高中数学选择性必修二课件：4 2 2 第1课时 等差数列的前n项和公式(人教A版)

第1课时等差数列的前n项和公式第四章4.2.2等差数列的前n项和公式1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由

其中三个求另外两个.学习目标同学们，印度有一著名景点——泰姬陵，传说寝陵中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？大家通过预习可知，聪明的高斯给出了计算方法，这就是我们今天要研究的等差数列求和.导语随堂演练课时对点练一、等差数列前n项和公式的推导二、等差数列中与前n项和有关的基本运算三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列内容索引一、等差数列前n项和公式的推导问题1

请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题：花，

花.深浅，

芬葩.凝为雪，

错为霞.莺和蝶到，

苑占宫遮.已迷金谷路，

频驻玉人车.芳草欲陵芳树，

东家半落西家.愿得春风相伴去，

一攀一折向天涯.从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？提示诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根据对称性，可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出答案.问题2

网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？提示方法一对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究.通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S＝

，可见，结果与项数的奇偶无关.方法二(如图)在原式的基础上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n，即S＝1＋2＋3＋…＋n，S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和.提示方法一对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究.通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S＝

，可见，结果与项数的奇偶无关.方法二(如图)在原式的基础上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n，即S＝1＋2＋3＋…＋n，S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和.问题3

对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.提示倒序相加法知识梳理等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn＝_________Sn＝______________注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；(2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”；(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数.二、等差数列中与前n项和有关的基本运算例1在等差数列{an}中：(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.反思感悟等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝

结合使用.跟踪训练1

在等差数列{an}中：(1)a1＝1，a4＝7，求S9；解设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.(2)a3＋a15＝40，求S17；解得n＝15.三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列问题4

等差数列前n项和Sn＝na1＋

d是关于n的二次函数，它可以写成什么形式？例2

若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.解当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5.数列{an}是等差数列，证明如下：因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，所以数列{an}是等差数列.延伸探究若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.解∵Sn＝2n2－3n－1，

①当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2，当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1，

②①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5，经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立，故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列.反思感悟由Sn求通项公式an的步骤(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.(3)验证a1与an的关系：①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，②若a1不适合an，则an＝跟踪训练2

已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列.解当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.又a1＝1不满足an＝2n，∵a2－a1＝4－1＝3≠2，∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列.1.知识清单：(1)等差数列前n项和公式的推导过程.(2)等差数列前n项和有关的基本运算.(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列.2.方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法.3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.课堂小结随堂演练12341.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于解析∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，√12342.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于A.18 B.27 C.36 D.45√12343.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为A.1 B. C.2 D.3而a3＝4，所以a1＝0，√12344.数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝_____________.－2n＋2(n∈N*)解析当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0；当n≥2且n∈N*时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]＝－2n＋2，经检验，n＝1也适合该式.故an＝－2n＋2(n∈N*).课时对点练基础巩固123456789101112131415161.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于A.49 B.42 C.35 D.28解析2a6－a8＝a4＝6，S7＝

(a1＋a7)＝7a4＝42.√123456789101112131415162.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于A.10 B.15 C.20 D.30所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29(舍去).√123456789101112131415163.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1等于A.18 B.20 C.22 D.24解析由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.√123456789101112131415164.等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于A.160 B.180 C.200 D.220√解析由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，12345678910111213141516得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8.5.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为A.7 B.8 C.9 D.10√123456789101112131415166.(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于A.－1 B.3 C.5 D.7√√解析由题意知a1＋(n－1)×2＝11，

①由①②解得a1＝3或a1＝－1.123456789101112131415167.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝_____.解析因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.5123456789101112131415168.在等差数列{an}中，S10＝4S5，则

＝____.解析设数列{an}的公差为d，所以10a1＋45d＝20a1＋40d，所以10a1＝5d，123456789101112131415169.在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；解设数列{an}的首项为a1，公差为d.∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.12345678910111213141516(2)若Sn＝242，求n.12345678910111213141516即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去).故n＝11.1234567891011121314151610.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25.(1)求{an}的通项公式；12345678910111213141516解设公差为d，由S5＝a5＋a6＝25，∴a1＝－1，d＝3.∴{an}的通项公式为an＝3n－4.12345678910111213141516(2)求等差数列{an}的前n项和Sn.解由(1)知an＝3n－4，得{an}的前n项和为123456789101112131415综合运用1611.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为A.765 B.665 C.763 D.663√解析∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，1234567891011121314151612.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为A.5 B.6 C.7 D.8√解析由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，∴4(a1＋an)＝280，∴a1＋an＝70.∴n＝6.1234567891011121314151613.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于√12345678910111213141516解析由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，1234567891011121314151614.把形如M＝mn(m，n∈N*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”.例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是_____.35解析设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，拓广探究1234567891011121314151615.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应的函数的图象的是√√√12345678910111213141516解析因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.16.已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.(1)求数列{an}的通项公式；1234567891011121314151612345678910111213141516解∵S4＝28，∴a2＋a3＝14，又a2a3＝45，公差d>0，∴a2<a3，∴a2＝5，a3＝9，∴