第一章　集合、常用逻辑用语与不等式-备战2025年高考数学一轮复习

第一节集合[学习要求]1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，能用Venn图表达集合间的基本关系和基本运算.[知识梳理]知识点集合1.集合的含义与表示元素与集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）集合中元素的特征确定性、互异性、无序性集合的表示方法列举法、描述法和图示法特定集合的记法正整数集N*或N＋，自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R元素与集合之间的关系“属于”或“不属于”，记为“∈”或“∉”2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言记法Venn图子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⊆B，且∃x∈B，x∉AA⫋B或B⫌A续表关系自然语言符号语言记法Venn图集合相等集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A⊆B，且B⊆AA＝B3.集合的基本运算运算交集并集补集Venn图符号语言A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}∁UA＝{x｜x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质（1）（A∩B）⊆A，（A∩B）⊆B，A∩B＝B∩A，A∩B＝A⇔A⊆B，A∩⌀＝⌀.（2）A⊆（A∪B），B⊆（A∪B），A∪B＝B∪A，A∪B＝B⇔A⊆B，A∪⌀＝A.（3）∁UU＝⌀，∁U⌀＝U，∁U（∁UA）＝A，A∪（∁UA）＝U，A∩（∁UA）＝⌀，∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.学生用书⬇第2页[小题诊断]1.（多选）已知集合A＝{x｜x≤23，x∈R}，a＝14，b＝22，则（  ）A.a∈A B.a∉A C.b∈A D.b∉A 答案：BC解析：由14＞12＝23，可得a∉A；由22＜23，可得b∈A.2.（2024·北京模拟）已知全集U＝{x｜－3＜x＜3}，集合A＝{x｜0＜x＜2}，则∁UA＝（  ）A.0B.－3，C.－D.－3，答案：D解析：全集U＝{x｜－3＜x＜3}，集合A＝{x｜0＜x＜2}，由补集定义可知：∁UA＝{x｜－3＜x≤0或2≤x＜3}，即∁UA＝－3，03.已知集合A＝{0}，B＝{－1，0，1}.若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为（  ）A.1 B.2 C.4 D.8答案：C解析：由题意知含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0，1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个.4.（2021·全国乙卷）已知集合S＝{s｜s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t｜t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝（  ）A.⌀ B.SC.T D.Z答案：C解析：依题知T⫋S，则S∩T＝T.考点一集合的含义与表示[例1]（1）（2024·海南海口模拟）已知集合A＝xx∈Z，A.2 B.3 C.4 D.5（2）（多选）已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的可能取值为（  ）A.1 B.－1 C.3 D.2[答案]（1）C（2）AC[解析]（1）因为x∈Z，且32－x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合（2）因为5∈M，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，解得m＝3，或m＝1，m＝－1.当m＝3时，M＝{1，5，13}，符合题意；当m＝1时，M＝{1，3，5}，符合题意；当m＝－1时，M＝{1，1，5}，不满足集合中元素的互异性，不成立，所以m＝3或m＝1.┃方法总结┃确定集合的注意点1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.1.（2024·江苏泰州模拟）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（  ）A.5 B.6 C.10 D.15答案：D解析：因为x∈A，y∈A，x－y∈A，所以分以下5种情况：①x－y＝1，有四个，（1，0），（2，1），（3，2），（4，3）；②x－y＝2，有三个，（2，0），（3，1），（4，2）；③x－y＝3，有两个，（4，1），（3，0）；④x－y＝4，有一个，（4，0）；⑤x－y＝0，有五个，（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.综上，B中所含元素的个数为15.2.（2024·山东济南模拟）已知集合A＝x，x2+1,−1答案：1解析：因为x2＋1－x＝x－122＋34＞0，所以x2＋1＞x，所以x2＋1＝2，解得x＝1显然x＝－1不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验x＝1符合题意.考点二集合间的基本关系[例2]（1）已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a－2}，若A＝B，则a等于（  ）A.1或2 B.－1或－2C.2 D.1（2）（2023·新高考Ⅱ卷）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}.若A⊆B，则a＝（  ）A.2 B.1 C.23 D.－（3）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为    .[答案]（1）C（2）B（3）（－∞，3][解析]（1）∵A＝B，∴3a－2＝a2，解得a＝1或a＝2.当a＝1时，集合A＝{0，1，1}，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝2时，集合A＝{0，1，4}，集合B＝{1，0，4}，符合题意，所以a＝2.（2）若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A⊆B，所以a＝1.（3）因为B⊆A，所以分以下两种情况：①若B＝⌀，则2m－1＜m＋1，此时m＜2；②若B≠⌀，则2m－1≥m+1由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3].┃方法总结┃1.子集个数的求解方法穷举法将集合的子集一一列举出来，从而得到子|集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况公式法含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集的个数是2n一1，非空真子集的个数是22.已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图或图象帮助分析，同时还要注意空集分类讨论等情况.学生用书⬇第3页3.已知集合A＝{1，2，3，5，10}，B＝{x｜x为质数}，则A∩B的非空子集的个数为（  ）A.4 B.7 C.8 D.16答案：B解析：法一：因为A＝{1，2，3，5，10}，B＝{x｜x为质数}，所以A∩B＝{2，3，5}，A∩B的非空子集为{2}，{3}，{5}，{2，3}，{2，5}，{3，5}，{2，3，5}，共7个.法二：因为A＝{1，2，3，5，10}，B＝{x｜x为质数}，所以A∩B＝{2，3，5}，共有3个元素.故非空子集的个数为23－1＝7.4.已知集合A＝xx=2k＋1A.A⊆B B.A∩B＝⌀C.A＝B D.A⊇B答案：A解析：当k＝3n时，x＝6n+13，n当k＝3n＋1时，x＝2（3n+1）+1当k＝3n＋2时，x＝2（3n+2）+1所以B＝xx因为A＝xx＝6k+135.（2024·九省联考测试）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，则m的最小值为    .答案：5解析：已知A∩B＝A，则A⊆B.∵B＝{x｜｜x－3｜≤m}，∴B＝{x｜3－m≤x≤3＋m}，∴3∴m≥5，∴mmin＝5.考点三集合的基本运算◉角度（一）集合的基本运算[例3]（1）（2023·新高考Ⅰ卷）已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（  ）A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}C.{－2} D.