北师大版初中九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系课件

第二章一元二次方程*5一元二次方程的根与系数的关系基础过关全练知识点一元二次方程的根与系数的关系1.(2023天津中考)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则

(

)A.x1+x2=6

B.x1+x2=-6C.x1x2=

D.x1x2=7A解析∵x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,∴x1+x2=-

=6,x1x2=

=-7,故选A.2.(2023西藏中考)已知一元二次方程x2-3x+2=0的两个根为x1、x2,则

+

的值为

(

)A.-3

B.-

C.1

D.

D解析由一元二次方程根与系数的关系得,x1+x2=3,x1x2=2,∴

+

=

+

=

=

,故选D.3.(2023云南玉溪期中)已知α、β是一元二次方程x2-5x-2=0的

两个不相等的实数根,则α+β+αβ的值为

(

)A.-1

B.5

C.3

D.-2C解析根据根与系数的关系得α+β=5,αβ=-2,所以α+β+αβ=5-

2=3.故选C.4.(2023湖南怀化中考)已知关于x的一元二次方程x2+mx-2=0

的一个根为-1,则m的值为

,另一个根为

.-12解析将x=-1代入原方程可得1-m-2=0,解得m=-1,∵方程的

两根之积为

=-2,∴方程的另一个根为-2÷(-1)=2.故答案为-1;2.5.(新课标例67变式)不解方程,求下列方程的两根之和与两

根之积:(1)x2-3x-5=0.(2)3x2+5x+2=0.(3)x2+

x-3=0.解析

(1)∵a=1,b=-3,c=-5,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-5)=9+20=29>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2

=-

=3,x1x2=

=-5.(2)∵a=3,b=5,c=2,∴Δ=b2-4ac=52-4×3×2=25-24=1>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2

=-

=-

,x1x2=

=

.(3)∵a=1,b=

,c=-3,∴Δ=b2-4ac=(

)2-4×1×(-3)=2+12=14>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2

=-

=-

,x1x2=

=-3.6.(2023四川南充中考)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-

3m2+m=0.(1)求证:无论m为何值,方程总有实数根.(2)若x1,x2是方程的两个实数根,且

+

=-

,求m的值.解析

(1)证明:∵Δ=[-(2m-1)]2-4×1×(-3m2+m)=4m2-4m+1+12m2-4m=16m2-8m+1=(4m-1)2≥0,∴方程总有实数根.(2)由题意知,x1+x2=2m-1,x1x2=-3m2+m,∵

+

=

=

-2=-

,∴

-2=-

,整理得5m2-7m+2=0,解得m=1或m=

.能力提升全练7.(2023四川乐山中考,7,★★☆)若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1、x2,且x1=3x2,则m的值为

(

)A.4

B.8

C.12

D.16C解析∵一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,∴x1+x2=8,又∵x1=3x2,∴x1=6,x2=2,∴m=x1x2=6×2=12.故选C.8.(2024河南洛阳偃师实验中学月考,15,★★☆)解关于x的一

元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两

个根是-3,1,小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5,

-4,则原来的方程是

.x2+2x-20=0解析设此方程的两个根是α、β,根据题意得α+β=-p=-2,αβ=q=-20,∴p=2,q=-20,则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x-20=0.9.(易错题)(2022山东日照中考,15,★★☆)关于x的一元二次

方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1,x2,且

+

=

,则m=

.易错警示

本题容易忽略根与系数的关系应用的前提是方

程有解,从而因忽略m的取值范围而出错.

