人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题13指数函数及其性质(原卷版+解析)

专题13指数函数及其性质【考点预测】知识点一、指数函数的概念：函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．知识点二、指数函数的图象及性质：时图象时图象图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤时，时，⑤时，时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数知识点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．（2）当时，，；当时，．当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．（3）指数函数与的图象关于轴对称．知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①，②，③，④，则：又即：时，（底大幂大）时，（2）特殊函数，，，的图像：【典型例题】例1．(2023·重庆市巴川国际高级中学校高一期中）已知函数．(1)用定义法证明在上单调递增；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．例2．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知函数是奇函数.(1)求的值，并判断的单调性（不必说明理由）；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.例3．(2023·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数为定义域内的奇函数.(1)求的值；(2)设函数，若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.例4．(2023·山西省运城中学校高一期中）已知函数是定义域为的奇函数.(1)求函数的解析式；(2)判断在上的单调性并用定义证明；(3)设，求在上的最小值.例5．(2023·重庆南开中学高一期中）已知函数满足．(1)求函数的解析式；(2)若不等式对恒成立，求实数t的取值范围．【过关测试】一、单选题1．(2023·北京二中高一阶段练习）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．2．(2023·重庆一中高一期中）已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（

）A． B． C． D．3．(2023·湖南省岳阳县第一中学高一阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4．(2023·天津·南开大学附属中学高一期中）已知函数，若，则（

）A． B． C． D．5．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．6．(2023·辽宁·育明高中高一期中）若，则（

）A． B．C． D．7．(2023·山东青岛·高一期中）设函数，若实数满足：，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．(2023·福建·三明一中高一期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．(2023·黑龙江·虎林市高级中学高一期中）以下命题正确的是（

）A．,使B．若函数在上单调递增,则正实数的取值范围是C．若函数的定义域为,则函数的定义域为D．函数单调递增区间为10．(2023·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期中）已知函数，，则下列结论正确的是（

）A．为奇函数 B． C． D．11．(2023·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（

）A．， B．的值域为C．若，则 D．若，且，则12．(2023·重庆一中高一期中）以下命题中是真命题的有（

）A．若定义在上的函数在是增函数，在也是增函数，则在为增函数B．若函数是定义在上的单调递增函数，则一定在上单调递增C．函数，则直线与的图像有1个交点D．，都有函数在上是单调函数三、填空题13．(2023·河南洛阳·高一期中）若函数为奇函数，则实数a=______．14．(2023·广东东莞·高一期中）已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：（1）对于任意的实数恒有；（2）在上单调递增.请写出满足条件的一个的解析式，___________.15．(2023·安徽·淮北一中高一期中）函数的单调递增区间___________.16．(2023·重庆市永川北山中学校高一期中）已知函数，若方程恰好有三个实数根，则实数的取值范围是__________.四、解答题17．(2023·重庆南开中学高一期中）已知函数的图象过原点,且无限接近直线但又不与该直线相交．(1)求函数的解析式,并画出的图象;(2)结合图象,写出不等式的解集．18．(2023·江苏南通·高一期中）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且.(1)证明：函数在上单调递增；(2)求函数在区间上的最大值.19．(2023·北京二中高一阶段练习）设函数.(1)判断函数的奇偶性并证明；(2)设，若，求的取值范围.20．(2023·河南洛阳·高一期中）已知（，且）．(1)解关于x的不等式；(2)若，且对，，求实数n的取值范围．21．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）已知函数为定义在上的奇函数.(1)求的值；(2)根据单调性的定义证明函数在上单调递增；(3)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.22．(2023·湖南省岳阳县第一中学高一阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数(1)求的解析式(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.专题13指数函数及其性质【考点预测】知识点一、指数函数的概念：函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．知识点二、指数函数的图象及性质：时图象时图象图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤时，时，⑤时，时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数知识点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．（2）当时，，；当时，．当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．（3）指数函数与的图象关于轴对称．知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①，②，③，④，则：又即：时，（底大幂大）时，（2）特殊函数，，，的图像：【典型例题】例1．(2023·重庆市巴川国际高级中学校高一期中）已知函数．(1)用定义法证明在上单调递增；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1），任取实数，且，；，根据指数函数性质，，又，，，即，根据单调性的定义可得，在上单调递增.（2），为上的奇函数，由得：，由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；当时，，在上恒成立；令，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，即实数的取值范围为.例2．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知函数是奇函数.(1)求的值，并判断的单调性（不必说明理由）；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【解析】（1），，