{2}（2）（2023·全国甲卷）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（  ）A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.⌀[答案]（1）C（2）A[解析]（1）由x2－x－6≥0，得x≥3或x≤－2，∴N＝{x｜x≥3，或x≤－2}，因此M∩N＝{－2}.（2）∵M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，∴M∪N＝{x｜x＝3k＋1，或x＝3k＋2，k∈Z}.又U为整数集，∴∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}.◉角度（二）利用集合运算求参数或参数的范围[例4]（1）（2020·全国Ⅰ卷）设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，则a＝（  ）A.－4 B.－2C.2 D.4（2）设A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}.已知A∩B＝{9}，则a＝     ，A∪B＝     .[答案]（1）B（2）－3{－7，－4，－8，4，9}[解析]（1）A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝xx由A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，知－a2＝1，所以a＝－（2）因为A∩B＝{9}，所以9∈A，所以a2＝9或2a－1＝9，解得a＝±3或a＝5.当a＝3时，A＝{－4，5，9}，B＝{－2，－2，9}，B中元素不满足集合元素的互异性，舍去.当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－4，－7，－8，4，9}.当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去.综上所述，a＝－3，A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}.┃方法总结┃利用集合的运算求参数的方法1.与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍．2.若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组）求解.注意：在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性6.（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x｜｜x－1｜≤1}，则A∩B＝（  ）A.{－1，2} B.{1，2}C.{1，4} D.{－1，4}答案：B解析：由｜x－1｜≤1得0≤x≤2，则B＝{x｜0≤x≤2}，∴A∩B＝{1，2}.7.（2024·河南焦作模拟）若集合A＝{x｜2x2－9x＞0}，B＝{x｜x≥2}，则（∁RA）∪B＝（  ）A.2，9C.[0，＋∞） D.（0，＋∞）答案：C解析：因为A＝{x｜2x2－9x＞0}＝xx所以∁RA＝x0≤x≤92.又B＝{x｜x≥2}，所以（∁RA）∪B＝8.（多选）已知集合A＝{x｜x＋1≤0}，B＝{x｜x≥a}.若A∪B＝R，则实数a的值可以为（  ）A.2 B.－1C.0 D.－2答案：BD解析：∵A＝{x｜x≤－1}，B＝{x｜x≥a}，且A∪B＝R，∴a≤－1，∴实数a的值可以为－1，－2.考点四与集合有关的新定义问题[例5]（1）（2024·云南保山模拟）定义集合运算：A＋B＝zz＝x＋y，x∈A，y∈BA.14 B.15C.16 D.18（2）（多选）（2024·湖南邵阳模拟）若对任意x∈A，1x∈A，则称AA.－1，1C.xx2>[答案]（1）A（2）ABD[解析]（1）由题设知A＋B＝2，∴所有元素之和为2＋3＋4＋5＝14.（2）根据“影子关系”集合的定义，可知－1，1，12，2，由xx2>1，得xx＜－1或x>1，当x＝2学生用书⬇第4页┃方法总结┃解“新定义”题的方法“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础，以不变应万变才是制胜法宝．对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．9.（2024·湖南长沙模拟）定义集合A÷B＝zz＝xy，x∈A，y∈B.已知集合A.3 B.4C.5 D.6答案：B解析：因为A＝4，8，B＝所以A÷B＝1，2，4，810.（2024·安徽蚌埠模拟）对于数集A，B，定义A＋B＝x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B，A÷B＝{xx＝ab，A.102 C.212 D.答案：D解析：根据新定义，数集A，B，定义A＋B＝x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B，A÷B＝{xx＝ab，a∈A，b∈B}，集合A用Venn图解决有关集合问题[例]（1）（多选）图中阴影部分所表示的集合是（  ）A.M∩∁UNB.N∩∁UMC.M∩∁UND.∁UM（2）（2024·湖北黄冈模拟）已知全集为U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列运算结果为U的是（  ）A.M∪N B.∁UNC.M∪∁UN D.N[答案]（1）AC（2）D[解析]（1）如图，对于A，∁UN＝①＋④，则M∩∁UN＝④，故A正确；对于B，∁UM＝①＋②，则N∩∁UM＝②，故B错误；对于C，M∩N＝③，∁UM⋂N＝①＋②＋④，故M∩∁UN⋂M对于D，∁UM∩∁UN＝①（2）全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，绘制Venn图，如图所示.对于A：M∪N＝N，A错误；对于B：∁UN∪∁UM＝∁U对于C：M∪∁UN⊆U，对于D：N∪∁UM＝U，D┃方法总结┃利用Venn图可以迅速地解决多个集合之间的关系及运算问题，需要引起重视.1.（2024·江西南昌模拟）已知全集U＝R，集合A＝1，2，3，集合A.2，3 C.4 D.0答案：D解析：根据交集和补集的定义，图中的阴影部分表示的集合为B∩∁UA，即B∩∁UA＝0，2.调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（  ）A.最多人数是55 B.最少人数是55C.最少人数是75 D.最多人数是80答案：B解析：设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则x∈[0，20]，以上两种药都带的人数为y.根据题意画出Venn图，如图所示，由图可知，x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.学生用书⬇第269页[A组基础保分练]1.设集合A＝{0}，B＝{2，m}，且A∪B＝{－1，0，2}，则实数m＝（  ）A.－1 B.1C.0 D.2答案：A解析：∵A＝{0}，B＝{2，m}，且A∪B＝{－1，0，2}，∴－1∈B，∴m＝－1.2.（2022·全国甲卷）设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝x｜0≤x＜5A.{0，1，2} B.{－2，－1，0}C.{0，1} D.{1，2}答案：A解析：集合A中的元素只有0，1，2属于集合B，所以A∩B＝{0，1，2}.3.（2022·北京卷）已知全集U＝{x｜－3＜x＜3}，集合A＝{x｜－2＜x≤1}，则∁UA＝（  ）A.（－2，1] B.（－3，－2）∪[1，3）C.[－2，1） D.（－3，－2]∪（1，3）答案：D解析：法一：因为全集U＝（－3，3），A＝（－2，1]，所以∁UA＝（－3，－2]∪（1，3）.法二：因为1∈A，所以1∉∁UA，可排除A选项和B选项；0∈A，所以0∉∁UA，可排除C选项.4.（2023·北京卷）已知集合M＝{x｜x＋2≥0}，N＝{x｜x－1＜0}，则M∩N＝（  ）A.{x｜－2≤x＜1} B.{x｜－2＜x≤1}C.{x｜x≥－2} D.{x｜x＜1}答案：A解析：由题意，M＝{x｜x＋2≥0}＝{x｜x≥－2}，N＝{x｜x－1＜0}＝{x｜x＜1}，根据交集的运算可知，M∩N＝{x｜－2≤x＜1}.5.已知集合A＝{x∈N*｜x2－3x－4＜0}，则集合A的真子集有（  ）A.7个 B.8个C.15个 D.16个答案：A解析：∵集合A＝{x∈N*｜x2－3x－4＜0}＝{x∈N*｜－1＜x＜4}＝{1，2，3}，∴集合A中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7（个）.6.（2023·天津卷）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则（∁UB）∪A＝（  ）A.{1，3，5} B.{1，3}C.{1，2，4} D.