北师大版初中九年级数学上册专项素养巩固训练卷(一)特殊平行四边形的翻折问题(练题型)课件

特殊平行四边形的翻折问题(练题型)专项素养巩固训练卷(一)类型一与矩形有关的折叠问题1.(2023辽宁铁岭月考,6,★☆☆)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,现将

其沿AE折叠,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为

()CA.6cm

B.4cm

C.2cm

D.1cm解析

C由题意得∠AB1E=∠B=90°,∠BAB1=90°,AB=AB1,∴四边形ABEB1为正

方形,∴BE=AB=6cm,∴EC=BC-BE=2(cm),故选C.2.(2023辽宁沈阳新民期中,7,★★☆)如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落

在对角线BD上的A′处.若∠ADB=24°,则∠AEB等于

()A.66°

B.60°

C.57°

D.48°C解析

C∵四边形ABCD是矩形,∠ADB=24°,∴∠ABD=66°,由折叠的性质可得

∠ABE=

∠ABD=33°,∴∠AEB=90°-∠ABE=57°.故选C.3.(2022贵州毕节中考,15,★★★)如图,矩形纸片ABCD中,E为BC的中点,连接AE,

将△ABE沿AE折叠得到△AFE,连接CF.若AB=4,BC=6,则CF的长是

()A.3

B.

C.

D.

D解析

D如图,连接BF,交AE于O点,∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE,∴BE=

EF,∠AEB=∠AEF,AE垂直平分BF,∵点E为BC的中点,∴BE=CE=EF=3,∴∠EFC=∠ECF,∵∠BEF=∠ECF+∠EFC,

∴∠AEB=∠ECF,∴AE∥CF,∴∠BFC=∠BOE=90°,在Rt△ABE中,由勾股定理得

AE=

=

=5,∴BO=

=

=

,∴BF=2BO=

,在Rt△BCF中,由勾股定理得CF=

=

=

,故选D.4.(★★☆)如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,将△ABE沿BE翻折,使点A落在BD

上的点M处,点F在BC上,将△CDF沿DF翻折,使点C落在BD上的点N处.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形.(2)若AB=6,BC=8,求FN的长.解析

(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠ABD=∠CDB,由翻折的性质可知∠EBD=

∠ABD,∠FDB=

∠CDB,∴∠EBD=∠FDB,∴BE∥FD,又DE∥BF,∴四边形EBFD是平行四边形.(2)在Rt△BCD中,BD=

=

=10,设CF=x,则BF=8-x,由翻折的性质可知,DN=CD=6,FN=CF=x,∠FND=90°,∴BN=BD-DN=4,在Rt△BNF中,BF2=FN2+

BN2,即(8-x)2=x2+42,解得x=3,即FN=3.5.[方程思想](★★☆)如图,长方形纸片ABCD中,AB=8,BC=10,折叠纸片,使点D

落在BC边上的点F处,AE为折痕.请回答下列问题:(1)AF=

.(2)试求线段DE的长度.(3)若点P为线段AE上的一个动点,连接BP和PF,求BP+PF的最小值.解析

(1)折叠纸片,使点D落在BC边上的点F处,则AF=AD=BC=10,故答案为10.(2)在Rt△ABF中,BF=

=

=6,∴FC=BC-BF=10-6=4,由折叠的性质知DE=EF,设DE=EF=x,则EC=DC-DE=8-x,在Rt△EFC中,FC2+EC2=FE2,即42+(8-x)2=x2,解得x

=5,∴DE=5.(3)如图,连接PD,BD,由折叠的性质知D、F关于AE对称,∴PF=PD,则BP+PF=BP+PD≥BD,∴BP+PF的最小值为BD的长,在Rt△BCD中,BD=

=

=2

,∴BP+PF的最小值为2

.方法总结本题主要是方程思想的应用,在解决有关矩形的折叠问题时,利用对应线段

相等,将所求线段放在直角三角形中利用勾股定理列方程求解,这是将几何中的

线段问题转化为解方程的代数问题,体现了数学运算的素养.类型二与菱形有关的折叠问题6.(2022浙江台州椒江期末,8,★★☆)如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱

形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上,得到经过点D的折痕DE,

则∠BEC'的大小为()A.20°

B.25°

C.30°

D.35°C解析

C如图,连接BD,

∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,∴△ABD为等边三角形,∠ADC=120°,∠C=60°,

∵P为AB的中点,∴DP平分∠ADB,∴∠ADP=∠BDP=30°,∴∠PDC=90°,由折叠

的性质得到∠CDE=∠PDE=45°,∠DEC=∠DEC',在△DEC中,∠DEC=180°-(∠CDE+∠C)=75°,∴∠BEC'=180°-∠DEC-∠DEC'=30°,故选C.7.(2022河南平顶山一模,15,★★★)如图,点E是菱形ABCD的边AB的中点,点F为

边AD上一动点,连接EF,将△AEF沿直线EF折叠得到△A'EF,连接A'D,A'C.已知

BC=4,∠B=120°,当△A'CD为直角三角形时,线段AF的长为

.2 -2或2答案

2

-2或2解析∵点E是菱形ABCD的边AB的中点,∴AE=BE=

AB=

BC=2,∵∠ABC=120°,∴∠A=∠BCD=60°,∴∠A'CD<90°,∴当△A'CD为直角三角形时,有∠DA'C=90°和∠A'DC=90°两种情况:①如图,连接DE,DB,在菱形ABCD中,∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∵AE=EB,∴DE⊥AB,∴∠ADE=30°,∴∠EDC=90°,当∠A'DC=90°时,点A'在DE上,由翻折的性质可知∠AEF=∠A'EF=

