高中数学选择性必修二课件：5 2 1 基本初等函数的导数(人教A版)

5.2.1基本初等函数的导数第五章§5.2导数的运算1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝

，y＝

的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.学习目标同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟.导语随堂演练课时对点练一、基本初等函数的求导公式二、导数公式的应用三、利用导数研究曲线的切线方程内容索引一、基本初等函数的求导公式问题1回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？提示幂函数，指数函数，对数函数，三角函数.问题2如何求常函数f(x)＝c的导数？我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数：f(x)＝x⇒f′(x)＝1＝1x1－1；f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x＝2x2－1；f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2＝3x3－1；通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的规律，即(xα)′＝αxα－1.知识梳理基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__f(x)＝xα，(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝_______0cosx－sinx知识梳理基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__f(x)＝xα，(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝_______0cosx－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝___f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝axlnaex例1

求下列函数的导数：(1)y＝x0(x≠0)；解y′＝0.(3)y＝lgx；∴y′＝(cosx)′＝－sinx.反思感悟(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导.(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.(3)要特别注意“与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别.反思感悟(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导.(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.(3)要特别注意“与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别.跟踪训练1

求下列函数的导数：(1)y＝2021；解因为y＝2021，所以y′＝(2021)′＝0.所以y′＝

.(3)y＝4x；解因为y＝4x，所以y′＝4xln4.(4)y＝log3x.解因为y＝log3x，二、导数公式的应用例2

某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln1.1＝0.095)解由题意得p′(t)＝1.1tln1.1，所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.反思感悟由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.跟踪训练2

从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cost表示.求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安).解由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin5安，－sin7安.三、利用导数研究曲线的切线方程例3

已知曲线y＝lnx，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程.延伸探究1.已知y＝kx＋1是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝

.2.求曲线y＝lnx过点O(0,0)的切线方程.解∵O(0,0)不在曲线y＝lnx上.∴设切点为Q(x0，y0)，∴Q(e,1)，反思感悟(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪训练3

(1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为A.y＝12x－16 B.y＝12x＋16C.y＝－12x－16 D.y＝－12x＋16解析因为y′＝3x2，当x＝2时，y′＝12，故切线的斜率为12，切线方程为y＝12x－16.√(2)已知曲线y＝lnx的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为

.解析设切点为(x0，lnx0)，－1因为曲线y＝lnx在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.即x0＝1，所以切点为(1,0).所以1－0＋c＝0，所以c＝－1.1.知识清单：(1)常用函数的导数.(2)基本初等函数的导数公式及应用.(3)利用导数研究曲线的切线方程.2.方法归纳：方程思想、待定系数法.3.常见误区：不化简成基本初等函数.课堂小结随堂演练1234√√√解析对于A，y′＝0，故A错；显然C，D正确.12342.一质点的运动方程为s＝cost，则t＝1时质点的瞬时速度为A.2cos1 B.－sin1 C.sin1 D.2sin1√解析s′＝－sint，当t＝1时，s′|t＝1＝－sin1，所以当t＝1时质点的瞬时速度为－sin1.1234√1234x＋y－6＝0∴y′|x＝3＝－1，∴在点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.下列求导运算正确的是A.(cosx)′＝－sinx B.(x3)′＝x3lnxC.(ex)′＝xex－1 D.(lnx)′＝√12345678910111213141516解析∵②(x－1)′＝－x－2；④(cos2)′＝0.∴②④错误，故选B.√123456789101112131415163.函数y＝3x在x＝2处的导数为A.9 B.6 C.9ln3 D.6ln3√解析y′＝(3x)′＝3xln3，故所求导数为9ln3.123456789101112131415164.已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于A.4 B.－4 C.5 D.－5√解析∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴α＝4.12345678910111213141516√解析f′(x)＝－sinx，123456789101112131415166.(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为A.(－1,1) B.(－1，－1)C.(1,1) D.(1，－1)√√解析y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1).123456789101112131415164令y＝0，得x＝－a，123456789101112131415168.已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为

.解析∵f′(x)＝－sinx，g′(x)＝1，由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0，即sinx≥1，则sinx＝1，123456789101112131415169.点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.12345678910111213141516解如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近.则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以

＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1).1234567891011121314151612345678910111213141516解设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，因为y′＝2x，所以k＝2x0，又点(x0，y0)在切线上，解得x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.123456789101112131415综合运用1611.已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于A.2 B.0 C.1 D.－1√解析由题可知，函数y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)，直线x＋y－3＝0的斜率为－1，故－f′(1)＝－1得f′(1)＝1，故选C.1234567891011121314151612.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于A.－4 B.3 C.－2 D.1√12345678910111213141516解析由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析∵(sinx)′＝cosx，∴kl＝cosx，∴－1≤tanα≤1，又∵α∈[0，π)，1234567891011121314151614.设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2021(x)＝

.cosx解析由已知得，f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2021(x)＝f1(x)＝cosx.拓广探究1234567891011121314151615.函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是

.2112345678910111213141516又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.16.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，求a1＋a2＋…＋a99的值.12345678910111213141516解导函数y′＝(n