{1，2，4，5}答案：A解析：由题意知∁UB＝{3，5}，∴A∪（∁UB）＝{1，3，5}.7.（多选）满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是（  ）A.{5} B.{1，5}C.{3} D.{1，3}答案：AB解析：由{1，3}∪A＝{1，3，5}知，A⊆{1，3，5}，且A中至少有1个元素5.8.（多选）已知集合A＝{x｜x＞－1，x∈R}，B＝{x｜x2－x－2≥0，x∈R}，则下列关系中错误的是（  ）A.A⊆B B.∁RA⊆∁RBC.A∩B＝⌀ D.A∪B＝R答案：ABC解析：∵A＝（－1，＋∞），B＝（－∞，－1]∪[2，＋∞），∴A∪B＝R，D正确，其余选项均错误.9.（2024·浙江台州模拟）若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则∁U（M∪N）＝    .答案：{4}解析：∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∪N＝{1，2，3}，∴∁U（M∪N）＝{4}.10.已知集合1，a，ba＝{0，a2，a＋b}，则a2023＋答案：－1解析：易知a≠0，ba＝0，即b＝0所以a2＝1，即a＝±1.又由集合中元素的互异性，知a≠1，所以a＝－1，故a2023＋b2024＝（－1）2023＋02024＝－1.11.已知集合A＝{x｜x2＋2ax＋2a≤0}，若A中只有一个元素，则实数a的值为    .答案：0或2解析：∵集合A＝{x｜x2＋2ax＋2a≤0}，A中只有一个元素，∴Δ＝4a2－8a＝0，解得a＝0或a＝2，∴实数a的值为0或2.12.已知集合A＝{x｜x－a≤0}，B＝{1，2，3}.若A∩B≠⌀，则a的取值范围为    .答案：[1，＋∞）解析：集合A＝{x｜x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠⌀，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.13.（2024·河南郑州模拟）已知集合A＝x∈N*

x＝m答案：6（或8，或10，填其中一个即可）解析：由集合A＝x有15个真子集，得集合A中含有4个元素，则m有4个因数，则除1和它本身m外，还有2个因数，所以m的值可以为6，8，10，故m的一个值为6（或8，或10）.14.已知集合A＝{x｜x2＝4，x∈R}，B＝{x｜kx＝4，x∈R}.若B⊆A，则实数k＝    .答案：0，2，－2解析：A＝{x｜x2＝4，x∈R}＝{－2，2}.因为B⊆A，所以B＝⌀，或B＝{2}，或B＝{－2}，或B＝{－2，2}.因为方程kx＝4最多有一个实数根或无实数根，因此分类讨论如下：当B＝⌀时，方程kx＝4无实根，所以k＝0；当B＝{2}时，2是方程kx＝4的实根，故2k＝4⇒k＝2；当B＝{－2}时，－2是方程kx＝4的实根，故－2k＝4⇒k＝－2.综上可知，实数k＝0，2，－2.[B组能力提升练]15.已知集合M＝{（x，y）｜y＝3x2}，N＝{（x，y）｜y＝5x}，则M∩N中的元素个数为（  ）A.0 B.1C.2 D.3答案：C解析：由y=3x2，y=5x，解得16.已知集合A＝13，12，1，2，3，则具有性质“若A.3 B.7C.15 D.31答案：B解析：满足“x∈A，且1x∈A”的A的非空子集为{1}12，2，13，3，12，1，17.已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素.若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为（  ）A.mn B.m＋nC.n－m D.m－n答案：D解析：因为（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素，如图中阴影部分所示，又U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有（m－n）个元素.18.（多选）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数可能是（  ）A.5 B.6C.7 D.8答案：AB解析：如图所示，（a＋b＋c＋x）表示周一开车上班的职工人数，（b＋d＋e＋x）表示周二开车上班的职工人数，（c＋e＋f＋x）表示周三开车上班的职工人数，x表示这三天都开车上班的职工人数.则a得a+2b+2c＋d+2e＋f+3x=32，a＋b＋c＋19.设集合U＝{（x，y）｜x∈R，y∈R}，A＝{（x，y）｜2x－y＋m≥0}，B＝{（x，y）｜x＋y－n＞0}.若点P（2，3）∈A∩（∁UB），则m＋n的最小值为     .答案：4解析：A＝{（x，y）｜2x－y＋m≥0}，∁UB＝{（x，y）｜x＋y－n≤0}，由于P（2，3）∈A∩（∁UB），所以2×2所以m＋n≥4，即m＋n的最小值为4.20.定义P☉Q＝zz＝yx＋xy，x∈P，y∈Q，已知P＝{0答案：1解析：x，y取不同值时z的值如下表所示.yzx12010＋01＝20＋02＝－21－2＋－212－2＋－22所以P☉Q＝1,学生用书⬇第5页第二节常用逻辑用语[学习要求]1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，理解性质定理与必要条件、判定定理与充分条件、数学定义与充要条件的关系.2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确使用全称量词命题、存在量词命题进行否定.[知识梳理]知识点一充分条件、必要条件与充要条件记p：x∈A，q：x∈B，则p是q的充分条件p⇒qA⊆Bp是q的必要条件q⇒pA⊇Bp是q的充要条件p⇒q且q⇒pA＝Bp是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pA⫋Bp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pA⫌Bp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/pA不包含于B且A不包含B知识点二全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任给、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、对某些、有的等∃2.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称量词命题对M中任意一个x，p（x）成立∀x∈M，p（x）∃x∈M，p（x）续表命题名称语言表示符号表示命题的否定存在量词命题存在M中的某个元素x，p（x）成立∃x∈M，p（x）∀x∈M，p（x）[小题诊断]1.命题“∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定是（  ）A.∀a∉R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根B.∃a∉R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根C.∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根D.∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1≠0没有实根答案：C解析：根据全称量词命题的否定形式可知，命题“∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定是“∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根”.2.已知条件p：x＞1，条件q：x≥2，则p是q的（  ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：∵{x｜x≥2}⫋{x｜x＞1}，∴p是q的必要不充分条件.3.（2024·天津模拟）命题p：x＜－1，则命题p的一个充分不必要条件为（  ）A.x＜－1B.x＜2C.－8＜x＜2D.－10＜x＜－3答案：D解析：由于－10＜x＜－3⇒x＜－1，反之不成立，所以命题p的一个充分不必要条件为－10＜x＜－3，其他选项均不符合.学生用书⬇第6页考点一充分条件、必要条件及充要条件的判断◉角度（一）定义法判断充分、必要条件[例1]（1）（2023·天津卷）“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（  ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件（2）（2021·全国甲卷）等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则（  ）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[答案]（1）B（2）B[解析]（1）由a2＝b2，得｜a｜＝｜b｜；由a2＋b2＝2ab，得（a－b）2＝0，∴a＝b.a＝b⇒｜a｜＝｜b｜，而由｜a｜＝｜b｜不能推出a＝b，∴“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.