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文档简介
高考专题突破六1.甲、乙两人进行两种游戏,两种游戏规则如下:游戏Ⅰ:口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.游戏Ⅱ:口袋中有质地、大小完全相同的6个球,其中4个白球、2个红球,由裁判有放回地摸两次球,即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次,摸出两球同色算甲赢,摸出两球不同色算乙赢.(1)求游戏Ⅰ中甲赢的概率;(2)求游戏Ⅱ中乙赢的概率,并比较这两种游戏哪种游戏更公平,试说明理由.【解析】(1)∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球的基本事件有5×5=25(个),其中甲赢有(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),(2,2),(2,4),(4,4),(4,2),共13个基本事件,∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为P=eq\f(13,25).(2)设4个白球为a,b,c,d,2个红球为A,B,则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球,基本事件有6×6=36(个),其中乙赢有(a,A),(b,A),(c,A),(d,A),(a,B),(b,B),(c,B),(d,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),共16个基本事件,∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为P′=eq\f(16,36)=eq\f(4,9).∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(13,25)-\f(1,2)))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)-\f(1,2))),∴游戏Ⅰ更公平.2.某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本平均数;(2)日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人?(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【解析】(1)样本平均数为eq\f(17+19+20+21+25+30,6)=eq\f(132,6)=22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为eq\f(2,6)=eq\f(1,3),故推断该车间12名工人中有12×eq\f(1,3)=4(名)优秀工人.(3)设事件A:“从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人”,则P(A)=eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,8),Ceq\o\al(2,12))=eq\f(16,33).3.某班甲、乙两名同学参加100米达标训练,在相同条件下两人10次训练的成绩(单位:秒)如下:12345678910甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5(1)请画出茎叶图.如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛,从成绩的稳定性方面考虑,选派谁参加比赛更好,并说明理由(不用计算,可通过统计图直接回答结论);(2)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率.【解析】(1)甲、乙两人10次训练的成绩的茎叶图如图:从统计图中可以看出,乙的成绩较为集中,差异程度较小,乙成绩的稳定性更好,所以选派乙同学代表班级参加比赛更好.(2)设甲同学的成绩为x,乙同学的成绩为y,则|x-y|<0.8,得x-0.8<y<0.8+x,如图,阴影部分面积即为3×3-2.2×2.2=4.16,则P(|x-y|<0.8)=P(x-0.8<y<0.8+x)=eq\f(4.16,3×3)=eq\f(104,225).4.(2017·全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(1,16)eq\i\su(i=1,16,x)i=9.97,s=eq\r(\f(1,16)\i\su(i=1,16,)(xi-\o(x,\s\up6(-)))2)=eq\r(\f(1,16)(\i\su(i=1,16,x)eq\o\al(2,i)-16\o(x,\s\up6(-))2))≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.用样本平均数eq\o(x,\s\up6(-))作为μ的估计值eq\o(μ,\s\up6(^)),用样本标准差s作为σ的估计值eq\o(σ,\s\up6(^)),利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))-3eq\o(σ,\s\up6(^)),eq\o(μ,\s\up6(^))+3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,eq\r(0.008)≈0.09.【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,故X~B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.X的数学期望E(X)=16×0.0026=0.0416.(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.②由eq\o(x,\s\up6(-))=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为eq\o(μ,\s\up6(^))=9.97,σ的估计值为eq\o(σ,\s\up6(^))=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(eq\o(μ,\s\up6(^))-3eq\o(σ,\s\up6(^)),eq\o(μ,\s\up6(^))+3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外,因此需对当天的生产过程进行捡查.剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))-3eq\o(σ,\s\up6(^)),eq\o(μ,\s\up6(^))+3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的数据9.22,剩下数据的平均数为eq\f(1,15)×(16×9.97-9.22)=10.02.因此μ的估计值为10.02.eq\i\su(i=1,16,x)eq\o\al(2,i)=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除
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