高中数学选择性必修2课件：4 2 1 第二课时 等差数列的性质及实际应用(人教A版)

第四章第二课时等差数列的性质及实际应用1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.课标要求素养要求通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.等差数列的图象等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以____为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.d2.等差数列通项公式的变形及推广3.等差数列的性质(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝____________.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的____，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为______数列.ap＋aq和等差(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为______的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为______的等差数列.(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为__________的等差数列.(5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为______数列；d<0⇔{an}为______数列；d＝0⇔{an}为常数列.dcd2dpd1＋qd2递增递减1.思考辨析，判断正误×(1)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(

)提示

反例：an＝n－1，a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9.(2)若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.(

)(3)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3，…也是等差数列.(

)提示

反例：设两数列为1，3，5，…，4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列.(4)若数列{an}为等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N*.(

)√×√2.在等差数列{an}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝(

) A.－1 B.2 C.4 D.6

解析

由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.B2.在等差数列{an}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝(

) A.－1 B.2 C.4 D.6

解析

由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.B3.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(

) A.a1＋a101>0 B.a2＋a101<0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝51

解析∵a1＋a2＋…＋a101＝0，

又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51， ∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.C4.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________.

解析

由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.－1课堂互动题型剖析2题型一an＝am＋(n－m)d的应用【例1】

在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.

解

因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.

又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N*.灵活利用等差数列通项公式的变形，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担.思维升华灵活利用等差数列通项公式的变形，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担.思维升华【训练1】

已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.8解析

法一

∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.＝2×5＋(－2)＝8.【例2】

(1)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(

) A.32 B.27 C.24 D.16题型二等差数列的性质C解析法一设等差数列{an}公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.法二在等差数列中，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7.又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5.∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24.根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，【迁移1】

(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15.

解法一因为a5，a10，a15成等差数列，

所以a5＋a15＝2a10.

所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32.

法二因为{an}为等差数列，设其公差为d，

所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，【迁移2】

(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8.解法一∵在等差数列{an}中a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450.解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.法二设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.根据an＝a1＋(n－1)d，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝450.∴a1＋4d＝90.而a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2×90＝180.等差数列性质的应用技巧已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是数列中的项.(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.思维升华【训练2】

(1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________. (2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.2027解析

(1)3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.(2)法一由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.法二设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.题型三等差数列的实际应用已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为(

)A.105.6寸

B.48寸

C.57.6寸

D.67.2寸C解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.思维升华【训练3】

假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米.20291.记牢等差数列的常见性质 (1)an，am是数列{an}中任意两项，则an＝am＋(n－m)d，此式既是通项公式的变形公式，又可作为等差数列的性质，经常使用. (2)若n，m，p，q∈N*，且n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq.

特别地：①若m＋n＝2k(k，m，n∈N*)，则有an＋am＝2ak.2.熟记等差数列实际应用的步骤.3.注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题C解析由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为(

) A.12 B.8 C.6 D.4

解析

由等差数列性质得， a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)

＝2a8＋2a8＝4a8＝32， ∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.BA4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五人个分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是(

)C5.等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(

) A.10 B.20 C.40 D.2＋log25

解析

因为2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4＝220，

所以原式＝log2220＝20.B二、填空题6.在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________.4解析

∵等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16，∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4.7.已知数列{an}是等差数列.若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________.18三、解答题9.已知数列{an}的首项a1＝3，通项公式为an＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且a1，a4，a5成等差数列，求p，q的值.

解由a1＝3，得2p＋q＝3.①

因为a1，a4，a5成等差数列，所以2a4＝a1＋a5.

又因为a4＝24p＋4q，a5＝25p＋5q，

所以3＋25p＋5q＝25p＋8q.②

由①②得p＝q＝1.故所求p，q的值都是1.10.对数列{an}，规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an(n∈N*).对于k≥2，k∈Z*，规定{Δkan}为{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an＝Δ(Δk－1an). (1)试写出一个等差数列的一阶差分数列的前5项；解由题意，一个等差数列的一阶差分数列是一个各项均为其公差的常数列.故可得许多一阶差分数列，如1，1，1，1，1，…(答案不唯一，符合题意即可).(2)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n(n∈N*)，试判断数列{Δan}，{Δ2an}是否为等差数列.解∵Δan＝an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，Δan＋1－Δan＝2，Δa1＝a2－a1＝4.∴{Δan}是首项为4，公差为2的等差数列.∴Δan＝2n＋2，∵Δ2an＝Δan＋1－Δan＝2(n＋1)＋2－(2n＋2)＝2，∴{Δ2an}是首项为2，公差为0的等差数列.D解析

设等差数列首项a1，d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∴数列{an}递增，p1正确；

[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}递增，p4正确，故选D.12.(多选题)已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2021是该数列的一项，则公差d不可能是(

) A.2 B.3 C.4 D.5BCD13.有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解设某单位需购买电视机n台.在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n)n－600n＝20n(10－n).当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少；当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少.因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.14.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________.12n－125备用工具&资料购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n)n－600n＝20n(10－n).当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少；当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少.因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买