（2）当q＝1，a1＜0时，等比数列{an}的前n项和Sn＝na1＜0，可知{Sn}是单调递减数列，因此甲不是乙的充分条件；若{Sn}是递增数列，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＞0，即a1qn－1＞0恒成立，而只有当a1＞0，q＞0时，a1qn－1＞0恒成立，所以可得q＞0，因此甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.◉角度（二）集合法判断充分、必要条件[例2]设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（  ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案]B[解析]由x2－5x＜0可得0＜x＜5.由｜x－1｜＜1可得0＜x＜2.由于区间（0，2）是（0，5）的真子集，故“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件.┃方法总结┃1.充分、必要条件的判断方法利用定义判断直接判断“若p，则q”“若q，则力”的真假.在时，确定条件是什么、结论判断是什么从集合的角度判断利用集合中包含关系判定，即可解决充分、必要性的问题2.不能将“若p，则q”与“p一q”混为一谈，只有“若力，则q”为真命题时，才有“力一q”，即“p一q”一“若力，则q”为真命题.1.若集合A＝{x｜x2－5x＋4＜0}，B＝{x｜｜x－a｜＜1}，则“a∈（2，3）”是“B⊆A”的（  ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：A＝{x｜1＜x＜4}，B＝{x｜a－1＜x＜a＋1}.∵B⊆A，∴a－1≥1，a∵（2，3）⫋[2，3]，∴“a∈（2，3）”是“B⊆A”的充分不必要条件.2.如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的（  ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案：C解析：设集合A＝{（x，y）｜x≠y}，B＝{（x，y）｜cosx≠cosy}，则A的补集C＝{（x，y）｜x＝y}，B的补集D＝{（x，y）｜cosx＝cosy}，显然C⫋D，所以B⫋A.于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件.3.（2022·浙江卷）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（  ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：根据sinx＝1解得x＝π2＋2kπ，k∈Z，此时cosx＝cosπ2+2kπ＝cosπ2＝0.根据cosx＝0解得x＝π2＋kπ，k∈Z，此时sinx＝sinπ2＋kπ＝±1.故“sinx考点二充分条件、必要条件及充要条件的应用[例3]设命题p：｜4x－3｜≤1；命题q：x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0.若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围是    .[答案]0[解析]解｜4x－3｜≤1，得12≤x≤1.解x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，得a≤x≤a＋∵q是p的必要不充分条件，即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不能推出命题p成立，∴12，1⫋[a，a＋∴a≤12且a＋1≥1解得0≤a≤12∴实数a的取值范围是0，┃方法总结┃己知充分、必要条件或充要条件求参数取值范围的策略巧用转化求参数把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组）求解，注意条件的等价变形端点值慎取舍在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍学生用书⬇第7页4.若x＞0，则x＋2024A.a＞80 B.a＜80C.a＞100 D.a＜100答案：B解析：当x＞0时，x＋2024x≥22024＝4506，因为x＋2024x≥a（x＞0）恒成立，所以a考点三全称量词命题与存在量词命题[例4]（1）命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（  ）A.∀x∈R，｜x｜＞0B.∃x∈R，｜x｜＞0C.∀x∈R，｜x｜≤0D.∃x∈R，｜x｜≤0（2）已知命题p：∀x＞0，x2＋1≥1，则¬p为（  ）A.∃x≤0，x2＋1＜1B.∃x≤0，x2＋1≥1C.∃x＞0，x2＋1＜1D.∃x＞0，x2＋1≤1（3）已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是（  ）A.{a｜a＜1} B.{a｜a≤1}C.{a｜a＞1} D.{a｜a≥1}[答案]（1）C（2）C（3）D[解析]（1）由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题.（2）全称量词命题的否定为存在量词命题.若命题p：∀x＞0，x2＋1≥1，则p：∃x＞0，x2＋1＜1.（3）∵p为假命题，∴¬p为真命题，即∀x＞0，x＋a－1≠0，即∀x＞0，x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1，∴实数a的取值范围是{a｜a≥1}.┃方法总结┃含量词命题的解题策略1.判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.2.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.5.若命题“∃x∈R，使得x2－（a＋1）x＋4≤0”为假命题，则实数a的取值范围为    .答案：（－5，3）解析：命题“∃x∈R，使得x2－（a＋1）x＋4≤0”为假命题，即命题“∀x∈R，使得x2－（a＋1）x＋4＞0”为真命题，则判别式Δ＝（a＋1）2－4×4＜0，即Δ＝（a＋1）2＜16，则－4＜a＋1＜4，即－5＜a＜3.学生用书⬇第270页[A组基础保分练]1.命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根，则¬p是（  ）A.∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根B.∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根C.∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根答案：B解析：命题“∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根”的否定是“∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根”.2.若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0，则¬p为（  ）A.不存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0B.存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0C.对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0D.存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0答案：D3.（2021·天津卷）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（  ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：①由a＞6，得a2＞36，所以“a＞6”是“a2＞36”的充分条件，②由a2＞36，得a＞6或a＜－6，所以“a＞6”是“a2＞36”的不必要条件，故a＞6是a2＞36的充分不必要条件.4.“∀x∈[－2，1]，x2－2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（  ）A.a≥0 B.a≥1C.a≥2 D.a≥3答案：D解析：“∀x∈[－2，1]，x2－2a≤0”为真命题，即2a≥x2在x∈[－2，1]时恒成立，所以2a≥4，所以a≥2，即“∀x∈[－2，1]，x2－2a≤0”为真命题的充要条件是a≥2，所以可转化为求“a≥2”的充分不必要条件，即找集合A＝{a｜a≥2}的非空真子集，结合选项，所以a≥3.5.