统计学：第九章 列联分析

Chapter9列联分析泰坦尼克的死亡记录1912年4月15日，豪华巨轮泰坦尼克与冰山相撞而沉没。1985年沉船遗骸被发现，船上的一幅画揭开了一段凄美的爱情故事：杰克&罗丝……据记载，当时船上有1316名乘客和892名船员共2208人，事故发生后幸存718人，约有2/3的人在海难中丧生，其中成年人2099人，儿童109人；男性1738人，女性470人；一等舱325人，二等舱285人，三等舱706人，船员舱892人。在幸存的718人中，男性374人，女性344人；成年人661人，儿童57人；一等舱203人，二等舱118人，三等舱178人，船员舱219人。☆★泰坦尼克的死亡记录死亡与性别有关吗？死亡与年龄有关吗？死亡与所在舱位有关吗？人们的价值观和对待死亡的态度有什么联系？让我们用数据说话本章重点解释列联表进行卡方检验数据的类型与列联分析数据定量数据(数值型数据)定性数据(品质数据)离散数据连续数据列联分析第一节分类数据与列联表一、分类数据二、列联表的构造三、列联表的分布一、分类数据分类变量的结果表现为类别例如：性别(男,女)各类别用符号或数字代码来测度使用分类或顺序尺度你吸烟吗?1.是；2.否你赞成还是反对这一改革方案?1.赞成；2.反对对分类数据的描述和分析通常使用列联表二、列联表的构造(contingencytable)由两个以上的变量交叉分类的频数分布表行变量的类别用r

表示，ri

表示第i

个类别列变量的类别用c

表示，cj

表示第j

个类别每种组合的观察频数用fij

表示表中列出了行变量和列变量的所有可能的组合，所以称为列联表一个

r行c

列的列联表称为r

c

列联表列联表的结构

(22列联表)列(cj)合计j=1j=2i=1f11f12f11+f12i=2f21f22f21+f22合计f11+f21f12+f22n列(cj)行(ri)表1基于性别与是否生还两个变量的列联表性别是否生还合计是否男性37413641738女性344126470合计71814902208★表2基于年龄与是否生还两个变量的列联表年龄是否生还合计是否成年人66114382099儿童5752109合计71814902208列联表的结构

(r

c

列联表的一般表示)列(cj)合计j=1j=2…i=1f11f12…r1i=2f21f22…r2:::::合计c1c2…n列(cj)行(ri)fij

表示第i

行第j

列的观察频数表3基于舱位与是否生还两个变量的列联表是否生还舱位等级合计一二三四是203118178219718否1221675286731490合计3252857068922208一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279反对该方案32753331141合计10012090110420【例】一个集团公司在四个不同的地区设有分公司，现该集团公司欲进行一项改革，此项改革可能涉及到各分公司的利益，故采用抽样调查方式，从四个分公司共抽取420个样本单位(人)，了解职工对此项改革的看法，调查结果如下表三、列联表的分布

（观察值分布）边缘分布-行边缘分布行观察值的合计数的分布例如，赞成改革方案的共有279人，反对改革方案的141人-列边缘分布列观察值的合计数的分布例如，四个分公司接受调查的人数分别为100人，120人，90人，110人2.条件分布与条件频数变量X条件下变量Y

的分布，或在变量Y

条件下变量X

的分布每个具体的观察值称为条件频数观察值的分布

(图示)一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279反对该方案32753331141合计10012090110420行边缘分布列边缘分布条件频数百分比分布

条件频数反映了数据的分布，但不适合对比为在相同的基数上进行比较，可以计算相应的百分比，称为百分比分布行百分比：行的每一个观察频数除以相应的行合计数(fij

/ri)列百分比：列的每一个观察频数除以相应的列合计数(fij

/cj)总百分比：每一个观察值除以观察值的总个数(fij

/n)百分比分布

(图示)一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案24.4%26.9%20.4%28.3%66.4%68.0%62.5%63.3571.8%—16.2%17.8%13.6%18.8%—反对该方案22.7%31.9%23.4%22.0%33.6%32.0%37.5%36.7%28.2%—7.6%10.7%7.9%7.4%—合计23.8%28.6%21.4%26.2%100%总百分比列百分比行百分比期望频数的分布

一分公司二分公司三分公司四分公司赞成该方案期望频数0.664*100=660.664*120=800.664*90=600.664*110=73反对该方案期望频数0.336*100=340.336*120=400.336*90=300.336*110=37观察值与期望频数的分布对比表一分公司二分公司三分公司四分公司赞成该方案实际频数68755779期望频数66806073反对该方案实际频数32753331期望频数34403037练习计算泰坦尼克号性别与是否生还的百分比分布与期望频数？性别是否生还合计是否男性37413641738期望值5651173女性344126470期望值153317

合计71814902208表1基于性别与是否生还两个变量的列联表性别是否生还合计是否男性3741364173821.52%78.48%78.71%52.09%91.54%16.94%61.78%女性34412647073.19%26.81%21.29%47.91%8.46%

15.58%5.71%

合计71814902208

32.52%67.48%100%第二节

检验一、

统计量检验步骤由阿贝(Abbe)

