2024河南中考数学专题复习第四章 第六节 课时2 锐角三角函数与相似三角形的实际应用 课件

一题串讲重难点2河南9年真题子母题31考点精讲课时2锐角三角函数与相似三角形的实际应用课标要求考情及趋势分析命题点1相似三角形的实际应用(2023年新考查)会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．考情分析年份题号题型分值考查内容结合知识点202320解答题9用自制的测高仪测树高相似

课标要求1.探索并认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值；2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题；4.在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置．(2022年版课标将“能用”调整为“运用”)命题点2锐角三角函数的实际应用(9年9考)

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值素材模型角的类型角的度数结果涉及解直角三角形的次数是否涉及解方程202320解答题9用自制的测高仪测树高///结果精确到0.1m一次是202219解答题9拂云阁母子，涉及矩形双仰角34°，45°精确到1m两次是202119解答题9卢舍那佛像母子双仰角45°，37.5°精确到0.1m两次是考情分析年份题号题型分值素材模型角的类型角的度数结果涉及解直角三角形的次数是否涉及解方程202018解答题9观星台母子，涉及矩形双仰角22°，45°精确到0.1m两次是201919解答题9炎帝塑像母子双仰角34°，60°精确到1m两次否201820解答题9高低杠实物模型实物夹角82.4°，80.3°精确到1cm两次否考情分析年份题号题型分值素材模型角的类型角的度数结果涉及解直角三角形的次数是否涉及解方程201719解答题9两艘海监船救渔船母子方位角45°，53°/两次是201619解答题9教学楼里测旗杆背靠背一俯一仰37°，45°/两次否201520解答题9测小河对岸大树高度母子双仰角30°，48°保留整数两次是【考情总结】1.2019～2022年均以河南当地建筑为背景进行考查，除2018年外，涉及的角度均为一个特殊角和一个非特殊角；2.2020年计算误差及提出建议；3.除2023年外，涉及解直角三角形的次数均为两次；2020～2023年连续涉及解方程；4.2023年用相似和锐角三角函数均可解题．考点精讲1.仰角、俯角：如图①，图中仰角是______，俯角是______

2.坡度(坡比)、坡角：如图②，坡角为______，坡度(坡比)i＝tanα＝______

3.方向角：如图③，A点位于O点的__________方向，B点位于O点的____________方向，C点位于O,

点的_____________________方向∠1∠2α北偏东30°南偏东60°北偏西45°(或西北)【满分技法】在实际测量中，为了减少计算结果与实际结果之间的误差，有以下举措：①测量项目的数,

值应该是多次测量，取平均值；②使用高精确度的测量仪器；③测量前对仪器进行校正一题串讲重难点满分技法背对背型基础模型通过在三角形内部作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键母子型基础模型通过在三角形外部作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键模型演变AD＋CE＋BF＝AB模型演变AD＋DC＝FG，BC＋AF＝BG例1小明家与小华家住在同一栋楼，他俩想测量所住楼对面商业大厦的高MN.(结果保留整数)方法一：如图①，小明与小华在楼下点A处测得点A到点M的距离为59米，测得商业大厦顶部N的仰角为53.5°，试求商业大厦的高MN.(sin53.5°≈0.80，cos53.5°≈0.59，tan53.5°≈1.35)例1题图①解：方法一：∵

MN⊥AM，∴在Rt△AMN中，tan∠MAN＝

，即MN＝AM·tan∠MAN≈59×1.35≈80.答：商业大厦的高MN约为80米．方法二：如图②，已知小明的身高AB为1.7米，某段时间小华测得小明的影长AC为1米，商业大厦MN的影长MP为47米，试求商业大厦的高MN.例1题图②方法二：由题意可知：∠BCA＝∠NPM，∵

MN⊥CM，BA⊥CM，∴∠BAC＝∠NMP，∴△ABC∽△MNP，∴

＝

，即

＝

，解得NM＝79.9米≈80米．答：商业大厦的高MN约为80米．方法三：如图③，小华发现住宅楼AB上的点C处挂了一面镜子，小华在住宅楼AB和商业大厦MN之间走动时，当走到距离AB住宅楼1米远的D处时，恰好能从镜子中看到商业大厦的顶部N，已知小华眼睛E到地面的高度为1.7米，镜子到地面AM的距离为3米，住宅楼AB和商业大厦之间的距离AM为59米，且AB⊥AM，MN⊥AM，点A，D，M在同一水平线上，试求商业大厦的高MN.例1题图③∟G方法三：如图，过点E作EF⊥AB于点F，过点C作CG⊥MN于点G，F由题意可知，四边形FADE，CAMG为矩形，∠ECG＝∠NCG，AC＝MG＝3，ED＝1.7，EF＝AD＝1，CG＝AM＝59，∵EF⊥AB，CG⊥MN，AB⊥AM，MN⊥AM，∴CG∥EF，∴∠FEC＝∠ECG，∴∠FEC＝∠GCN，∴△FEC∽△GCN，∴

