高中数学选择性必修2课件：5 3 1 第二课时 导数与函数的单调性（二）(人教A版)

第二课时导数与函数的单调性(二)课标要求素养要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.进一步理解函数的导数和其单调性的关系，提升数学运算素养与直观想象素养.解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.规律方法(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.①当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.解析

(1)易得f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.答案(1)B

(2)A答案(1)B

(2)A规律方法(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).【训练2】若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是(

) A.(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞) B.(－3，－1)∪(1，3) C.(－2，2) D.不存在这样的实数k解析由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根.又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，∴k－1<2<k＋1或k－1<－2<k＋1，∴1<k<3或－3<k<－1，故选B.答案

B题型三函数单调性的应用【例3】

(1)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则(

) A.e－2019f(－2019)<f(0)，e2019f(2019)>f(0) B.e－2019f(－2019)<f(0)，e2019f(2019)<f(0) C.e－2019f(－2019)>f(0)，e2019f(2019)>f(0) D.e－2019f(－2019)>f(0)，e2019f(2019)<f(0) (2)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)·f(x2－1)的解集是(

) A.(0，1) B.(2，＋∞) C.(1，2) D.(1，＋∞)解析

(1)构造函数h(x)＝exf(x)，则h′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex(f(x)＋f′(x))>0，所以函数h(x)在R上单调递增，故h(－2019)<h(0)，即e－2019f(－2019)<e0f(0)，即e－2019f(－2019)<f(0).同理，h(2019)>h(0)，即e2019f(2019)>f(0)，故选A.(2)构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以x＋1<x2－1，解得x>2或x<－1(舍).所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).故选B.答案

(1)A

(2)B解析

(1)构造函数h(x)＝exf(x)，则h′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex(f(x)＋f′(x))>0，所以函数h(x)在R上单调递增，故h(－2019)<h(0)，即e－2019f(－2019)<e0f(0)，即e－2019f(－2019)<f(0).同理，h(2019)>h(0)，即e2019f(2019)>f(0)，故选A.(2)构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以x＋1<x2－1，解得x>2或x<－1(舍).所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).故选B.答案

(1)A

(2)B【迁移1】把例3(1)中的条件“f(x)＋f′(x)>0”换为“f′(x)>f(x)”，比较

e2019f(－2019)和f(0)的大小.【迁移2】把例3(2)中的条件“f(x)<－xf′(x)”换为“f(x)<xf′(x)”，解不等式(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1).∵f(x)<xf′(x)，∴g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上是增函数，即不等式(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1)的解集为(0，2).答案CD一、素养落地1.通过学习导数与函数的单调性，提升数学运算与逻辑推理素养.2.对于含参数的导数的单调性，要清楚分类讨论的标准，做到不重不漏.3.利用函数的单调性求参数的取值范围的关键是转化为不等式的恒成立问题或存在性问题，再利用分离参数法或函数的性质求解.二、素养训练1.设函数f(x)＝2x＋sinx，则(

) A.f(1)>f(2) B.f(1)<f(2) C.f(1)＝f(2) D.以上都不正确

解析

f′(x)＝2＋cosx>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)<f(2).

答案

BA.1 B.2C.3 D.4解析

f′(x)＝x2－2ax，令f′(x)<0，由于a>0，故解得0<x<2a，故2a＝2，即a＝1.答案

AA.f(2)>f(e)>f(3) B.f(3)>f(e)>f(2)C.f(3)>f(2)>f(e) D.f(e)>f(3)>f(2)∴x∈(0，e)，f′(x)>0，x∈(e，＋∞)，f′(x)<0，故x＝e时，f(x)max＝f(e)，答案D4.若函数y＝x2－2bx＋6在(2，8)内是增函数，则实数b的取值范围是________.

解析由题意得y′＝2x－2b≥0在(2，8)内恒成立，

即b≤x在(2，8)内恒成立，所以b≤2.

答案

(－∞，2]解析

∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立.设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.答案

(－∞，－1]备用工具&资料4.若函数y＝x2－2bx＋6在(2，8)内是增函数，则实数b的取值范围是________.

解析由题意得y′＝2x－2b≥0在(2，8)内恒成立，

即b≤x在(2，8)内恒成立，所以b≤2.

答案

(－∞，2]A.1 B.2C.3 D.4解析

f′(x)＝x2－2ax，令f′(x)<0，由于a>0，故解得0<x<2a，故2a＝2，即a＝1.答案

A【迁移2】把例3(2)中的条件“f(x)<－xf′(x)”换为“f(x)<xf′(x)”，解不等式(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1).∵f(x)<xf′(x)，∴g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上是增函数，即不等式(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1)的解集为(0，2).解析由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根.又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间