解析根据题意得x1+x2=-2m,x1x2=

,∵

+

=

,∴(x1+x2)2-2x1x2=

,∴4m2-m=

,∴m1=-

,m2=

,当m=-

时,Δ=16m2-8m=

>0,满足题意;当m=

时,Δ=16m2-8m=-

<0,不符合题意.所以m=-

.10.(2023湖北天门中考,20,★★☆)已知关于x的一元二次方

程x2-(2m+1)x+m2+m=0.(1)求证:无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根.(2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a+b)·(a+2b)=20,求m的

值.解析

(1)证明:∵Δ=[-(2m+1)]2-4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2-4m=

1>0,∴无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根.(2)∵该方程的两个实数根为a,b,∴a+b=-

=2m+1,ab=

=m2+m,∵(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2(a2+2ab+b2)+ab=2(a+b)2+

ab,∴2(a+b)2+ab=20,∴2(2m+1)2+m2+m=20,整理得m2+m-2=0,解得m1=-2,m2=1,∴m的值为-2或1.素养探究全练11.(运算能力)(新独家原创)在□处填写一个整数,使得方程x2+□x+1=0有两个不相等的正实数根,则□可以为

.-3(答案不唯一)解析设填写的一个整数为b,则由一元二次方程根与系数的关系得,x1x2=-b,x1+x2=1.当x1x2>0,x1+x2>0,Δ>0时,方程有两个不相等的正实数根,此时-b>0,即b<0,Δ=b2-4ac=b2-4×1×1>0,解得b>2或b<-2,∴b<-2,∴b可以为-3(答案不唯一).12.(推理能力)(新考向·代数推理)阅读理解:材料一:若三个非零实数x,y,z满足:只要其中一个数的倒数等

于另外两个数的倒数的和,就称这三个实数x,y,z构成“和谐

三数组”.材料二:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分

别为x1,x2,则有x1+x2=-

,x1x2=

.问题解决:(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数:

.(2)若x1,x2是关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c均不为0)的两根,x3

是关于x的方程bx+c=0(b,c均不为0)的解.求证:x1,x2,x3可以构

成“和谐三数组”.解析

(1)∵

+

=

,∴

,2,3能构成“和谐三数组”,故答案为

,2,3(答案不唯一).(2)证明:∵x1,x2是关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c均不为0)的两

根,∴x1+x2=-

,x1x2=

,∴

+

=

=

=-

,∵x3是关于x的方程bx+c=0(b,c均不为0)的解,∴x3=-

,∴

=-

,∴

+

=

,∴x1,x2,x3可以构成“和谐三数组”.微专题已知一元二次方程的一根求另一根及字母系数方法指引方法1(利用根与系数的关系):(1)若字母系数在一

次项中,可先用两根积的关系求出另一根,再用两根和的关系

求字母系数的值;(2)若字母系数在常数项中,可先用两根和

的关系求出另一根,再用两根积的关系求字母系数的值.方法2(利用根的定义):先把已知根代入一元二次方程中,求

出字母系数的值,再解一元二次方程,求出另一根.1.(2022湖南益阳中考)若x=-1是关于x的方程x2+x+m=0的一

个根,则此方程的另一个根是

(

)A.-1

B.0

C.1

D.2B解析解法一:设x2+x+m=0的另一个根是α,根据根与系数的

关系得-1+α=-1,∴α=0.故选B.解法二:∵x=-1是方程x2+x+m=0的一个根,∴(-1)2-1+m=0,∴m=0,∴原方程为x2+x=0,∴x(x+1)=0,∴x1=0,x2=-1.故选B.2.(2022青海中考改编)已知关于x的方程x2+mx+3=0的一个根

为x=1,则实数m与另一根的值分别为

(

)A.4,3

B.-4,3

C.3,3

D.-3,3B解析解法一:因为关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1,

所以1+m+3=0,解得m=-4.所以原方程为x2-4x+3=0,所以(x-1)(x

-3)=0,所以x1=1,x2=3,即方程的另一根为3.故选B.解法二:设x2+mx+3=0的另一个根是α,根据根与系数的关系得1×α=3,所以α=3,根据根与系数的关系得1+3=-m,所以m=-4,故选B.3.(2022四川乐山中考)关于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有两

根,其中一根为x=1,则这两根之积为

(

)A.

B.

C.1

D.-

D解析∵方程的一个根是1,∴3-2+m=0,解得m=-1,∴两根之积为-

,故选D.4.(2022贵州黔东南州中考)已知关于x的一元二