高考数学大题精做专题03三角函数中的实际应用问题(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题03三角函数中的实际应用问题类型对应典例以解三角形为背景借助正余弦定理建立函数关系典例1以三角形面积为背景借助基本不等式求解最值典例2以三角函数图象为背景探求实际问题的最值典例3以组合图形为背景考查解三角形的实际应用问题典例4以三角探究性问题研究方案的可能性问题典例5以实物为背景建立三角函数关系借助导数求最值典例6以实际方位为背景考查三角函数求值与三角实际问题典例7【典例1】【山东省泰安市2019-2020学年高三上学期期末数学试题】如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设，试求花卉种植面积的取值范围．【典例2】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末考试数学试题】我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地，如图，点在上，点在上，且点在斜边上，已知，米，米，.设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正常数）（1）试用表示，并求的取值范围；（2）求总造价关于面积的函数;（3）如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）【典例3】【辽宁省普通高中2019-2020学年高三上学期学业水平测试数学试卷】如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数，的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定．（1）求点M的坐标；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？【典例4】【河北省邢台市2019-2020学年高三上学期第二次月考】某生态农庄有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为300米，A为直径延长线上的点，米，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等腰直角，其中BC为斜边．若；，求四边形OACB的面积；现决定对四边形OACB区域地块进行开发，将区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？【思路点拨】计算时和的面积，求和得出四边形OABC的面积；设，求出和的面积和，得出目标函数的解析式，再求该函数取得最大值时对应的值．【典例5】【广东省汕头市金山中学2018-2019学年高三上学期期末】汕头市有一块如图所示的海岸，，为岸边，岸边形成角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：方案l：在岸边，上分别取点，，用长度为的围网依托岸边围成三角形（为围网）.方案2：在的平分线上取一点，再从岸边，上分别取点，，使得，用长度为的围网依托岸边围成四边形（，为围网）.记三角形的面积为，四边形的面积为.请分别计算，的最大值，并比较哪个方案好.【思路点拨】方案1中，利用余弦定理和基本不等式求出面积最值，方案2中，利用正弦定理和三角函数的性质求出面积最值，然后比较大小，即可得哪种方案好.【典例6】【江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题】如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧，下部是一个矩形，圆弧所在圆的圆心为O，经测量米，米，，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形，其中E，F在边上，G，H在圆弧上.设，矩形的面积为S.（1）求矩形的面积S关于变量的函数关系式；（2）求为何值时，矩形的面积S最大？【思路点拨】（1）结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形的面积S关于变量θ的函数关系式；（2）对S关于变量θ的函数关系式进行求导思路点拨，算出时的的值，三角计算即可得出结果．【典例7】在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【针对训练】1.【江苏省徐州市2019届高三上学期期中质量抽测数学试题】某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为的扇形，中心角．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；（2）试问：当为多少时，年总收入最大？2.【河北省衡水市深州市长江中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学】如图，有一块边长为(百米)的正方形区域.在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为(其中点，分别在边，上)，设(百米)．（1）用表示出的长度，并探求的周长是否为定值；（2）设探照灯照射在正方形内部区域的面积为(平方百米)，求S的最大值．3.如图，摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出（米）关于（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过米?4.【山西省长治市第二中学2019-2020学年高三11月月考】如图，在中，已知，M为BC中点，E，F分别为线段AB，AC上动点（不包括端点），记.（1）当时，求证：；（2）当时，求四边形AEMF面积S关于的表达式，并求出S的取值范围.5.平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表：036912151821241.52．41.50．61.42.41.60.61.5（1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从①，②，③中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（2）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.6.在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在10月10日4:00，每天涨潮落潮时，水的深度与时间近似满足关系式.（1）若从10月10日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深和时间之间的函数关系.（2）10月10日17:00该港口水深约为多少？（精确到）（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于？7.【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】如图所示，某镇有一块空地，其中，，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.（1）当时，求防护网的总长度；（2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？8.【2019届四川省成都市高三第一次诊断性检测】某大型企业一天中不同时刻的用电量y（单位：万千瓦时）关于时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数y=f(t)近似地满足f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,0<φ<π)，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y与时间（Ⅰ）根据图象，求A，ω，φ，B的值；（Ⅱ）若某日的供电量g(t)（万千瓦时）与时间t（小时）近似满足函数关系式（0≤t≤12）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）.参考数据:t（时）

