴BP+12PB的最小值为故答案为：17．总结提升：本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．11．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则2PA+PB的最小值为25．思路引领：2PA+PB=2（PA+22PB），利用相似三角形构造解：设⊙O半径为r，OP＝r=12BC＝2，OB=2r取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB=2∵OPOIOBOP∴OPOI∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴PIPB∴PI=22∴AP+22PB＝AP+∴当A、P、I在一条直线上时，AP+22作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE=22∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI=3∴AP+22PB最小值＝AI∵2PA+PB=2（PA+2∴2PA+PB的最小值是2AI=2×10故答案是25．总结提升：本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．12．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，点E在OA上，且点E也在格点上．（I）OEOB的值为23（Ⅱ）DE是以点O为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°）连接E'A，E'B，当E'A+23E'B的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E′，并简要说明点E'的位置是如何找到的（不要求证明）通过取格点K、T，使得OH：OD＝2：3，构造相似三角形将23E′B转化为E′思路引领：（1）求出OE，OB即可解决问题．（2）构造相似三角形把23E′B转化为E′H解：（1）由题意OE＝2，OB＝3，∴OEOB故答案为：23（2）如图，取格点K，T，连接KT交OB于H，连接AH交DE于E′，连接BE′，点E′即为所求．故答案为：通过取格点K、T，使得OH：OD＝2：3，构造相似三角形将23E′B转化为E′H总结提升：本题是作图﹣旋转变换，主要考查了相似三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等知识，找到点H是解题的关键．13．（2023秋•定海区期末）如图1，正方形OABC边长是2，以OA为半径作圆，P为弧AC上的一点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连结PO、PA，设PM＝m，PA＝n．（1）求证：∠POA＝2∠PAM；（2）探求m、n的数量关系，并求n﹣m最大值；（3）如图2：连结PB，设PB＝h，求2h+2m的最小值．思路引领：（1）根据正方形性质和三角形内角和定理即可证得结论；（2）如图1，过点O作OE⊥PA于E，先证明△APM∽△OAE，利用相似三角形性质可得出m=14n2，进而可得：n﹣m＝n−14n2=−1（3）如图2，连接AC、BD交于点D，连接PD，当D、P、M三点共线且DM⊥AB时，PD+PM＝DM最小，即2h+2m＝2DM最小，根据正方形和等腰直角三角形的性质即可求得答案．（1）证明：∵四边形OABC是正方形，∴∠OAB＝90°，∴∠OAP+∠PAM＝90°，即2∠OAP+2∠PAM）＝180°，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠OAP，∵∠OPA+∠OAP+∠POA＝180°，∴2∠OAP+∠POA＝180°，∴∠POA＝2∠PAM；（2）解：如图1，过点O作OE⊥PA于E，∵OA＝OP，OE⊥PA，∴AE=12PA，∠AOE＝∠POE=1∵∠POA＝2∠PAM，∴∠PAM=12∠∴∠PAM＝∠AOE，∵PM⊥AB，∴∠AMP＝90°＝∠OEA，∴△APM∽△OAE，∴PMPA=AE∴m=14n∴n﹣m＝n−14n2=−14（∴当n＝2时，n﹣m取得最大值，n﹣m最大值为1；（3）解：如图2，连接AC、OB交于点D，连接PD，∵四边形ABCO是正方形，∴AC⊥BD，OD＝AD＝BD，∴ODOA∵OP＝OA，∴ODOP∵∠POD＝∠BOP，∴△POD∽△BOP，∴PDPB∴PD=22∵PB＝h，PM＝m，∴2h+2m＝2（22h+m）＝2（22PB+PM）＝2（PD+∵当D、P、M三点共线且DM⊥AB于M时，PD+PM＝DM最小，∴当D、P、M三点共线且DM⊥AB时，2h+2m＝2（PD+PM）＝2DM最小，如图3，∵△ABD是等腰直角三角形，DM⊥AB，∴DM=12∴2DM＝2，即2h+2m的最小值为2．总结提升：本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，三角形内角和定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短，二次函数最值的应用，利用相似三角形性质列出关于m、n的关系式恰当运用配方法是解题关键．14．(2023•从化区一模）已知，AB是⊙O的直径，AB=42，AC＝BC（1）求弦BC的长；（2）若点D是AB下方⊙O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值；（3）如图2，点P是动点，且AP＝2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q的运动时间t的最小值．思路引领：（1）AB是⊙O的直径，AC＝BC可得到△ABC是等腰直角三角形，从而得道答案；（2）连接AD、CM、DB、FB，首先利用△ACD≌△BCF，∠CBF＝∠CAD，证明D、B、F共线，再证明△CMB是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；（3）“阿氏圆”的应用问题，以A为圆心，AP为半径作圆，在AC上取点M，使AM＝1，连接PM，过M作MH⊥AB于H，连接BM交⊙A于P'，先证明PM=PC2，PC2+BP最小，即是PM+BP最小，此时P、B、解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠CAB＝45°，∵AB＝42，∴BC＝AB•sin45°＝4；（2）连接AD、CM、DB、FB，如图：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形CDEF是正方形，∴CD＝CF，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90﹣∠DCB＝∠BCF，又AC＝BC，∴△ACD≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠CAD，∴∠CBF+∠ABC+∠ABD＝∠CAD+∠ABC+∠ABD＝∠DAB+∠CAB++