高中数学选择性必修2课件：5 1 2 第二课时 导数的几何意义(人教A版)

第二课时导数的几何意义课标要求素养要求通过函数图象直观理解导数的几何意义.通过学习导数与曲线的切线的关系，理解导数的几何意义，发展学生直观想象素养.新知探究从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同.问题如果设曲线的方程为y＝f(x)，A(x0，f(x0))，那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？提示k＝f′(x0).1.切线的概念

在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线.2.

当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即导数的几何意义“在点(x0，f(x0))处”的切线就是指(x0，f(x0))是切点.3.导函数拓展深化[微判断]1.函数在x＝x0处的导数f′(x0)是一个常数.()2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率.()3.直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点.()

提示

也可能有多个公共点，如曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与曲线y＝x3有两个公共点.√√×答案B2.函数f(x)的图象如图所示，则(

)A.f′(1)>f′(2)>f′(3) B.f′(2)>f′(1)>f′(3)C.f′(3)>f′(2)>f′(1) D.f′(3)>f′(1)>f′(2)解析由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1).答案

C2.函数f(x)的图象如图所示，则(

)A.f′(1)>f′(2)>f′(3) B.f′(2)>f′(1)>f′(3)C.f′(3)>f′(2)>f′(1) D.f′(3)>f′(1)>f′(2)解析由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1).答案

C[微思考]1.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线吗？

提示不一定，例如直线x＝1与曲线y＝cosx只有一个公共点，但直线x＝1不是曲线y＝cosx的切线.2.导函数f′(x)与函数在x＝x0处的导数f′(x0)相同吗？它们有什么区别与联系？

提示不相同.(1)两者的区别：由导数的定义知，f′(x0)是一个具体的值，f′(x)是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在I上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数. (2)两者的联系：在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此是函数在某一点处的导数.∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.规律方法若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.规律方法若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.解曲线在点处的切线的斜率为k题型二求切点坐标或参数值【例2】

(1)已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为________. (2)若直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切，则b＝________.解析

(1)设切点坐标为(x0，y0)，因此x0＝±1，所以P(1，1)或P(－1，－1).因为点P在直线y＝3x＋b上，所以b＝±2.规律方法解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.【训练2】已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.解对于曲线f(x)＝x2－1，对于曲线g(x)＝1－x3，题型三与导数的几何意义有关的图象问题【例3】

(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(

)A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB)C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能确定(2)若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(

)解析

(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB).(2)函数f(x)的导函数f′(x)在[a，b]上是增函数，若对任意x1和x2满足a<x1<x2<b，则有f′(a)<f′(x1)<f′(x2)<f′(b)，根据导数的几何意义，可知函数y＝f(x)的切线斜率在[a，b]内单调递增，观察图象.只有A选项符合.答案

(1)B

(2)A规律方法导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小.A.f′(1)<f′(2)<a B.f′(1)<a<f′(2)C.f′(2)<f′(1)<a D.a<f′(1)<f′(2)答案B一、素养落地1.通过学习导数的几何意义，理解切线的斜率与导数的关系，培养数学运算和直观想象素养.二、素养训练1.若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(

) A.h′(a)＝0 B.h′(a)<0 C.h′(a)>0 D.h′(a)不存在

解析由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由导数的几何意义可知h′(a)＝－2<0.

答案

BA.－2 B.－1C.1 D.2答案D3.设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(

)所以2a＝2，所以a＝1(经检验，正确).答案

A答案3备用工具&资料答案3A.－2 B.－1C.1 D.2答案D题型二求切点坐标或参数值【例2】

(1)已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为________. (2)若直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切，则b＝________.解析

(1)设切点坐标为(x0，y0)，∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.问题如果设曲线的方程为y＝f(x)，A(x0，f(x0))，那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？提示k＝f′(x0).拓展深化[微判断]1.函数在x＝x0