10

11

12

11.5

11.25

11.75

11.625

11.6875

f(t)（万千瓦时）

2．25

2.433

2.5

2.48

2.462

2.496

2.490

2.493

g(t)（万千瓦时）

5

3.5

2

2.75

3.125

2.375

2.563

2.469

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题03三角函数中的实际应用问题类型对应典例以解三角形为背景借助正余弦定理建立函数关系典例1以三角形面积为背景借助基本不等式求解最值典例2以三角函数图象为背景探求实际问题的最值典例3以组合图形为背景考查解三角形的实际应用问题典例4以三角探究性问题研究方案的可能性问题典例5以实物为背景建立三角函数关系借助导数求最值典例6以实际方位为背景考查三角函数求值与三角实际问题典例7【典例1】【山东省泰安市2019-2020学年高三上学期期末】如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设，试求花卉种植面积的取值范围．【解析】在△BDE中，∠BED=，由正弦定理得，∴，在△DCF中，，由正弦定理得，∴，，AEDF为四边形区域，，，，，花卉种植面积取值范围是．【典例2】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末考试数学试题】我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地，如图，点在上，点在上，且点在斜边上，已知，米，米，.设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正常数）（1）试用表示，并求的取值范围；（2）求总造价关于面积的函数;（3）如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）【解析】（1）在中，显然，，矩形的面积于是为所求（2）矩形健身场地造价又的面积为,即草坪造价,由总造价(3)当且仅当即时等号成立，此时，解得或答：选取的长为12米或18米时总造价最低.【典例3】【辽宁省普通高中2019-2020学年高三上学期学业水平测试数学试卷】如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数，的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定．（1）求点M的坐标；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？【思路点拨】（1）利用图象分别求得周期和的值，进而求得最后得到函数解析式，即可求得的坐标．（2）设，利用正弦定理表示出，，即可表示出，用两角和差的正弦公式化简，根据三角函数的性质求得最大值.解：（1）由题意知，，∵，∴，∴．当时，，∴．（2）连接MP，如图所示．又∵，∴．在中，，．设，则，∵．∴，．∴．∵，∴，∴．∴当时，折线段赛道MNP最长．所以将设计为时，折线段赛道MNP最长．【典例4】【河北省邢台市2019-2020学年高三上学期第二次月考】某生态农庄有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为300米，A为直径延长线上的点，米，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等腰直角，其中BC为斜边．若；，求四边形OACB的面积；现决定对四边形OACB区域地块进行开发，将区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？【思路点拨】计算时和的面积，求和得出四边形OABC的面积；设，求出和的面积和，得出目标函数的解析式，再求该函数取得最大值时对应的值．解：当时，平方米；在中，由余弦定理得，；平方米，四边形OABC的面积为平方米；设，则，所以，在中，由余弦定理得，；，不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元，则有；化简得；因为，所以当时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大．【典例5】【广东省汕头市金山中学2018-2019学年高三上学期期末】汕头市有一块如图所示的海岸，，为岸边，岸边形成角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：方案l：在岸边，上分别取点，，用长度为的围网依托岸边围成三角形（为围网）.方案2：在的平分线上取一点，再从岸边，上分别取点，，使得，用长度为的围网依托岸边围成四边形（，为围网）.记三角形的面积为，四边形的面积为.请分别计算，的最大值，并比较哪个方案好.【思路点拨】方案1中，利用余弦定理和基本不等式求出面积最值，方案2中，利用正弦定理和三角函数的性质求出面积最值，然后比较大小，即可得哪种方案好.解：方案1：设，，在中，由余弦定理得：，即，∴（当且仅当时等号成立）∴（当且仅当时等号成立）∴最大值为.方案2：在中，由正弦定理得：即，∴，∴（当且仅当时等号成立）∴最大值为，∵，∴方案2好.【典例6】【江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题】如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧，下部是一个矩形，圆弧所在圆的圆心为O，经测量米，米，，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形，其中E，F在边上，G，H在圆弧上.设，矩形的面积为S.（1）求矩形的面积S关于变量的函数关系式；（2）求为何值时，矩形的面积S最大？【思路点拨】（1）结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形的面积S关于变量θ的函数关系式；（2）对S关于变量θ的函数关系式进行求导思路点拨，算出时的的值，三角计算即可得出结果．解：（1）如图，作分别交，于M，N，由四边形，是矩形，O为圆心，，所以，，P，M，N分别为，，中点，，在中，，，所以，，所以，在中，，，所以，，所以，，所以，，所以S关于的函数关系式为：，（2）由（1）得：因为，所以，令，得，设，且，所以，得，即S在单调递增，，得，即S在单调递减所以当时，S取得最大值，所以当时，矩形的面积S最大．【典例7】在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【解析】设在t时刻台风中心位于点Q，此时|OP|=300，|PQ|=20t，台风侵袭范围的圆形区域半径为10t+60，由，可知，cos∠OPQ=cos(θ-45o)=cosθcos45o+sinθsin45o=在△OPQ中，由余弦定理，得==若城市O受到台风的侵袭，则有|OQ|≤r(t)，即，整理，得，解得12≤t≤24,答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.