检验：，定义域为，，为奇函数，故.

∴，∴为增函数.（2），，

设，因为，即存在，使b成立，当时，，.例3．(2023·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数为定义域内的奇函数.(1)求的值；(2)设函数，若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，是奇函数，所以，解得，此时，是奇函数.故.（2）当时，，故，则，又因为恒成立；故当时，恒成立，符合条件.当时，当时，根据复合函数单调性可得在上单调递增，，所以，令，因为都在上单调递增，故在单调递增，又，所以；当时，根据复合函数单调性可得在单调递增，在单调递减，故，所以令，都是上的单调递增函数，故也是上的单调增函数，又当时，，故在上恒成立，故在无解，即不满足条件；综上所述，.例4．(2023·山西省运城中学校高一期中）已知函数是定义域为的奇函数.(1)求函数的解析式；(2)判断在上的单调性并用定义证明；(3)设，求在上的最小值.【解析】（1）∵为奇函数，∴，可得，此时，满足，即函数是定义域为的奇函数，所以函数的解析式为；（2）在上为增函数.证明：设为R上任意两个实数，且，,,∴，∴在上为增函数.（3）由，可得,令，由(2)知为增函数，∵，∴，令,当时，在上单调递增,故；当时，在上单调递减，在上单调递增,故；当时,在上单调递减，故;综上所述,.例5．(2023·重庆南开中学高一期中）已知函数满足．(1)求函数的解析式；(2)若不等式对恒成立，求实数t的取值范围．【解析】（1），解得：．（2），和均为单调递减函数，故为在上单调递减的函数，又函数的定义域为，则，所以为奇函数，即对恒成立，整理得：对恒成立，当时，不等式等价于对恒成立，，当时，，令，，由于所以，当时取等，∴，综上：．【过关测试】一、单选题1．(2023·北京二中高一阶段练习）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】当时，，因为，所以函数单调递增，当时，，因为，所以函数单调递减．故选：C．2．(2023·重庆一中高一期中）已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】对于函数，令，解得，所以，即函数恒过定点.故选：A3．(2023·湖南省岳阳县第一中学高一阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由题意，故选：C.4．(2023·天津·南开大学附属中学高一期中）已知函数，若，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，得，，即.故选：B5．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．答案：C【解析】由题意得在上单调递增，则，解得，故选：C6．(2023·辽宁·育明高中高一期中）若，则（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由可得，令，其中.则由可得.又注意到：在R上单调递增，在R上单调递减，则在R上单调递增.则由可得，即.故选：C7．(2023·山东青岛·高一期中）设函数，若实数满足：，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】作函数的图象，如图，设，，所以，，，所以，，，故，故选：D8．(2023·福建·三明一中高一期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】因为，，由，得因为单调递减，所以单调递减，又时，在上单调递减；所以，解得，所以实数的取值范围为，故选：A二、多选题9．(2023·黑龙江·虎林市高级中学高一期中）以下命题正确的是（

）A．,使B．若函数在上单调递增,则正实数的取值范围是C．若函数的定义域为,则函数的定义域为D．函数单调递增区间为答案：BD【解析】解:由题知,关于选项A,不妨令,单调递减,,,即,,,故选项A错误;关于选项B,在上单调递增,,解得,故选项B正确;关于选项C,的定义域为,则的定义域为,解得,故选项C错误;关于选项D,为复合函数,单调递减,在上单调递减,单调递增,在上单调递增,单调递减,故选项D正确.故选:BD10．(2023·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期中）已知函数，，则下列结论正确的是（