下列命题中的真命题是（  ）A.∃x∈R，使得sinx＋cosx＝3B.∀x∈（0，＋∞），ex＞x＋1C.∃x∈（－∞，0），2x＜3xD.∀x∈（0，π），sinx＞cosx答案：B解析：∵sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2＜32，故A错误；设f（x）＝ex－x－1，则f'（x）＝∵当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数.又f（0）＝0，∴∀x∈（0，＋∞），f（x）＞0，即ex＞x＋1，故B正确；当x＜0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；∵当x∈0，π4时，sinx＜cosx，故6.（多选）－112＜5x－3＜12A.－12＜x＜2 B.－12＜xC.－3＜x＜12 D.－1＜x＜答案：BD解析：解－112＜5x－3＜12，得－12＜x＜3，当x满足－12＜x＜3时，满足－12＜x＜4和－17.（2024·河南郑州模拟）若命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是    .答案：[－3，3]解析：命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，即“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤3.8.已知“x2－x－2＞0”是“2x＋p＞0”的必要条件，则实数p的取值范围是    .答案：（－∞，－4]解析：由2x＋p＞0，得x＞－p2，令A＝x由x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1，令B＝{x｜x＞2，或x＜－1}，由题意知A⊆B时，即－p2≥2解得p≤－4，∴实数p的取值范围是（－∞，－4].9.使得“2x＞4x”成立的一个充分条件是     .答案：x＜－1（答案不唯一）解析：由于4x＝22x，故2x＞22x等价于x解得x＜0，使得“2x＞4x”成立的一个充分条件只需为集合{x｜x＜0}的子集即可.[B组能力提升练]10.（2024·河北邢台模拟）“不等式ax2＋2ax－1＜0恒成立”的一个充分不必要条件是（  ）A.－1≤a＜0 B.a≤0C.－1＜a≤0 D.－1＜a＜0答案：D解析：当a＝0时，－1＜0恒成立，当a≠0时，则a<0，4a2+4综上所述，不等式ax2＋2ax－1＜0恒成立时，－1＜a≤0，所以选项中“不等式ax2＋2ax－1＜0恒成立”的一个充分不必要条件是－1＜a＜0.11.（2024·贵州贵阳模拟）设a，b均为单位向量，则“｜a－3b｜＝｜3a＋b｜”是“a⊥b”的（  ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：C解析：因为｜a－3b｜＝｜3a＋b｜，所以（a－3b）2＝（3a＋b）2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2.又因为｜a｜＝｜b｜＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立.12.（2024·湖北武汉模拟）阅读下段文字：“已知2为无理数，若（2）2为有理数，则存在无理数a＝b＝2，使得ab为有理数；若（2）2为无理数，则存在无理数a＝（2）2，b＝2，此时ab＝（2）22＝（A.（2）B.（2）C.存在无理数a，b，使得ab为有理数D.对任意无理数a，b，都有ab为无理数答案：C解析：这段文字中，没有证明（2）2是有理数的条件，也没有证明（2）2是无理数的条件，A，B错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得ab为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b13.（多选）下列四个关于命题的判断，其中正确的是（  ）A.命题“∃x∈（0，＋∞），3x＋cosx＜1”是假命题B.在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的充要条件C.命题“∀x∈N，lg（x＋1）＞0”的否定是“∃x∉N，lg（x＋1）＞0”D.命题“在△ABC中，若AB·BC＜0，则△ABC是钝角三角形”是真命题答案：AB解析：对于A，设f（x）＝3x＋cosx（x＞0），则f'（x）＝3－sinx，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＞0＋cos0＝1，从而命题“∃x∈（0，＋∞），3x＋cosx＜1”是假命题，故选项A正确；对于B，在△ABC中，设△ABC的外接圆半径为R，sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B，故选项B正确；对于C，由全称命题的否定可得，命题“∀x∈N，lg（x＋1）＞0”的否定是“∃x∈N，lg（x＋1）≤0”，故选项C是错误的；对于D，在△ABC中，若AB·BC＜0，则BA·BC＞0，则B为锐角，不能判定△ABC是钝角三角形，所以选项D是错误的.14.（2024·河北唐山模拟）若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m的最大值为    .答案：－2解析：由x2－2x－8＞0，解得x＞4，或x＜－2，所以记A＝{x｜x＞4，或x＜－2}，B＝{x｜x＜m}；若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则B是A的真子集.故m≤－2，所以m的最大值为－2.15.集合A＝xx－1x+1<0，B＝{x｜｜x－b｜＜a}.若“a＝1”是“A∩B答案：（－2，2）解析：由“a＝1”是“A∩B≠⌀”的充分条件，知当a＝1时，A∩B≠⌀.当a＝1时，由题意得A＝（－1，1），B＝（b－1，b＋1），由A∩B≠⌀得b－1＜1且b＋1＞－1，即－2＜b＜2，所以b的取值范围是（－2，2）.学生用书⬇第7页第三节等式性质与不等式性质[学习要求]1.理解不等式的概念，掌握不等式性质，会利用不等式性质判断相关命题的真假.2.会比较两个数（式）的大小.3.理解不等式的性质，并会解简单应用.[知识梳理]知识点一不等关系两个实数比较大小的方法关系方法作差法作商法a＞ba－b＞0ab＞1（a，b＞0）或ab＜1（a，b＜a＝ba－b＝0ab＝1（b≠0a＜ba－b＜0ab＜1（a，b＞0）或ab＞1（a，b＜知识点二不等式的性质性质性质内容注意对称性a＞b⇔b＜a；a＜b⇔b＞a可逆传递性a＞b，b＞c⇒a＞c；a＜b，b＜c⇒a＜c同向可加性a＞b⇔a＋c＞b＋c可逆可乘性a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bcc的符号续表性质性质内容注意同向可加性a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d同向同向同正可乘性a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd同向，同正可乘方性a＞b＞0，n∈N，n≥2⇒an＞bn同正可开方性a＞b＞0，n∈N，n≥2⇒na＞同正学生用书⬇第8页[小题诊断]1.下列说法正确的是（  ）A.若ab＞1，则a＞B.一个不等式的两边加上或乘同一个实数，不等号方向不变C.一个非零实数越大，则其倒数就越大D.a＞b＞0，c＞d＞0⇒ad＞答案：D解析：对于选项A，只有b＞0时才正确，故A错误；对于选项B，当不等式两边同时乘的数为负数时，不等号方向发生变化，故B错误；对于选项C，一个正实数越大，则其倒数就越小，故C错误；对于选项D，由c＞d＞0得1d＞1c.因为a＞b＞0，所以ad＞bc2.已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（  ）A.若a＜b，则ac2＜bc2B.若ac＞bc，则aC.若a3＞b3，且ab＜0，则1a＞D.若a2＞b2，且ab＞0，则1a＜答案：C解析：A中，当c＝0时，ac2＜bc2不成立，故A错误；B中，当c＜0时，a＜b，故B错误；C中，若a3＞b3，ab＜0，则a＞0＞b，∴1a＞1b，故C正确；D中，当a＜0，b＜0时，1a＜1b3.已知－1＜a＜0，那么－a，－a3，a2的大小关系是（  ）A.a2＞－a3＞－a B.－a＞a2＞－a3C.－a3＞－a＞a2 D.a2＞－a＞－a3答案：B解析：∵－1＜a＜0，∴1＋a＞0，0＜－a＜1，∴－a－a2＝－a（1＋a）＞0，a2－（－a3）＝a2（1＋a）＞0，∴－a＞a2＞－a3.4.（2024·福建晋江模拟）已知实数m，n满足－4≤m≤－1，－1≤n≤5，则8n－5m的取值范围是（  ）A.－3≤8n－5m≤60 B.