北师大版初中九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第1课时相似三角形的有关概念及判定定理1课件

第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第1课时相似三角形的有关概念及判定定理1基础过关全练知识点1相似三角形的概念1.已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则

=(

)A.2

B.

C.3

D.

B解析∵△ABC∽△A'B'C',∴

=

=

=

.故选B.2.(新独家原创)如图,△ABC∽△ACP.(1)若∠A=75°,∠APC=65°,则∠BCP的大小为

度.(2)若△ABC与△ACP的相似比为

,AP=6,则AC=

,BP=

.25

10解析

(1)∵∠A=75°,∠APC=65°,∴∠ACP=40°,∵△ABC∽△ACP,∴∠ACB=∠APC=65°,∴∠BCP=∠ACB-∠ACP=25°.(2)∵△ABC∽△ACP,相似比为

,AP=6,∴

=

=

,∴AC=

AP=10,AB=

AC,∴AB=

,∴BP=AB-AP=

-6=

.知识点2相似三角形的判定定理13.如图所示的三个三角形,相似的是

(

)A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③A解析分别求出三个三角形中第三个角的度数,①②两个三

角形满足两角分别相等,故①②相似,故选A.4.(2023陕西西安交大附中月考)如图,△ABC中,CE⊥AB,垂足

为点E,BD⊥AC,垂足为点D,CE与BD交于点F,则下列选项中

与△BEF不相似的三角形是

(

)

A.△ABD

B.△CDF

C.△BCD

D.△ACEC解析∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BDA=∠BDC=∠CEA=∠CEB=90°,∵∠FBE=∠ABD,∴△FBE∽△ABD,∵∠BFE=∠CFD,∴△BFE∽△CFD,∵∠FCD=∠ACE,∴△CFD∽△CAE,∴△BFE∽△CAE,故△BCD与△BEF不相似.故选C.5.下列各组图形中有可能不相似的是

(

)A.各有一个角是50°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是100°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形A解析选项A,当一个等腰三角形中50°的角为顶角,底角为65°,另一个等腰三角形中50°的角为底角,顶角为80°时,这两个等腰三角形不相似,故选A.6.(2023陕西师大附中月考)如图,在▱ABCD中,G是AB延长线

上一点,连接DG交BC于点E,则图中相似三角形共有

(

)

A.2对

B.3对

C.4对

D.5对B解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,DC∥AB,∴△GBE∽△GAD∽△DCE,∴相似三角形共有3对.故选B.7.如图,已知AD是△ABC的角平分线,AD=BD,求证:△ABC∽

△DAC.

证明∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD,∵AD=BD,∴∠BAD=∠B,∴∠CAD=∠B,又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC.8.(2024广东深圳期中)如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的

延长线上,∠ACD=∠ABE.(1)求证:△ABC∽△AEB.(2)当AD=4,AC=3时,求AE的长.

解析

(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴∠ACD=∠BCA,∵∠ACD=∠ABE,∴∠BCA=∠ABE,又∵∠BAC=∠EAB,∴△ABC∽△AEB.(2)∵△ABC∽△AEB,∴

=

,∵AB=AD=4,AC=3,∴

=

,∴AE=

.能力提升全练9.(一线三等角模型)(2023山东东营中考,7,★★☆)如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上,∠ADE=60°.若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为

(

)

A.1.8

B.2.4

C.3

D.3.2C解析∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠B=∠C=60°,∴∠CAD+∠ADC=120°,∵∠ADE=60°.∴∠BDE+∠ADC=120°,∴∠CAD=∠BDE,∴△ADC∽△DEB,∴

=

,∵BD=4DC,∴设DC=x,则BD=4x,∴BC=AC=5x,∴

=

,∴AD=3,故选C.10.(2024湖南郴州期末,9,★★☆)如图,在正方形ABCD中,G为CD边的中点,连接AG并延长交BC边的延长线于点E,对角线BD交AG于点F.已知AF=4,则线段AE的长度为

(

)

A.6

B.8

C.10

D.12D解析∵四边形ABCD为正方形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,∴△ABF∽△GDF,∴

=

=2,∴FG=

AF=2,∴AG=6.∵CG∥AB,∴△ECG∽△EBA,∴

=

,∵AB=2CG,∴AE=2EG=2AG=12.故选D.11.(2023四川内江中考,10,★★☆)如图,在△ABC中,点D、E为边AB的三等分点,点F、G在边BC上,AC∥DG∥EF,点H为

AF与DG的交点.若AC=12,则DH的长为

(

)

A.1

B.

C.2

D.3C解析∵点D、E为边AB的三等分点,∴AD=DE=EB,AB=3BE,∴AE=2AD,∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,∴EF∶AC=BE∶AB,∵AC=12,AB=3BE,∴EF∶12=BE∶3BE,∴EF=4.∵DG∥EF,∴△ADH∽△AEF,∴DH∶EF=AD∶AE,∵EF=4,AE=2AD,∴DH∶4=AD∶2AD,∴DH=2.故选C.12.(新考法·综合实践)(2023黑龙江大庆中考,13,★★☆)在综合与实践课上,老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示,点N在边AD上.现将矩形折叠,折痕为BN,点A对应的点记为点M,若点M恰好落在边DC上,则图中与△NDM一定相似的三角形是

.△MCB解析∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=∠C=90°,∴∠DNM+∠DMN=90°,由折叠的性质可知,∠BMN=∠A=90°,∴∠DMN+∠CMB=90°,∴∠DNM=∠CMB,∴△NDM∽△MCB,故答案为△MCB.13.(2024内蒙古包头昆都仑期末,16,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,BD=3,连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为

.解析∵∠ACB=90°,BD⊥CB,MN⊥CB,∴AC∥MN∥BD,∠CNM=∠CBD,∴∠MAC=∠MBD,∠MCA=∠MDB=∠CMN,

∴△MAC∽△MBD,△CMN∽△CDB,∴

=

=

,

=

,∴

=

,∴

=

,∴MN=

.素养探究全练14.(推理能力)如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中

点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F.(1)求证:△PFA∽△ABE.(2)当点P在射线AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使以P,

F,E为顶点的三角形与△ABE相似?若存在,请求出x的值;若

不存在,说明理由.解析

∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,∠B=90°.(1)证明:∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠B=90°,∴△PFA∽△ABE.(2)∵PF⊥AE,∴∠PFE=90°=∠B.∴当以P,F,E为顶点的三角

形与△ABE相似时,有两种情况:如图①,若△EFP∽△ABE,则

∠PEF=∠EAB,∴PE∥AB.∴四边形ABE