高中数学选择性必修二课件第五章 一元函数的导数及其应用章末检测试卷二(第五章)(人教A版)

章末检测试卷二(第五章)(时间：120分钟满分：150分)第五章一元函数的导数及其应用12345678910111213141516171819202122一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是A.在x＝x0处的函数值B.在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C.曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率D.点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率√12345678910111213141516171819202122√123456789101112131415163.二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限√171819202122解析∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又其图象过原点，故顶点在第三象限.12345678910111213141516171819202122√解析y′＝cosx，∵cosx∈[－1,1]，∴切线的斜率的取值范围是[－1,1]，12345678910111213141516171819202122√∵曲线在点(1,0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，6.函数f(x)＝

的部分图象大致为12345678910111213141516171819202122√∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；12345678910111213141516171819202122∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故排除D.123456789101112131415161718192021227.若函数f(x)＝

(x>1)有最大值－4，则实数a的值是A.1 B.－1 C.4 D.－4√123456789101112131415161718192021227.若函数f(x)＝

(x>1)有最大值－4，则实数a的值是A.1 B.－1 C.4 D.－4√12345678910111213141516171819202122要使得函数f(x)有最大值－4，则a<0，则当x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1,2)上单调递增，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以当x＝2时，函数f(x)取得最大值，123456789101112131415161718192021228.x＝1是函数f(x)＝(x2＋2ax－a2－3a＋3)ex的极值点，则a的值为A.－2 B.3 C.－2或3D.－3或2√12345678910111213141516171819202122解析由f(x)＝(x2＋2ax－a2－3a＋3)ex，得f′(x)＝(x2＋2ax＋2x－a2－a＋3)ex，∵x＝1是函数f(x)的极值点，∴f′(1)＝6－a2＋a＝0，解得a＝3或a＝－2，当a＝－2时，f′(x)＝(x2－2x＋1)ex≥0恒成立，即f(x)单调递增，无极值点，舍去；当a＝3时，f′(x)＝(x2＋8x－9)ex＝0时，x＝1或x＝－9，满足x＝1为函数f(x)的极值点，∴a＝3.12345678910111213141516二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则171819202122√√12345678910111213141516解析当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；当－3<x<3时，f′(x)≥0；当x>3时，f′(x)<0.∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3).17181920212212345678910111213141516解析当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；当－3<x<3时，f′(x)≥0；当x>3时，f′(x)<0.∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3).17181920212212345678910111213141516171819202122解析由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，√√√12345678910111213141516171819202122√√令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0<x<3；令f′(x)＝0，得x＝3，故函数f(x)在区间(0,3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(3)＝1－ln3<0，1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122√√√12345678910111213141516171819202122解析对于A，f′(x)＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；对于B，f′(x)＝－e－x，－e－x＝e－x无解，无“巧值点”；12345678910111213141516三、填空题(本题共6小题，共20分)13.函数g(x)＝x3－6x2＋9x－10的零点有_____个.171819202122112345678910111213141516解析g(x)＝x3－6x2＋9x－10，故g′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，故函数在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在[1,3]上单调递减，则函数的极大值为g(1)＝1－6＋9－10＝－6<0，函数的极小值为g(3)＝27－54＋27－10＝－10<0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故函数共有1个零点.1718192021221234567891011121314151617181920212214.若函数的导数为f′(x)，且f(x)＝2f′(2)x＋x3，则f′(2)＝______.－12解析由题意得f′(x)＝2f′(2)＋3x2，∴f′(2)＝2f′(2)＋12，∴f′(2)＝－12.1234567891011121314151615.若函数y＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调函数，则a的最大值是_____.1718192021223解析y′＝－3x2＋a，由题意得－3x2＋a≤0在区间[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在区间[1，＋∞)上恒成立，据此可得a≤3，即a的最大值是3.16.已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表所示，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.下列关于f(x)的命题：x－1045f(x)1221①函数f(x)的极大值点为0,4；②函数f(x)在[0,2]上单调递减；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点；⑤函数y＝f(x)－a的零点个数可能为0,1,2,3,4.其中正确命题的序号是________.①②⑤1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516解析由f(x)的导函数y＝f′(x)的图象知，函数f(x)的极大值点为0,4，故①正确；因为在[0,2]上f′(x)≤0，故函数f(x)在[0,2]上单调递减，故②正确；由表和图象知0≤t≤5，所以③不正确；由f(x)＝a知，因为极小值f(2)未知，所以函数y＝f(x)－a零点的个数可能为0,1,2,3,4，所以④不正确，⑤正确.17181920212212345678910111213141516四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)已知函数f(x)＝alnx＋x2－3b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－4＝0.(1)求实数a，b的值；171819202122因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，且过点(1,2)，1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122由切线过点(2,4)，代入可解得x0＝2或x0＝－1，∴切点为(2,4)或(－1,1)，则切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.1234567891011121314151617181920212218.(12分)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋4，x＝1是函数f(x)的一个极值点.(1)求函数f(x)的单调递增区间；解由题意，得f′(x)＝6x2－2ax，f′(1)＝0，则a＝3.f(x)＝2x3－3x2＋4，f′(x)＝6x(x－1)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(1，＋∞).12345678910111213141516171819202122(2)当x∈[－1,2]时，求函数f(x)的最小值.解当x∈[－1,2]时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)

＋0－0＋

f(x)－1

极大值

极小值

8当x＝－1时，f(－1)＝2(－1)3－3(－1)2＋4＝－1；当x＝1时，f(1)＝2－3＋4＝3，所以当x∈[－1,2]时，函数f(x)的最小值为－1.1234567891011121314151617181920212219.(12分)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f′(2)的值；解∵f′(x)＝3x2－6，∴f′(2)＝6.12345678910111213141516171819202122(2)求f(x)的单调区间和极值；解f′(x)＝3(x2－2)，12345678910111213141516171819202122(3)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围.12345678910111213141516171819202122解令g(x)＝f(x)－a，则g′(x)＝f′(x)，1234567891011121314151617181920212220.(12分)已知函数f(x)＝x3－

x2＋6x－a.(1)若对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；12345678910111213141516(2)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.17181920212212345678910111213141516解f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，由f′(x)>0，得x>2或x<1；由f′(x)<0，得1<x<2，∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，1718192021221234567891011121314151621.(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为

(e为自然对数的底数)万件.已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元.(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；1718192021221234567891011121314151617181920212212345678910111213141516(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值.17181920212212345678910111213141516①若2≤a≤4，则33≤a＋31≤35，当35≤x≤41时，L′(x)≤0，L(x)单调递减，所以当x＝35时，L(x)取得最大值为500(5－a)e5；②若4<a≤5，则35<a＋31≤36，令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知当x＝a＋31时，L(x)取得最大值为500e9－a.综上所述，当2≤a≤4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元；当4<a≤5，且每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e9－a万元.1718192021221234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122则只需c≥f(x)min.12345678910111213141516171819202122当x∈[1,2]时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，∴f(x)min＝f(2)，12345678910111213141516171819202122(2)当b＝a时，若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求a的取值范围.12345678910111213141516171819202122当a＝0时，f(x)＝lnx，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，∵x>0，∴2ax2＋x＋a>0，∴f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；12345678910111213141516171819202122此时f(x)在(0，＋∞)上单