－21≤8n－5m≤78C.12≤8n－5m≤45 D.3≤8n－5m≤45答案：A解析：由－1≤n≤5可知－8≤8n≤40，由－4≤m≤－1可知1≤－m≤4，则5≤－5m≤20，所以－3≤8n－5m≤60.考点一比较数（式）的大小[例1]（1）（2024·吉林长春模拟）已知a＞0，b＞0，M＝a＋b，N＝a＋b，则M与A.M＞NB.M＜NC.M≤ND.M，N大小关系不确定（2）若a＞0，b＞0，则p＝（ab）a＋b2与q＝abA.p≥q B.p≤qC.p＞q D.p＜q（3）若a＝ln33，b＝ln44，A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.c＜a＜b D.b＜a＜c[答案]（1）B（2）A（3）B[解析]（1）M2－N2＝（a＋b）－（a＋b＋2ab）＝－2ab＜0，∴M＜N.（2）由题意知p＞0，q＞0，则pq＝（ab）a＋b2ab·ba＝aa－b2·bb－a2＝aba－b2.若a＞b＞0，则ab＞1，a－b＞0，则pq＞1；若0＜a＜b，则0（3）法一：易知a，b，c都是正数，ba＝＝log8164＜1，所以a＞b；bc＝＝log6251024＞1，所以b＞c，即c＜b＜a.法二：构造函数f（x）＝lnx则f'（x）＝1－ln由f'（x）＞0，得0＜x＜e；由f'（x）＜0，得x＞e.∴f（x）在（0，e）上为增函数，在（e，＋∞）上为减函数，∴f（3）＞f（4）＞f（5），即a＞b＞c.┃方法总结┃比较大小常用的方法1.作差(商)法：作差(商)一变形一判断.2.构造函数法：利用函数的单调性比较大小.3.中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取“O”或“1”作为中间量．4.赋值法：当两个式子比较大小时，可直接赋值.1.若0＜x＜1，p，q∈N*，则M＝1＋xp＋q与N＝xp＋xq的大小关系为（  ）A.M＞N B.M＜NC.M＝N D.不确定答案：A解析：（1＋xp＋q）－（xp＋xq）＝（1－xp）＋xq（xp－1）＝（1－xp）（1－xq）.∵0＜x＜1，p，q∈N*，∴1－xp＞0，1－xq＞0，∴（1－xp）（1－xq）＞0，∴1＋xp＋q＞xp＋xq，即M＞N.2.若a＝ln22，b＝ln33，则a答案：＜解析：法一：（作商法）易知a＞0，b＞0，ba＝2ln33ln2＝ln9ln8＝log法二：（作差法）b－a＝ln33－ln22＝16（2ln3－3ln2）＝16（所以b＞a.考点二不等式的基本性质[例2]（1）（多选）（2024·海南海口模拟）已知a＞b＞1，a－b＝1，则（  ）A.2－a＞2－b B.a2b－ab2＞a－bC.a－b＞3 D.a2－b2＞6（2）（多选）对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（  ）A.若a＞b，则ac＜bcB.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C.若c＞a＞b＞0，则ac－D.若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b[答案]（1）BCD（2）BCD[解析]（1）因为a＞b，所以2a＞2b，故2－a＜2－b，故A错误；a2b－ab2＝aba－b＞a－b，故a－b＝a－ba＋b＝a＋b＝2b＋1a2－b2＝a－ba＋b＞3×2＝（2）若c＞0，则由a＞b得ac＞bc，A错误；若a＜b＜0，则a2＞ab，ab＞b2，a2＞ab＞b2，B正确；若c＞a＞b＞0，则c－b＞c－a＞0，∴1c－a＞1c－b＞0，∴ac－a＞bc－b，C正确；若a＞b，且a，b同号，则有1a＜1b，因此由a＞b，1学生用书⬇第9页┃方法总结┃解决此类题目常用的4种方法1.直接利用不等式的性质逐个验证.2.利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.3.作差法.4.利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.3.（2024·上海模拟）已知实数a，b满足a＞b，则下列不等式中恒成立的是（  ）A.a2＞b2 B.1a＜C.｜a｜＞｜b｜ D.2a＞2b答案：D解析：当a＝1，b＝－2时，a2＜b2，1a＞1b，｜a｜＜｜b｜，排除A，B，C选项；因为y＝2x在（－∞，＋∞）上是增函数，所以当a＞b时一定有2a＞2b，所以D4.（多选）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（  ）A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若ab＞0，bc－ad＞0，则ca－dbC.若a＞b，c＞d，则a－d＞b－cD.若a＞b，c＞d＞0，则ad＞答案：BC解析：若a＞0＞b，0＞c＞d，则ac＜0＜bd，故A错误；若ab＞0，bc－ad＞0，则bc－adab＞0，化简得ca－db＞0，故B正确；若c＞d，则－d＞－c.又a＞b，所以a－d＞b－c，故C正确；取a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则ad＝－1，bc＝－1，考点三不等式性质的应用[例3]已知－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是    .[答案]（3，8）[解析]设2x－3y＝λ（x＋y）＋μ（x－y），则2x－3y＝（λ＋μ）x＋（λ－μ）y，∴λ＋μ∴2x－3y＝－12（x＋y）＋52（x－y由－1＜x＋y＜4得－2＜－12（x＋y）＜1由2＜x－y＜3得5＜52（x－y）＜15∴3＜2x－3y＜8.┃方法总结┃利用不等式性质求代数式取值范围的注意点一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过“一次性”不等关系的运算求解取值范围.5.（2024·湖北武汉模拟）已知实数a∈（1，3），b∈18，14，则答案：（4，24）解析：由1＜a＜3，18＜b＜1∴4＜1b＜8，故4＜ab6.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则2α＋｜β｜的取值范围是    .答案：（2，10）解析：∵－4＜β＜2，∴0≤｜β｜＜4.又1＜α＜3，∴2＜2α＜6，∴2＜2α＋｜β｜＜10.学生用书⬇第271页[A组基础保分练]1.已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（  ）A.M＜N B.M＞NC.M＝N D.不确定答案：B解析：法一：∵M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝（1－a1）·（1－a2）＞0，∴M＞N.法二（特殊值法）：取a1＝a2＝12，∴M＝14，N＝0，∴M＞2.（2024·北京模拟）设a，b，c为非零实数，且a＞c，b＞c，则（  ）A.a＋b＞c B.ab＞c2C.a＋b2＞c D.1a答案：C解析：当a＝b＝－1，c＝－2时，a＋b＝c，ab＜c2，a＋b2＞c，1a＋1b＜2c，故A，B3.（2024·内蒙古呼和浩特模拟）有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d.已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球的质量由大到小的排列顺序是（  ）A.d＞b＞a＞c B.b＞c＞d＞aC.d＞b＞c＞a D.c＞a＞d＞b答案：A解析：因为a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，所以2a＞2c，即a＞c，因此b＜d.因为a＋c＜b，所以a＜b.综上可得d＞b＞a＞c.4.若a＞b，则下列结论正确的为（  ）A.ln（a－b）＞0 B.3a＜3bC.a3－b3＞0 D.｜a｜＞｜b｜答案：C解析：由函数y＝lnx的图象（图略）知，当0＜a－b＜1时，ln（a－b）＜0，故A错误；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a＞b时，3a＞3b，故B错误；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a＞b时，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b＜a＜0时，｜a｜＜｜b｜，故D错误.5.（多选）下列命题为真命题的是（  ）A.若ac2＞bc2，则a＞bB.若a＞b＞0，则a2＞b2C.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D.若a＜b＜0，则1a＞答案：ABD解析：C中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2，故C错误.6.（多选）若1a＜1b＜A.a2＜b2 B.ab＜b2C.a＋b＜0 D.｜a｜＋｜b｜＞｜a＋b｜答案：ABC解析：因为1a＜1b＜0，所以b＜a＜0，所以b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，所以A，B，C均正确.