高中数学选择性必修2课件：4 2 1 第一课时 等差数列的概念与通项公式(人教A版)

第四章 4.2等差数列

4.2.1等差数列的概念

第一课时等差数列的概念与通项公式1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.体会等差数列与一元一次函数的关系.课标要求素养要求在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.等差数列的概念条件从第____项起每一项与它的________的差都等于____________结论这个数列就叫做等差数列有关概念这个常数叫做等差数列的______，通常用字母____表示2前一项同一个常数公差d2.等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列.(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项.(3)满足的关系式是______________.a＋b＝2A点睛(1)任意两个实数都有等差中项.(2)应用等差中项法也可证明一个数列为等差数列，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔{an}为等差数列.3.等差数列的通项公式

首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝____________________.4.从函数角度认识等差数列{an}

若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d). (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加____.a1＋(n－1)dd1.思考辨析，判断正误(1)等差数列{an}的单调性与公差d有关.(

)(2)常数列是等差数列.(

)(3)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(

)提示

差都是同一个常数.(4)数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.(

)提示{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.√√××C解析

由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.C解析

由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.3.等差数列{1－3n}的公差d等于(

) A.1 B.3 C.－3 D.n

解析

∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5， ∴d＝a2－a1＝－3.C4.等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________.

解析

由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.2n－5课堂互动题型剖析2题型一等差数列的通项公式及其应用角度1等差数列通项公式的应用【例1】

在等差数列{an}中，(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；(3)已知a1＝12，a6＝27，求d；解

(1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.(3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.(4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，应用等差数列通项公式的思路方法及注意事项(1)在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可转化为有关a1，d的方程(组)求解，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.(2)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d和an＝am＋(n－m)d，一要注意选择使用，二要注意变形使用.(3)应用等差数列的通项公式可以将an，a1，n，d四个元素互求，可以知三求一.思维升华应用等差数列通项公式的思路方法及注意事项(1)在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可转化为有关a1，d的方程(组)求解，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.(2)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d和an＝am＋(n－m)d，一要注意选择使用，二要注意变形使用.(3)应用等差数列的通项公式可以将an，a1，n，d四个元素互求，可以知三求一.思维升华角度2等差数列项的设法【例2】

已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.解法一根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，故等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.法二由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d，故等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.等差数列项的常见设法如果三个数成等差数列，可根据项的对称性把这三个数设为a－d，a，a＋d；如果四个数成等差数列，可根据项的对称性把这四个数设为a

－3d，a－d，a＋d，a＋3d；如果五个或五个以上的数成等差数列，可根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，把这些数设为a1，a1＋d，a1＋2d，….思维升华B解析

设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由已知条件列方程组，【例3】

(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________.题型二等差中项及其应用6思维升华【训练2】

在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.解∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴该数列为－1，1，3，5，7.角度1等差数列的证明【例4】

(1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列.

证明

因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d.

从而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一个与n无关的常数，

所以数列{bn}也是等差数列.题型三等差数列的判定证明由于an＋1＝2an＋2n＋1，∴an＝n·2n.角度2等差数列的探究【例5】

数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*). (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.解

(1)∵an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)及a1＝2，a2＝－1，(2)不存在.∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，∴λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解，∴λ不存在，即不存在λ使{an}为等差数列.判断一个数列是否为等差数列的方法(1)定义法：aa＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.(2)定义变形法：验证数列的通项an是否满足an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*).(3)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列.(4)通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列.注意：要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可.思维升华1.在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”.在证明中应注意验证“第一项”也满足条件.2.(1)由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量. (2)等差数列的证明方法.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.设数列{an}(n∈N*)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于(

) A.4 B.3 C.2 D.1

解析

由a2＝a1＋d＝4，a4＝a1＋3d＝6，解得d＝1.D2.已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(

) A.15 B.22 C.7 D.29A解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.A4.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是(

)B5.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是(

) A.第7项

B.第8项 C.第9项

D.第10项

解析

∵a1＝20，d＝－3， ∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n， ∴a7＝2>0，a8＝－1<0.

故数列中第一个负数项是第8项.B二、填空题6.在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cosB＝________.7.已知等差数列{an}中，a1＋a2＝a4，a10＝11，则a12＝________.13故a12＝2＋11＝13.8.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.解析

设此等差数列为{an}，公差为d，三、解答题9.在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项；

(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.2n＋5＝91，得n＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项.∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，所以a10＝13－10＝3.A∴a11＝0.12.(多选题)已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N*)，则下列说法正确的有(

) A.数列{an}是等差数列

B.a2k＝7－2k(k∈N*) C.a2k－1＝12－2k(k∈N*) D.an＋an＋1＝18－3n

解析

由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于2a2≠a1＋a3，所以{an}不是等差数列，A不正确；

由an－an＋2＝2，知{an}的偶数项、奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当n＝2k(k∈N*)时，a2k＝a2＋(k－1)×(－2)＝7－2k，当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k－1＝a1＋(k－1)×(－2)＝12－2k，故B，C都正确；

当n＝2时，a2＋a3＝5＋8＝13不满足an＋an＋1＝18－3n，故D错误.BC13.在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*).(1)证明由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