∠AED=45°,过点F作FG⊥AB于点G,∴FG=EG,∠AFG=30°,∴AF=2AG,∴FG=

AG,∵AG+EG=AE=2,∴AG+

AG=2,解得AG=

-1,∴AF=2AG=2

-2;②如图,当∠DA'C=90°时,取CD中点H,连接A'H,∴A'H=

CD=2,∵AE=A'E=2,∴A'E+A'H=4,∴E,A',H在同一条直线上,∴四边形AEHD是平行四边形,∴∠AEH=120°,∴∠AEF=∠A'EF=

∠AEH=60°,∴△AEF是等边三角形,∴AF=AE=2.综上所述,线段AF的长为2

-2或2.8.(★★☆)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角

线BD上的点G处(点G不与B、D重合),折痕为EF,若DG=2,BG=6,求BE的长.解析作EH⊥BD于H(图略),由折叠的性质可知EG=EA,由题意得BD=DG+BG=

8,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,∠ABD=∠CBD=

∠ABC=60°,∴△ABD为等边三角形,∴AB=BD=8,设BE=x,则EG=AE=8-x,在Rt△EHB中,BH=

x,EH=

x,在Rt△EHG中,EG2=EH2+GH2,即(8-x)2=

+

,解得x=2.8,即BE=2.8.9.(★★☆)实践操作:第一步:如图①,在菱形纸片ABCD的边AD、AB上分别取点E、F,连接EF、BD,

且EF∥BD.第二步:将图①中的菱形纸片ABCD沿EF折叠,点A恰好落在对角线BD上的点O

处,得到图②.第三步:将图②展平,得到图③.考向实践探究试题第9题图解决问题:(1)在图①中,填空:AE

AF.(请正确选择“>”“=”“<”中的一个)(2)在图③中,请你利用(1)中结论,求证:四边形AEOF是菱形.(3)在图③中,若∠ABC=120°,在不添加其他线段的情况下,图中有

个等边三角形.解析

(1)=.(2)证明:由折叠的性质可知,△EAF≌△EOF,∴AF=OF,AE=OE,又由(1)可知,AE=AF,∴AE=AF=OF=OE,∴四边形AEOF是菱形.(3)6.[详解]∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠ABD=∠CBD=60°,∠A=60°,

∴△ABD,△CBD是等边三角形,∵AE=AF,∠A=60°,∴△AEF,△EFO都是等边三角形,∵∠FBO=∠OFB=60°,∴△OFB是等边三角形,同理可得△EOD是等边三角形,故答案为6.类型三与正方形有关的折叠问题10.(★☆☆)如图,在正方形ABCD中,E是BC边上的一点,将正方形的边AB沿AE翻

折到AF,延长EF交DC于G,连接AG,则∠EAG=

度.45答案

45解析

∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABE=∠BAD=∠ADG=90°,由翻折

的性质可知AB=AF,∠ABE=∠AFE=90°,∠BAE=∠EAF,∴AD=AF,∠AFG=90°,∵∠ADG=∠AFG=90°,AG=AG,AD=AF,∴Rt△AGD≌Rt△AGF(HL),∴∠GAF=∠GAD,∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=

(∠BAF+∠DAF)=45°.11.(★★☆)把正方形ABCD对折,得到折痕MN(如图①),展开后把正方形ABCD

沿CE折叠,使点B落在MN上的点B'处,连接B'D(如图②).试求∠ADB'的度数.解析连接BB',如图,由折叠的性质可得BB'=B'C,BC=B'C,∴BC=BB'=B'C,∴△B'BC是等边三角形,∴∠BCB'=60°,∴∠B'CD=30°,∵DC=B'C,∴∠CB'D=∠CDB',∴∠CB'D=∠CDB'=

×(180°-30°)=75°,∴∠ADB'=90°-75°=15°.12.(★★☆)如图,正方形ABCD的边AB=12,将正方形沿EF折叠,使DA落到GN处,

交CD于点M,交BC于点N,BN=5,连接AN.(1)求△AEN的面积.(2)试判断EF与AN的位置和数量关系,并说明理由.解析

(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,由折叠的性质得NE=AE,设NE=

AE=x,则BE=AB-AE=12-x,在Rt△EBN中,由勾股定理得52+(12-x)2=x2,解得x=

,∴AE=

,∴△AEN的面积=

AE·BN=

×

×5=

.(2)EF⊥AN,EF=AN,理由如下:作FH⊥AB于H,如图所示,则FH=AD=AB,∠EFH+

∠FEH=90°,由折叠的性质得EF⊥AN,∴∠NAB+∠FEH=90°,∴∠EFH=∠NAB,在△EFH和△NAB中,

∴△EFH≌△NAB(ASA),∴EF=AN.13.(★★☆)综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数

学活动.(1)操作判断:操作一:对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在正方形内部点M处,把纸片展平,连

接PM,BM.(2)迁移探究:小华按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.(i)如图①,当点M在EF上时,∠EMB=

°,∠MBQ=

°.(ii)改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图②,判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.(iii)已知正方形纸片ABCD的边长为8,当FQ=1时,直接写出AP的长.第13题图解析

(2)(i)∵对折正