因为b＜a＜0，所以｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，故D7.（多选）已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列选项中正确的是（  ）A.ab∈13，4 B.a＋2b∈（C.a－b∈（－12，45） D.a＋b答案：AC解析：A中，因为15＜b＜18，所以118＜1b＜115.又6＜a＜60，所以根据不等式的性质可得6×118＜a×1b＜60×115，即13B中，因为30＜2b＜36，所以36＜a＋2b＜96，故B错误；C中，因为－18＜－b＜－15，所以－12＜a－b＜45，故C正确；D中，a＋bb＝ab＋1∈48.若a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋答案：p≤q解析：p－q＝b2a＋a2b－（a＋b）＝b2a－a＋a2b－b＝1a－1b（b2－a2）＝（b－a）2（b＋a）ab.又a＜0，b＜9.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为     .答案：eπ·πe＜ee·ππ解析：eπ·πee又0＜eπ＜1，0＜π－e＜1∴eππ－即eπ·πeee·ππ＜1，即e10.已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是    ，3x＋2y的取值范围是    .答案：（－4，2）（1，18）解析：由－1＜x＜4，2＜y＜3知，－3＜－y＜－2，故－4＜x－y＜2.又－3＜3x＜12，4＜2y＜6，∴1＜3x＋2y＜18.11.（2024·重庆模拟）已知三个不等式：①ab＞0，②ca＞db，③bc＞ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成    答案：3解析：根据题意，结合不等式性质分别判断①，②，③作为结论的命题的真假性即可.由不等式性质，得ab>0，ca＞dbab>0，bc＞adca＞db，bc故可组成3个真命题.12.已知12＜a＜60，15＜b＜36.求：（1）a－b的取值范围；（2）ab的取值范围解：（1）由15＜b＜36得－36＜－b＜－15.又因为12＜a＜60，所以－24＜a－b＜45.即a－b的取值范围是（－24，45）.（2）由15＜b＜36得136＜1b＜115.又因为12＜a＜60，所以13即ab的取值范围是1学生用书⬇第272页[B组能力提升练]13.手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0～1（不含0，1）内，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比（  ）A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小C.“屏占比”变大 D.变化不确定答案：C解析：根据题意，不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为a，整机面积为b，b＞a，则升级前的“屏占比”为ab，升级后的“屏占比”为a＋mb＋m，其中m（m＞0）为升级后增加的面积，由分数性质知a＋m14.（2024·北京模拟）刘老师沿着某公园的环形道（周长大于1km）按逆时针方向跑步，他从起点出发，并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了11km，恰好回到起点，前5km的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（  ）A.7 B.8C.9 D.10答案：B解析：设公园的环形道的周长为t，刘老师总共跑的圈数为x，（x∈N*），则由题意1<t<2，2t<所以23＜1t＜34，因为xt＝11，所以223＜x＝又x∈N*，所以x＝8，即刘老师总共跑的圈数为8.15.（多选）（2024·河北保定模拟）已知正数a，b满足a≥2a＋1b，b≥1aA.ab≥3 B.（a＋b）2≥12C.1a＋1b≥233 D.1答案：ABD解析：由a≥2a＋1b，b≥1a＋2b，得a＋b≥3a＋3b，即a＋b≥3·a＋bab，而a＞0，b显然a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，则（a＋b）2≥（2ab）2≥12，B正确；取a＝2，b＝2，则满足a≥2a＋1b，b≥1a＋2b，此时1a＋1b＝由a≥2a＋1b，得a＞2a，即a＞2，于是1a＜22，同理1b＜22，则1a16.（2024·江西南昌模拟）已知a＝12023，b＝ln2024A.c＜b＜a B.c＜a＜bC.b＜c＜a D.a＜b＜c答案：A解析：因为ln4＞1，ln20242023＞0所以，c＝log420242023＝构造函数fx＝x－lnx－1，其中x＞1，则f'x＝1－1x＝x－1所以，函数fx在1，fx＞f1＝0，即lnx＜x－1，所以，b＝ln20242023＜20242017.（多选）已知a，b为正实数，则下列命题中正确的是（  ）A.若a2－b2＝1，则a－b＜1B.若1b－1a＝1，则a－bC.若ea－eb＝1，则a－b＜1D.若lna－lnb＝1，则a－b＜1答案：AC解析：对于A，当a2－b2＝1时，（a－b）·（a＋b）＝1，又a＞0，b＞0，∴0＜a－b＜a＋b，∴a－b＝1a＋b＜1，故A正确；对于B，由1b－1a＝1，不妨取a＝3，b＝34，则a－b＝94＞1，∴B错误；对于C，由ea－eb＝1，可得ea－b＋b－eb＝eb（ea－b－1）＝1.∵b＞0，∴eb＞1，∴ea－b－1＜1，即ea－b＜2，∴a－b＜ln2＜lne＝1，故C正确；对于D，当lna－lnb＝1时，不妨取a＝e2，b＝e，则a－b＝e2－18.能够说明“设a，b，c是任意实数.若a2＞b2＞c2，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为    .答案：－3，－1，0（答案不唯一）解析：令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2＞b2＞c2，此时a＋b＝－4＜0，所以a＋b＞c是假命题.19.设f（x）＝ax2＋bx，若1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（－2）的取值范围.解：∵y＝f（x）＝ax2＋bx，∴f（－1）＝a－b，f（1）＝a＋b.法一：（待定系数法）设f（－2）＝mf（－1）＋nf（1），又f（－2）＝4a－2b，所以4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（n－m）b，可得m＋n所以f（－2）＝3f（－1）＋f（1）.又1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，所以5≤3f（－1）＋f（1）≤10，故5≤f（－2）≤10.法二：（运用方程思想）由f得a所以f（－2）＝4a－2b＝3f（－1）＋f（1）.又因为1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，所以5≤3f（－1）＋f（1）≤10，故5≤f（－2）≤10，即f（－2）的取值范围是[5，10].学生用书⬇第10页第四节基本不等式[学习要求]1.掌握基本不等式ab≤a＋b2（a＞0，b[知识梳理]知识点一基本不等式：a＋b1.基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.2.等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.知识点二几个重要的不等式1.a2＋b2≥2ab（a，b∈R）.2.ba＋ab≥2（a，b3.ab≤a＋b22（a，b4.a2＋b22≥a＋b2以上不等式等号成立的条件均为a＝b.知识点三利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0，则（1）若x＋y＝s（和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值s2（2）若xy＝p（积为定值），则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.[小题诊断]1.设a＞0，则9a＋1a的最小值为（  ）A.4 B.5C.6 D.7答案：C解析：因为a＞0，所以9a＋1a≥29a×1a＝6，当且仅当9a＝1a，即a＝13时等号成立，所以2.设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为（  ）A.80 B.77C.81 D.82答案：C解析：xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y3.若x＞0，则关于x＋4xA.有最大值，且最大值为4B.有最小值，且最小值为4C.有最大值，且最大值为22D.