高中数学选择性必修2课件：培优课 数列求和的常用方法(人教A版)

培优课数列求和的常用方法非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想1.转化思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；2.不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.类型一公式法【例1】

设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn；解设等比数列{bn}的公比为q.由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值.解由(1)知T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2.由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)或n＝4.∴n的值为4.类型二倒序相加法1010类型三裂项相消法【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比数列. (1)求数列{an}的通项公式；解

设等比数列{an＋1}的公比为q，其前n项和为Tn，因为S2＝2，S4＝16，所以T2＝4，T4＝20，当q＝－2时，a1＝－5，所以an＋1＝(－4)×(－2)n－1＝－(－2)n＋1.所以bn＝log2(3an＋3)＝n＋1，所以bn＝log2(3an＋3)＝n＋1，类型四分组求和法【例4】

已知等差数列{an}满足a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通项公式；解设数列{an}的公差为d，所以{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)若bn＝an＋qan(q>0)，求数列{bn}的前n项和Sn.解由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1.当q＝1时，bn＝2n，则Sn＝n(n＋1).所以数列{bn}的前n项和Sn＝【例5】已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求数列{an}的通项公式；类型五错位相减法解设{an}的公比为q，由题意知：a1(1＋q)＝6，

q＝a1q2，又an>0，解得：a1＝2，q＝2，所以an＝2n.又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn尝试训练1.设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*. (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.2.已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称中心为(1011，2).数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝f(n)，n∈N*.求S2021.解由条件得f(2×1011－x)＋f(x)＝2×2，即f(2022－x)＋f(x)＝4.于是有a2022－n＋an＝4(n∈N*).又S2021＝a1＋a2＋a3＋…＋a2020＋a2021，S2021＝a2021＋a2020＋…＋a2＋a1.两式相加得2S2021＝(a1＋a2021)＋(a2＋a2020)＋…＋(a2020＋a2)＋(a2021＋a1)＝2021(a1＋a2021)＝2021×4.故S2021＝2021×2＝4042.3.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3. (1)求an；解

设数列{an}的公差为d，解得a1＝3，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前2n项和T2n.解(1)设等差数列{an}的公差为d，由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1).∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1)＝(1－3)＋(5－7)＋…＋[(2n－3)－(2n－1)]＝(－2)×n＝－2n.5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝3Sn－2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式；解当n＝1时，a1＝3S1－2＝3a1－2，解得a1＝1.当n≥2时，an＝3Sn－2，an－1＝3Sn－1－2，(2)求数列{nan}的前n项和Tn.备用工具&资料5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝3Sn－2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式；解当n＝1时，a1＝3S1－2＝3a1－2，解得a1＝1.当n≥2时，an＝3Sn－2，an－1＝3Sn－1－2，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn2.已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称中心为(1011，2).数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝f(n)，n∈N*.求S2021.解由条件得f(2×1011－x)＋f(x)＝2×2，即f(2022－x)＋f(x)＝4.于是有a2022－n＋an＝4(n∈N*).又S2021＝a1＋a2＋a3＋…＋a2020＋a2021，S2021＝a2021＋a2020＋…＋a2＋a1.两式相加得2S2021＝(a1＋a2021)＋(a2＋a2020)＋…＋(a2020＋a2)＋(a2021＋a1)＝2021(a1＋a2021)＝2021×4.故S2021＝2021×2＝4042.【例5】已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求数列{an}的通项公式；类型五错位相减法解设{an}的公比为q，由题意知：a1(1＋q)＝6，

q＝a1q2，又an>0，解得：a1＝2，q＝2，所以an＝2n.类型一公式法【例1】

设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn；解设等比数列{bn}的公比为q.由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