＝

，即

＝

，解得NG＝76.7，∴MN＝NG＋MG＝76.7＋3≈80.答：商业大厦的高MN约为80米．例1题图③∟GF现在商业大厦楼下停了一辆车，没办法直接测量出AM的长度，小华想了其他办法也可以测量．方法四：如图④，小华站在点A处测得商业大厦顶部N的仰角为45°，向前走了35米到达点B处测得商业大厦顶部N的仰角为61°，已知小华眼睛到地面的高度AC(BD)为1.7米，点A，B，M在同一水平线上，MN⊥AB，试求商业大厦的高MN.(sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80)例1题图④方法四：如图，连接CD并延长交MN于点E，E由题意可知，四边形ABDC，BMED均为矩形，AC＝BD＝ME＝1.7，CD＝AB＝35，设EN＝x，在Rt△CEN中，∵∠ECN＝45°，∴EN＝CE＝x，∴DE

＝CE

－CD

＝x－35，在Rt△DNE中，tan∠NDE＝

＝

≈1.80解得x≈78.75，∴MN＝EN＋ME＝78.75＋1.7＝80.45≈80.答：商业大厦的高MN约为80米．例1题图④E方法五：如图⑤，小明与小华在楼顶的B处，测得商业大厦顶部N的仰角为38°，测得商业大厦底部M的俯角为30°，已知AB⊥AM，MN⊥AM，AB＝34米，试求商业大厦的高MN.(sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.73)例1题图⑤方法五：如图，过点B作BC⊥MN于点C，∟C∴四边形ABCM是矩形，BA＝CM＝34，在Rt△BCM中，tan∠MBC＝tan30°＝

，∴BC＝

，例1题图⑤∟C在Rt△BCN中，tan∠NBC＝tan38°＝

，∴NC＝BC·tan38°＝

×tan38°≈45.88.∴MN＝CM＋NC＝34＋45.88≈80.答：商业大厦的高MN约为80米．河南9年真题子母题1命题点相似三角形的实际应用2023年新考查1.(2023河南20题9分)综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm.求树EG的高度(结果精确到0.1m).第1题图解：由题意得∠AFE＝∠ABH＝90°，∠BAE＝∠FAH＝90°，点A到地面的距离即FG的长，∴∠EAF＝90°－∠BAF＝∠HAB，∴△AFE∽△ABH，(4分)∴

＝

，∴

＝

，解得EF≈7.33m，(7分)∴EG＝EF＋FG＝7.33＋1.8＝9.13≈9.1m.答：树EG的高度约为9.1m．(9分)第1题图2命题点锐角三角函数的实际应用9年8考2.数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，≈1.73)第2题图解：在Rt△ACE中，∵∠A＝34°，CE＝55m，∴AC＝

≈≈82.1m.第2题图∴BC＝AC－AB≈82.1－21＝61.1m．(4分)在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，∴CD＝BC·tan60°≈61.1×1.73≈105.7m．(7分)∴DE＝CD－CE≈105.7－55≈51m.答：炎帝塑像DE的高度约为51m．(9分)3.(2022河南19题9分)开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度(结果精确到1m，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67).第3题图解：如图延长EF交DC于点H，H由题意知，EH⊥DC.设DH＝x，在Rt△DHF中，∠DFH＝45°，∴FH＝DH＝x.(4分)在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，∴EH＝

＝

.∵EF＝15∴EH－FH＝15，即

－x＝15，(7分)解得x≈30.5.∴DC＝30.5＋1.5＝32m.答：拂云阁DC的高度约为32m．(9分)第3题图H4.(2023河南18题9分)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6m.(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41)；第4题图解：(1)如图，过点A作AF⊥MP，垂足为点F，交BC的延长线于点E.第4题图由题意知，四边形MBCN和四边形NCEF均为矩形．(2分)设AE＝xm，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴CE＝AE＝x.(3分)在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝22°，∵tan22°＝

，∴BE＝

≈＝

x.(4分)∵BE－CE＝BC，∴

x－x＝16.解得x＝

≈10.67.(6分)∴AE≈10.67(m)∟FE∵EF＝BM＝1.6，∴AF＝AE＋EF＝10.67＋1.6≈12.3.答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；(7分)第4题图∟FE(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．(2)误差为：12.6－12.3＝0.3(m)减少误差的建议：可多次测量取测量数据的平均值(答案不唯一，合理即可).(9分)第4题图∟FE5.(2021河南19题9分)如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此