高中数学选择性必修二课件：5 2 3 简单复合函数的导数(人教A版)

第五章

§5.2导数的运算5.2.3简单复合函数的导数学习目标1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点复合函数的导数1.复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝

.思考函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？答案函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的.f(g(x))2.复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝

，即y对x的导数等于

.y′u·u′xy对

u的导数与u对x的导数的乘积1.y＝cos3x由函数y＝cosu，u＝3x复合而成.(

)2.函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos2x.(

)3.函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√×√2题型探究PARTTWO一、求复合函数的导数例1

求下列函数的导数：所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.一、求复合函数的导数例1

求下列函数的导数：所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.(3)y＝log2(2x＋1)；(2)y＝cos(x2)；解令u＝x2，则y＝cosu，所以y′x＝y′u·u′x＝－sinu·2x＝－2xsin(x2).解设y＝log2u，u＝2x＋1，解设y＝eu，u＝3x＋2，则yx′＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.(4)y＝e3x＋2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.跟踪训练1

求下列函数的导数：解设y＝

u＝1－2x，则y′x＝跟踪训练1

求下列函数的导数：解设y＝

u＝1－2x，则y′x＝(2)y＝5log2(1－x)；解函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′二、复合函数与导数的运算法则的综合应用例2

求下列函数的导数：反思感悟(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.跟踪训练2

求下列函数的导数：(2)y＝sin3x＋sinx3；解y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′＝3sin2xcosx＋cosx3·3x2＝3sin2xcosx＋3x2cosx3.(3)y＝xln(1＋x).解y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′例3

(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是三、与切线有关的综合问题√解析设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0).解由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率.反思感悟(1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求.两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件.(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域.在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内.1由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝

.该切线与坐标轴围成的面积为

.2解析令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.3随堂演练PARTTHREE1.(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是A.y＝un，u＝x2－1 B.y＝(u－1)n，u＝x2C.y＝tn，t＝(x2－1)n D.t＝x2－1,y＝tn√12345√2.函数y＝(2020－8x)3的导数y′等于A.3(2020－8x)2 B.－24xC.－24(2020－8x)2 D.24(2020－8x)212345√解析y′＝3(2020－8x)2×(2020－8x)′＝3(2020－8x)2×(－8)＝－24(2020－8x)2.3.函数y＝x2cos2x的导数为A.y′＝2xcos2x－x2sin2x

B.y′＝2xcos2x－2x2sin2xC.y′＝x2cos2x－2xsin2x

D.y′＝2xcos2x＋2x2sin2x12345√解析y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.4.已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝

.123455.曲线y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为

.x＋y－1＝012345又切点坐标为(1,0).∴y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.1.知识清单：(1)复合函数的概念.(2)复合函数的求导法则.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.(多选)下列函数是复合函数的是基础巩固√12345678910111213141516√√解析A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，12345678910111213141516D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成.2.函数y＝xln(2x＋5)的导数为√12345678910111213141516解析∵y＝xln(2x＋5)，解析y′＝(x3)′ecosx＋x3(ecosx)′＝3x2ecosx＋x3ecosx·(cosx)′＝3x2ecosx－x3ecosxsinx.3.函数y＝x3ecosx的导数为A.y′＝3x2ecosx＋x3ecosx

B.y′＝3x2ecosx－x3ecosxsinxC.y′＝3x2ecosx－x3esinx

D.y′＝3x2ecosx＋x3ecosxsinx12345678910111213141516√4.曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于A.2e B.e C.2 D.112345678910111213141516√解析∵y＝xex－1，∴y′＝ex－1＋xex－1，∴k＝y′|x＝1＝e0＋e0＝2，故选C.5.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为A.1 B.2 C.－1 D.－212345678910111213141516√解析设切点坐标是(x0，x0＋1)，由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.123456789101112131415166.函数y＝sin2xcos3x的导数是

.y′＝2cos2xcos3x－3sin2xsin3x解析∵y＝sin2xcos3x，∴y′＝(sin2x)′cos3x＋sin2x(cos3x)′＝2cos2xcos3x－3sin2xsin3x.123456789101112131415168.点P是f(x)＝(x＋1)2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是

，此时点P的坐标为

.12345678910111213141516解析与直线y＝x－1平行的f(x)＝(x＋1)2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最短.设切点为(x0，y0)，123456789101112131415169.求下列函数的导数：(1)y＝ln(ex＋x2)；12345678910111213141516解令u＝ex＋x2，则y＝lnu.(2)y＝102x＋3；解令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln10.(3)y＝sin4x＋cos4x.12345678910111213141516解∵y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2

x·cos2

x∴y′＝－sin4x.1234567891011121314151612345678910111213141516解∵y＝esinx，∴y′＝esinxcosx，∴y′|x＝0＝1.∴曲线y＝esinx在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.又直线l与x－y＋1＝0平行，故直线l可设为x－y＋m＝0.∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0.11.曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为综合运用√12345678910111213141516解析依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示.直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516所以y′∈[－1,0)，所以tanα∈[－1,0).123456789101112131415161234567891011121314151614.已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是

.y＝－2x－1解析设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝lnx－3x，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝lnx－3x，12345678910111213141516所以切线方程为y＝－2x－1.拓广探究√12345678910111