北师大版初中九年级数学上册专项素养综合练(七)相似三角形的基本类型课件

专项素养综合全练(七)

相似三角形的基本类型类型一

A字型模型解读

(1)A字型如图1,已知:DE∥BC.结论:△ADE∽△ABC⇒

=

=

.(2)反A字型如图2,已知:∠AED=∠C(或∠ADE=∠B).结论:△ADE∽△ABC⇒

=

=

.(3)反A字型(共边共角)如图3,已知:∠ABD=∠C.结论:①△ABD∽△ACB;②

=

=

;③AB2=AD·AC(AB为共边).

1.(2024安徽亳州期末)如图,D,E两点分别在△ABC的边上,

DE∥AC,AB=5,AC=4,DE=3,则AD的长为

(

)A.

B.

C.

D.

A解析∵DE∥AC,∴△BDE∽△BAC,∴

=

,即

=

,解得BD=

,∴AD=AB-BD=5-

=

.故选A.2.(2024广东清远期末)如图,在△ABC中,D是AC上一点,根据

选项中给出的条件不能得出△ABD∽△ACB的是

(

)

A.

=

B.∠ABD=∠ACBC.AB2=AD·AC

D.∠ADB=∠ABCA解析

A.∠A=∠A,

=

,不能得到△ABD∽△ACB,故符合题意;B.∠A=∠A,∠ABD=∠ACB,根据两角分别相等的两

个三角形相似可以得到△ABD∽△ACB,故不符合题意;C.∵AB2=AD·AC,∴

=

,又∵∠A=∠A,∴根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到△ABD∽△ACB,

故不符合题意;D.∠A=∠A,∠ADB=∠ABC,根据两角分别相等的两个三角

形相似可以得到△ABD∽△ACB,故不符合题意.故选A.类型二

8字型模型解读

(1)8字型如图1,已知:AB∥CD.结论:△AOB∽△COD⇒

=

=

.

(2)反8字型如图2,已知:∠A=∠D.结论:△AOB∽△DOC⇒

=

=

.3.(2023四川雅安中考)如图,在▱ABCD中,F是AD上一点,CF

交BD于点E,CF的延长线交BA的延长线于点G,EF=1,EC=3,

则GF的长为(

)

A.4

B.6

C.8

D.10C解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,

AD=BC,∴△DEF∽△BEC,∴

=

,∵EF=1,EC=3,∴

=

,即

=

,∴

=

,∵AB∥CD,∴△DFC∽△AFG,∴

=

,∵CF=EF+EC=4,∴

=

,∴GF=8,故选C.类型三一线三等角型模型解读

如图,已知A、P、B共线,∠CAP=∠CPD=∠PBD,有结论:①△CAP∽△PBD;②连接CD,当点P为AB的中点时,△CAP∽

△PBD∽△CPD.

4.(1)如图①,已知A,E,B三点在同一条直线上,且∠A=∠B=∠DEC=90°,求证:△ADE∽△BEC.(2)一位同学发现:如图②、图③,只要A,E,B三点在同一条直

线上,且∠A=∠B=∠DEC,则(1)中的结论总成立.你同意吗?

请在图②、图③中选择一个说明理由.

解析

(1)证明:∵∠A=∠DEC=90°,∴∠DEA+∠CEB=90°,∠DEA+∠D=90°,∴∠D=∠CEB,又∠A=∠B,∴△ADE∽△BEC.(2)同意.选择题图②说明理由:∵∠A=∠DEC,∠A+∠D=∠DEC+∠CEB,∴∠D=∠CEB,又∠A=∠B,∴△ADE∽△BEC.(也可选题图③,证明过程相同)类型四双垂直型模型解读

如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,则有△ACD∽△ABC∽△CBD,CD2=BD·AD,BC2=BD·AB,AC2=AD·AB.5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=∠ADC=90°.若AD=3,BD=2,则

CD的长为(

)

A.2

B.3

C.

D.

C解析∵∠ADC=90°,∴∠ADB=180°-∠ADC=90°,∴∠B+∠BAD=90°.∵∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°,∴∠C=∠BAD.又∵∠ADC=∠ADB,∴△DAC∽△DBA,∴

=

,∵AD=3,BD=2,∴CD=

.类型五手拉手模型模型解读

如图1,在△AOB中,CD∥AB.将△OCD旋转至图2位置,旋转

角∠AOC=∠BOD,旋转角的对边AC,BD称为“拉手线”.结论:如图2,△OCD∽△OAB⇔△AOC∽△BOD,且延长AC交BD于点E,必有∠BEC=∠BOA.难点:复杂图形中寻找“手拉手”模型.突破口:①找旋转角;②找“拉手线”;③“手拉手”构造相

似三角形.6.(2024四川成都外国语学校月考)如图1,在Rt△ABC中,∠B=

90°,BC=2AB=8,D、E分别是边BC、AC的中点,连接DE,将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.

(1)当α=0°时,

=

;当α=180°时,

=

.(2)试判断:当0°≤α<360°时,

的大小有无变化?请就图2的情形给出证明.(3)当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.解析

(1)当α=0°时,∵△ABC中,∠B=90°,∴AC=

=

=4

,∵D、E分别是边BC、AC的中点,∴AE=4

÷2=2

,BD=8÷2=4,∴

=

=

.当α=180°时,如图,易得AB∥DE,

∵

=

,∴

=

=

=

.故答案为

;

.(2)当0°≤α<360°时,

的大小没有变化.证明:∵∠ECD=∠ACB,∴∠ECA=∠DCB,又∵

=

=

,∴△ECA∽△DCB,∴

=

=

.(3)4

或

.详解:A,D,E共线有两种情况,①如图,连接BD,由(1)易知∠CDE=90°,∴CD⊥AD.

∵AC=4

,CD=4,CD⊥AD,∴AD=

=

=

=8,∴AD=BC,∵AB=DC,∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴BD=AC=4

.②如图,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作A