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文档简介
第四章4.2.2等差数列的前n项和公式第一课时等差数列的前n项和公式及相关性质1.探索并掌握等差数列的前n项和公式.2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.课标要求素养要求在探索等差数列的前n项和公式及相关性质的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.等差数列前n项和公式是用____________推导的.倒序相加法2.等差数列的前n项和公式(1)等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝____________Sn＝_________________点睛3.等差数列前n项和的性质1.思考辨析，判断正误×(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等.(
)提示
当an＝0时，Sn＝an.(2)等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数.(
)提示
当公差d＝0时，Sn＝na1不是关于n的二次函数.×√(4)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和.(
)√1.思考辨析，判断正误×(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等.(
)提示
当an＝0时，Sn＝an.(2)等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数.(
)提示
当公差d＝0时，Sn＝na1不是关于n的二次函数.×√(4)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和.(
)√2.在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝(
) A.12 B.24 C.36 D.48B3.在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝(
) A.5或7 B.3或5 C.7或－1 D.3或－1D4.在等差数列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝999，则d＝________，项数n＝________.27课堂互动题型剖析2题型一等差数列前n项和公式的基本运算【例1】
在等差数列{an}中：(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；∴a1＋a10＝42，题型一等差数列前n项和公式的基本运算【例1】
在等差数列{an}中：(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；∴a1＋a10＝42，(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.∴n＝20.等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值.思维升华(2)利用等差数列的性质解题.【训练1】
(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2018，S6－2S3＝18，则S2020＝(
) A.－2018 B.2018 C.2019 D.2020D (2)(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是(
) A.a7 B.a8 C.S15 D.S16BC【例2】
(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；题型二等差数列前n项和性质的应用解
法一在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30，70，S3m－100成等差数列.∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.思维升华AC【例3】
若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.题型三求数列{|an|}的前n项和解
∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn已知等差数列{an}，求数列{|an|}的前n项和的注意事项：(1)一般地，数列{an}与数列{|an|}是两个不同的数列，只有当数列{an}的每一项都是非负数时，它们才表示同一个数列；(2)求{|an|}的前n项和，关键在于分清哪些项为正数，哪些项为负数，最终化为去掉绝对值符号后的数列求和；(3)数列{|an|}的前n项和求解的易错点在于没有考虑分类讨论，最后结果未分段表示.思维升华【训练3】
已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.解设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*).①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，1.掌握两个公式课堂小结分层训练素养提升3
一、选择题1.已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝(
) A.138 B.135 C.95 D.23C2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d等于(
) A.2 B.3 C.6 D.7
解析
由S2＝a1＋a2＝4及S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝20，得a3＋a4＝16，故(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d，即4d＝12，d＝3.B3.等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于(
) A.160 B.180 C.200 D.220B4.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(
) A.5 B.6 C.7 D.8B解析由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，∴4(a1＋an)＝280，5.在公差不为零的等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2011＝S2016，Sk＝S2008，则正整数k为(
) A.2017 B.2018 C.2019 D.2020C二、填空题6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.7.《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算).三、解答题9.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，求a9.解设等差数列的公差为d，则故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.解法一设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵S10＝100，S100＝10，法二∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，11.(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是(
)ABC解析
因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.12.已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7∶6，则中间项为________.29解得n＝13，所以S13＝13a7＝377，所以a7＝29.故中间项为29.＝－3n＋104.∵n＝1也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*).即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.(2)当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn4(n＋1)22n2＋6n∴an＝4(n＋1)2.又∵
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