【针对训练】1.【江苏省徐州市2019届高三上学期期中质量抽测数学试题】某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为的扇形，中心角．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；（2）试问：当为多少时，年总收入最大？【思路点拨】（1）由，，，所以与全等.可得，根据面积公式，可求得观赏区的面积为，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，解不等式即可求出结果.（2）由题意可得种植区的面积为，正方形面积为，设年总收入为万元，则，利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果.【解析】（1）∵，，，所以与全等.所以，观赏区的面积为，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，即，结合可知，则的最大值为.（2）种植区的面积为，正方形面积为，设年总收入为万元，则，其中，求导可得.当时，，递增；当时，，递增.所以当时，取得最大值，此时年总收入最大.2.【河北省衡水市深州市长江中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学】如图，有一块边长为(百米)的正方形区域.在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为(其中点，分别在边，上)，设(百米)．（1）用表示出的长度，并探求的周长是否为定值；（2）设探照灯照射在正方形内部区域的面积为(平方百米)，求S的最大值．【思路点拨】（1）求出，设，表示出和，由勾股定理即可求出，再求出周长，即可判断是否为定值；（2）由求出面积S，由基本不等式即可求出面积的最大值．解：（1）由，得，，设，则，，，，是定值；（2），由于，则，当且仅当，即时等号成立，故探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为平方百米．3.如图，摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出（米）关于（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过米?【解析】（1）由题设可知，,又，所以,从而，再由题设知时，代入，得，从而,因此；（2）要使点距离地面超过米，则有，即,,,解得即:，所以，在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过米的时间有分钟.4.【山西省长治市第二中学2019-2020学年高三11月月考】如图，在中，已知，M为BC中点，E，F分别为线段AB，AC上动点（不包括端点），记.（1）当时，求证：；（2）当时，求四边形AEMF面积S关于的表达式，并求出S的取值范围.【思路点拨】（1）用余弦定理和勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后用正弦定理求得后可证结论成立；（2）用正弦定理求出，求出和的面积，四边形的面积就等于直角三角形的面积减去这两个三角形的面积，从而得，在直角三角形中得出，用导数可求得的单调性，得其取值范围．解：（1）在中，根据余弦定理得，故，因此.当时，在中，，即；在中，，即，故；（2）当时，在中，，即；在中，，即.故所以四边形面积，，故在上单调递减，，故.5.平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表：036912151821241.52．41.50．61.42.41.60.61.5（1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从①，②，③中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（2）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.【思路点拨】（1）先画出散点图，可知选②作为函数模型，同时可求出各参数，,代入最值点可求.（2）由（1）知：，令，结合t的范围，可解得.【解析】解：（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：-依题意，选②做为函数模型，，；又函数图象过点，即，；又，.（2）由（1）知：，令，即又∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.6.在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在10月10日4:00，每天涨潮落潮时，水的深度与时间近似满足关系式.（1）若从10月10日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深和时间之间的函数关系.（2）10月10日17:00该港口水深约为多少？（精确到）（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于？【思路点拨】（1）设，利用低潮时入口处水的深度为，高潮时为，求出，利用两次高潮发生的时间间隔，求出周期，从而求出，再求出，即可得到这个港口的水深和时间之间的函数关系；（2）月日，代入解析式即可求出水的深度；（3）解不等式，即可求出月日这一天该港口共有多少时间水深低于.解析：(1)依题意知T＝＝12，故ω＝，h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sin＋12.2.又因为t＝4时，d＝16，所以sin＝1，所以φ＝－，所以d＝3.8sin＋12.2.(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin＋12.2＜10.3，有sin＜－，因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，所以12k＋8＜t＜12k＋12.令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)．故这一天共有8h水深低于10.3m.7.【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】如图所示，某镇有一块空地，其中，，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.（1）当时，求防护网的