高三高考数学复习练习高考专题突破六高考中的概率与统计问题

高考专题突破六1．甲、乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球、2个红球，由裁判有放回地摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢．(1)求游戏Ⅰ中甲赢的概率；(2)求游戏Ⅱ中乙赢的概率，并比较这两种游戏哪种游戏更公平，试说明理由．【解析】(1)∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球的基本事件有5×5＝25(个)，其中甲赢有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，(2，2)，(2，4)，(4，4)，(4，2)，共13个基本事件，∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为P＝eq\f(13,25).(2)设4个白球为a，b，c，d，2个红球为A，B，则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球，基本事件有6×6＝36(个)，其中乙赢有(a，A)，(b，A)，(c，A)，(d，A)，(a，B)，(b，B)，(c，B)，(d，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共16个基本事件，∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为P′＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(13,25)－\f(1,2)))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)－\f(1,2)))，∴游戏Ⅰ更公平.2．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本平均数；(2)日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．【解析】(1)样本平均数为eq\f(17＋19＋20＋21＋25＋30,6)＝eq\f(132,6)＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故推断该车间12名工人中有12×eq\f(1,3)＝4(名)优秀工人．(3)设事件A：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,8),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(16,33).3．某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：12345678910甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5(1)请画出茎叶图．如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)；(2)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5，14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．【解析】(1)甲、乙两人10次训练的成绩的茎叶图如图：从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，乙成绩的稳定性更好，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好．(2)设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，则|x－y|<0.8，得x－0.8<y<0.8＋x，如图，阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4.16，则P(|x－y|<0.8)＝P(x－0.8<y<0.8＋x)＝eq\f(4.16,3×3)＝eq\f(104,225).4．(2017·全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,16)eq\i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\r(\f(1,16)（\i\su(i＝1,16,x)eq\o\al(2,i)－16\o(x,\s\up6(－))2）)≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.用样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))作为μ的估计值eq\o(μ,\s\up6(^))，用样本标准差s作为σ的估计值eq\o(σ,\s\up6(^))，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9974，0.997416≈0.9592，eq\r(0.008)≈0.09.【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X～B(16，0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X的数学期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由eq\o(x,\s\up6(－))＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为eq\o(μ,\s\up6(^))＝9.97，σ的估计值为eq\o(σ,\s\up6(^))＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外，因此需对当天的生产过程进行捡查．剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的数据9.22，剩下数据的平均数为eq\f(1,15)×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.eq\i\su(i＝1,16,x)eq\o\al(2,i)＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除