于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)

分别于1875年和1900年推导出来设，则令，则y服从自由度为1的

2分布，即对于n个正态随机变量y1

，y2

，yn，则随机变量称为具有n个自由度的

2分布，记为c2-分布

(

2-distribution)c2-分布

(性质和特点)1.期望为：E(

2)=n，方差为：D(

2)=2n(n为自由度)2.可加性：若U和V为两个独立的

2分布随机变量，U~

2(n1)，V~

2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的

2分布3.当时，

2分布的极限分布是正态分布不同自由度的c2-分布c2n=1n=4n=10n=20一、

统计量用于测定两个分类变量之间的相关程度

计算公式为

统计量

实际频数(fij)期望频数(eij)fij-eij(fij-eij)2687557793245333166806073344030372-5-36-253-64259364259360.06060.31250.15000.49320.11760.62500.30000.9730合计：3.0319拟合优度检验

(goodnessoffittest)检验多个比例是否相等检验的步骤提出假设H0：

1=2=…=j；H1：

1,2,…,j

不全相等

计算检验的统计量

进行决策根据显著性水平

和自由度(r-1)(c-1)查出临界值

2

若

2>

2，拒绝H0；若

2<

2，接受H0拟合优度检验

H0:

1=

2=

3=

4

H1:

1

2

3

4

不全相等

=0.1df=

(2-1)(4-1)=3临界值(s):统计量:

在

=0.1的水平上不能拒绝H0可以认为四个分公司对改革方案的赞成比例是一致的

决策:结论:

206.2153.0319

=0.1独立性检验

(testofindependence)检验列联表中的行变量与列变量之间是否独立检验的步骤为提出假设H0：行变量与列变量独立H1：行变量与列变量不独立计算检验的统计量进行决策根据显著性水平

和自由度(r-1)(c-1)查出临界值

2若

2

2，拒绝H0；若

2<

2，接受H0独立性检验

【例】一种原料来自三个不同的地区，原料质量被分成三个不同等级。从这批原料中随机抽取500件进行检验，结果如下表。检验各地区与原料之间是否存在依赖关系（0.05)地区一级二级三级合计甲地区526424140乙地区605952171丙地区506574189合计162188150500期望频数的分布假定行变量和列变量是独立的一个实际频数fij

的期望频数eij

，是总频数的个数n乘以该实际频数fij

落入第i

行和第j列的概率，即期望频数的分布

由于观察频数的总数为n

，所以f11

的期望频数e11应为

例如，第1行和第1列的实际频数为f11

,它落在第1行的概率估计值为该行的频数之和r1除以总频数的个数n

，即：r1/n；它落在第1列的概率的估计值为该列的频数之和c1除以总频数的个数n

，即：c1/n。根据概率的乘法公式，该频数落在第1行和第1列的概率应为独立性检验提出假设H0：地区与原料等级之间独立H1：地区与原料等级之间不独立计算检验的统计量根据显著性水平

＝0.05和自由度(3-1)(3-1)=4查出相应的临界值

2=9.488。由于

2=19.82>

2＝9.448，拒绝H0独立性检验

H0:地区与原料等级之间独立H1:地区与原料等级之间不独立

=0.05df=(3-1)(3-1)=4临界值(s):统计量:

在

=0.05的水平上拒绝H0地区和原料等级之间存在依赖关系决策:结论:

2019.829.488

=0.05练习以显著性水平为0.05检验泰坦尼克号年龄与是否生还有无关系表2基于年龄与是否生还两个变量的列联表年龄是否生还合计是否成年人66114382099儿童5752109合计71814902208解：年龄是否生还是否成年人6611438期望682.561416.44儿童5752期望35.4473.56拟合优度检验

H0:年龄与是否生还无关H1:

年龄与是否生还相关

=

0.05df=

(2-1)(2-1)=1临界值(s):统计量:

在

=0.05的水平上拒绝H0可以认为年龄与是否生还有关系决策:结论:

203.8415

=0.0520.44第三节列联表中的相关测量一、

相关系数二、列联相关系数三、V

相关系数列联表中的相关测量品质相关对品质数据(分类和顺序数据)之间相关程度的测度列联表变量的相关属于品质相关列联表相关测量的统计量主要有

相关系数列联相关系数V

相关系数

相关系数

(correlationcoefficient)测度22列联表中数据相关程度对于22列联表，

系数的值在0～1之间

相关系数计算公式为

相关系数

(原理分析)一个简化的22列联表因素Y因素X合计x1x2y1aba+by2cdc+d合计a+cb+dn

相关系数列联表中每个单元格的期望频数分别为将各期望频数代入

的计算公式得

相关系数将

入

相关系数的计算公式得ad等于bc，

=0，表明变量X与Y

之间独立若b=0

，c=0，或a=0

，d=0，意味着各观察频数全部落在对角线上，此时|

|=1,表明变量X与Y

之间完全相关列联表中变量的位置可以互换，

的符号没有实际意义，故取绝对值即可列联相关系数

(coefficientofcontingency)用于测度大于22列