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文档简介
2025八年级上册数数学(RJ)13.3.2第1课时等边三角形的性质与判定2 13.3.2等边三角形第课时等边三角形的性质和判定教学目的使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。熟识等边三角形的性质及判定.2.通过例题教学,帮助学生总结代数法求几何角度,线段长度的方法。教学重点:等腰三角形的性质及其应用。教学难点:简洁的逻辑推理。教学过程一、复习巩固1.叙述等腰三角形的性质,它是怎么得到的?等腰三角形的两个底角相等,也可以简称“等边对等角”。把等腰三角形对折,折叠两部分是互相重合的,即AB与AC重合,点B与点C重合,线段BD与CD也重合,所以∠B=∠C。等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线和底边上的高线互相重合,简称“三线合一”。由于AD为等腰三角形的对称轴,所以BD=CD,AD为底边上的中线;∠BAD=∠CAD,AD为顶角平分线,∠ADB=∠ADC=90°,AD又为底边上的高,因此“三线合一”。2.若等腰三角形的两边长为3和4,则其周长为多少?二、新课在等腰三角形中,有一种特殊的情况,就是底边与腰相等,这时,三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形具有什么性质呢?1.请同学们画一个等边三角形,用量角器量出各个内角的度数,并提出猜想。2.你能否用已知的知识,通过推理得到你的猜想是正确的?等边三角形是特殊的等腰三角形,由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠B=C,又由∠A+∠B+∠C=180°,从而推出∠A=∠B=∠C=60°。3.上面的条件和结论如何叙述?等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。等边三角形是轴对称图形吗?如果是,有几条对称轴?等边三角形也称为正三角形。例1.在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,∠B=30°,求∠1和∠ADC的度数。分析:由AB=AC,D为BC的中点,可知AB为BC底边上的中线,由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线,底边上的高,从而∠ADC=90°,∠l=∠BAC,由于∠C=∠B=30°,∠BAC可求,所以∠1可求。问题1:本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线,其它条件不变,计算的结果是否一样?问题2:求∠1是否还有其它方法?三、练习巩固1.判断下列命题,对的打“√”,错的打“×”。a.等腰三角形的角平分线,中线和高互相重合()b.有一个角是60°的等腰三角形,其它两个内角也为60°()2.如图(2),在△ABC中,已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线,且∠2=25°,求∠ADB和∠B的度数。四、小结由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等,且都为60°。“三线合一”性质在实际应用中,只要推出其中一个结论成立,其他两个结论一样成立,所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。五、作业:第2课时含30°角的直角三角形的性质1.理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理.(重点)2.能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题.(难点)一、情境导入问题:1.我们学习过直角三角形,直角三角形的角之间都有什么数量关系?2.用你的30°角的直角三角尺,把斜边和30°角所对的直角边量一量,你有什么发现?今天,我们先来看一个特殊的直角三角形,看它的边角具有什么性质.二、合作探究探究点:含30°角的直角三角形的性质【类型一】利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是()A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm解析:在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=∠B=30°.在Rt△ACD中,AC=2AD=6cm,在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.方法总结:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形.【类型二】与角平分线或垂直平分线性质的综合运用如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于()A.3B.2C.1.5D.1解析:如图,过点P作PE⊥OB于E,∵PC∥OA,∴∠AOP=∠CPO,∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°.又∵PC=3,∴PE=eq\f(1,2)PC=eq\f(1,2)×3=1.5.∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,∴PD=PE=1.5.故选C.方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形.【类型三】利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由.解析:由条件先证△AED≌△BED,得出∠BAD=∠CAD=∠B,求得∠B=30°,即可得到CD=eq\f(1,2)DB.解:CD=eq\f(1,2)DB.理由如下:∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°.∵DE是∠ADB的平分线,∴∠ADE=∠BDE.又∵DE=DE,∴△AED≌△BED(ASA),∴AD=BD,∠DAE=∠B.∵∠BAD=∠CAD=eq\f(1,2)∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=∠B.∵∠BAD+∠CAD+∠B=90°,∴∠B=∠BAD=∠CAD=30°.在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,∴CD=eq\f(1,2)AD=eq\f(1,2)BD,即CD=eq\f(1,2)DB.方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.【类型四】利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知AC=50m,AB=40m,∠BAC=150°,这种草皮每平方米的售价是a元,求购买这种草皮至少需要多少元?解析:作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中,利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD,即△ABC的高.运用三角形面积公式计算面积求解.解:如图所示,作BD⊥CA于D点.∵∠BAC=150°,∴∠DAB=30°.∵AB=40m,∴BD=eq\f(1,2)AB=20m,∴S△ABC=eq\f(1,2)×50×20=500(m2).已知这种草皮每平方米a元,所以一共需要500a元.方法总结:解此题的关键在于作出CA边上的高,根据相关的性质推出高BD的长度,正确的计算出△ABC的面积.三、板书设计含30°角的直角三角形的性质性质:在直角三角形中,如
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