高中数学选择性必修2课件：5 2 1 基本初等函数的导数(人教A版)

5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数

新知探究问题2函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？问题3函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？1.几个常用函数的导数2.基本初等函数的导数公式×√×提示若f(x)＝4x，则f′(x)＝4xln4.[微训练]1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于(

) A.0 B.2x

C.6 D.9

解析

∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.

答案

C2.求下列函数的导数：2.求下列函数的导数：题型一利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数：解

(1)y′＝0；规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.【训练1】求下列函数的导数：【训练1】求下列函数的导数：题型二利用导数公式解决切线问题角度1求切线的方程答案B角度2求参数值【例2－2】已知y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝________.角度3曲线上的点到直线的最小距离问题【例2－3】设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.解如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小.设直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0).因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).规律方法利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.解

(1)设所求切线的斜率为k.(2)设切点坐标为(x0，y0).即4x－y－1－ln4＝0.题型三导数公式的实际应用【例3】某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln1.1＝0.095)解由题意得p′(t)＝1.1tln1.1所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.规律方法由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.【训练3】从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cost表示.

求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)

解由q＝cost得q′＝－sint，

所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，

即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin5安，－sin7安.一、素养落地1.通过学习导数公式及应用导数公式求基本初等函数的导数，提升数学运算素养.2.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.二、素养训练1.函数y＝xe的导数是(

) A.y′＝xe B.y′＝exe－1 C.y′＝exe D.y′＝lnx

解析由(xα)′＝αxα－1得，y′＝exe－1.

答案

B答案D3.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为________.

解析

f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.

答案

1答案x＋9y－6＝05.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.

解析

∵y′＝(ex)′＝ex，∴在点(2，e2)处的切线斜率为k＝e2，∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，

即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.备用工具&资料答案x＋9y－6＝0答案D题型二利用导数公式解决切线问题角度1求切线的方程解

(1)y′＝0；问题2函数(2)(