）A．为奇函数 B． C． D．答案：ACD【解析】，，故A正确；单调递增，∴，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD11．(2023·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（

）A．， B．的值域为C．若，则 D．若，且，则答案：AD【解析】∵过原点，∴，∴①，又∵时，，∴时，，由题知图象无限接近直线，则②，由①②知，，故A正确；所以，，，所以B错误；的图象如下：由图知，在上单调递减，因为，则，故C错误；∵，∴为偶函数，又∵，且，在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，故D正确.故选：AD.12．(2023·重庆一中高一期中）以下命题中是真命题的有（

）A．若定义在上的函数在是增函数，在也是增函数，则在为增函数B．若函数是定义在上的单调递增函数，则一定在上单调递增C．函数，则直线与的图像有1个交点D．，都有函数在上是单调函数答案：BD【解析】，显然在是增函数，在也是增函数，而在上不是增函数，所以A项错误；因为函数是定义在上的单调递增函数，所以，有，则，则，所以一定在上单调递增，B项正确；显然0不在的定义域内，所以，与的图像没有交点，C项错误；当时，函数在上单调递增，所以在上是单调函数；当时，函数对称轴为，当且仅当，即时等号成立，此时可得函数在上是单调递增函数；当时，函数对称轴为，当且仅当，即时等号成立，此时可得函数在上是单调递增函数.综上所述，，都有函数在上是单调函数，D项正确.故选：BD.三、填空题13．(2023·河南洛阳·高一期中）若函数为奇函数，则实数a=______．答案：【解析】因为是奇函数，所以，即，所以，所以.故答案为：-1.14．(2023·广东东莞·高一期中）已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：（1）对于任意的实数恒有；（2）在上单调递增.请写出满足条件的一个的解析式，___________.答案：（答案不唯一）【解析】根据题意，不唯一，不妨取，因为，且是上的单调增函数，故满足题意.故答案为：.15．(2023·安徽·淮北一中高一期中）函数的单调递增区间___________.答案：【解析】令，即，解得，所以的定义域为，因为在上递增，在上递减，且在上递减，所以的单调增区间为，故答案为：16．(2023·重庆市永川北山中学校高一期中）已知函数，若方程恰好有三个实数根，则实数的取值范围是__________.答案：【解析】函数的图象如图所示，因为恰好有三个实数根，即函数与的图象有三个交点，由图象可知，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题17．(2023·重庆南开中学高一期中）已知函数的图象过原点,且无限接近直线但又不与该直线相交．(1)求函数的解析式,并画出的图象;(2)结合图象,写出不等式的解集．【解析】（1）解:由题知,,且函数无限接近直线,但又不与该直线相交∴,即,,为偶函数,只需考虑的图象,再将的图象关于轴对称,即可得到的图象,时,,先将图象横坐标不变,纵坐标扩大为原来的4倍即可得到,再将图象关于轴对称,即可得到的图象,再将图象向上平移4个单位即可得到,再将的图象去除,将图象关于轴对称,即可得到的图象,所以画图象如下所示:（2）不妨令,可得,结合图象可知不等式的解集为．18．(2023·江苏南通·高一期中）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且.(1)证明：函数在上单调递增；(2)求函数在区间上的最大值.【解析】（1）因为，①所以.②因为奇函数和偶函数，所以.③②+③得，.设任意，且，因为，所以，，所以，所以函数在上的单调递增.（2）因为是偶函数，且在上的单调递增，所以在上的单调递减.①当即时，在上的最大值为；②当即时，在上的最大值为.19．(2023·北京二中高一阶段练习）设函数.(1)判断函数的奇偶性并证明；(2)设，若，求的取值范围.【解析】（1）函数是奇函数，证明如下：函数，，因为，，且所以，函