有最小值，且最小值为22答案：B解析：因为x＞0，所以x＋4x≥2x×4x＝4，当且仅当x4.（多选）下列不等式中，不正确的是（  ）A.a＋4a≥4 B.a2＋b2≥4C.ab≥a＋b2 D.x2＋3答案：ABC解析：a＜0时，a＋4a≥4不成立，故A错误；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错误；a＝4，b＝16，则ab＜a＋b2，故C考点一利用配凑法求最值[例1]（1）已知x＞2，则函数y＝x＋12A.22 B.22＋2C.2 D.2＋2（2）已知正实数a，b满足a＋4b＝1，则ab的最大值为    .[答案]（1）D（2）1[解析]（1）由题意可知，x－2＞0，∴y＝（x－2）＋12（x－2）＋2≥2（x－2）·12（∴函数y＝x＋12（x－2）（x＞（2）正实数a，b满足a＋4b＝1，则ab＝14×a·4b≤14×a+4b22＝116，当且仅当a┃方法总结┃配凑法求最值的实质及关键点配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键.学生用书⬇第11页1.已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a（a＋3b）的最大值是（  ）A.98 B.C.3 D.9答案：C解析：∵a＞0，b＞0，4a＋3b＝6，∴a（a＋3b）＝13·3a（a＋3b）≤133a＋a+3b22＝13×622＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，2.（2024·山西忻州模拟）已知a＞2，则2a＋8aA.6 B.8C.10 D.12答案：D解析：因为a＞2，所以a－2＞0，所以2a＋8a－2＝2a－2＋8a－2＋4当且仅当2a－2＝8a－2，即a＝4时，等号成立，所以2考点二利用常数代换法求最值[例2]（2024·江西南昌模拟）已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为（  ）A.54 B.56C.72 D.81[答案]C[解析]法一：∵8a＋4b＝ab，a＞0，b＞0，∴8b＋4a＝1，∴8a＋b＝（8a＋b）8b＋4a＝64ab＋4ba＋40≥264×4＋40＝72，当且仅当64ab＝法二：∵8a＋4b＝ab，∴b＝8aa－4＞0.∵a∴a＞4，∴8a＋b＝8a＋8aa－4＝8（a2－3a）a－4＝当且仅当a＝6时取等号.┃方法总结┃常数代换法求解最值的基本步骤1.根据已知条件或其变形确定定值(常数）.2.把确定的定值(常数）变形为1.3.把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式.4.利用基本不等式求解最值.3.已知x＞0，y＞0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为（  ）A.16 B.8＋42C.12 D.6＋42答案：A解析：由题意可知2x＋4y＝∴2x＋y＝（2x＋y）2x＋4y＝8xy＋2yx＋8≥2当且仅当8xy＝2yx，即x＝4，y＝则2x＋y的最小值为16.4.（2024·广东广州模拟）已知正实数x，y满足2x＋y＝xy，则2xy－2x－y的最小值为（  ）A.2 B.4C.8 D.9答案：C解析：因为正实数x，y满足2x＋y＝xy，所以1x＋2y＝1，则2xy－2x－y＝2x＋y＝2x＋y1x＋2y＝4＋yx当且仅当y＝2x且1x＋2y＝1，即x＝2，y＝4考点三利用消元法求最值[例3]已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为    .[答案]6[解析]法一：（换元消元法）由已知得x＋3y＝9－xy.因为x＞0，y＞0，所以x＋3y≥23xy，所以3xy≤x+3y22，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，所以x＋3y＋13x+3y22≥9，即（x＋3y）令x＋3y＝t，则t＞0且t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y的最小值为6.法二：（代入消元法）由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－所以x＋3y＝9－3y1+y＋3y＝9－3y+3y（1+y）1+y＝9+3y21+当且仅当3（1＋y）＝121+y，即y＝1，x＝3时等号成立，所以x＋3┃方法总结┃利用消元法求最值的技巧消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围.5.已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是    .答案：4解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，∴x＝8－2y1+2∴x＋2y＝92y+1＋（2y＋1）－2≥292y+1·（2y+1）－2＝4（当且仅当y＝考点四基本不等式的实际应用[例4]中华人民共和国第十四届全国运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品（一个会徽和一个吉祥物）售价定为x元时，销售量可达到（15－0.1x）万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格.（1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？（2）每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？[解]（1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5（万套），供货单价为50＋105＝52（元总利润为5×（100－52）＝240（万元）.（2）设售价为x元，则销售量为（15－0.1x）万套，供货单价为50+单套利润为x－50－1015－0.1x＝x－50－100150－x所以单套利润为y＝x－50－100150－x＝－（150－x）当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号，所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元.学生用书⬇第12页┃方法总结┃利用基本不等式求解实际问题的两个注意点1.利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解.2.在求所列函数的最值时,若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解.6.如图，某生态园将一个三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.（1）若围墙AP与AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？解：设AP＝x米，AQ＝y米.（1）x＋y＝200，△APQ的面积S＝12xysin120°＝34所以S≤34x＋y当且仅当x即x＝y＝100时取等号.即AP与AQ的长度都为100米时，可使得三角形地块APQ的面积最大.（2）由题意得100×（x＋1.5y）＝20000，即x＋1.5y＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2＝x2＋y2－2xycos120°＝x2＋y2＋xy＝（200－1.5y）2＋y2＋（200－1.5y）y＝1.75y2－400y＋40000＝1.75y－800当y＝8007时，PQ有最小值此时x＝200即AP长为2007米，AQ长为8 基本不等式链[例1]已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是（  ）A.2a＋b B.C.2ab D.[答案]B[解析]∵a，b为互不相等的正实数，∴1a＋1b＞2a＋b＜22ab2a2＋b2＜2∴最大的是1a＋1学生用书⬇第13页[例2]已知a，b，c都是非负实数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋[证明]∵a2＋b即a2＋b2≥22（同理，b2＋c2≥22（b＋c），c2＋a相加可得a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥22（a＋b）＋22（b＋c）＋2当且仅当a＝b＝c时等号成立.┃方法总结┃基本不等式的常见变形12其中1.（多选）（2022·新高考Ⅱ卷）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（  ）A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1答案：BC解析：因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且x