高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.6数学归纳法(真题测试)(原卷版+解析)

专题7.6数学归纳法（真题测试）一、单选题1．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（理））用数学归纳法证明时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（

）A． B． C． D．2.(2023·河南南阳·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（

）A．2 B．3 C．4 D．53．(2023·上海·格致中学高二期末）已知为正偶数，用数学归纳法证明：时，若已假设（且为偶数）时等式成立，则还需要再证（

）A．时等式成立 B．时等式成立C．时等式成立 D．时等式成立4．(2023·广西北海·高二期末（理））用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（

）A．1 B． C． D．5．(2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是（

）A． B． C． D．6．(2023·上海市复旦实验中学高二期末）在用数学归纳法求证：，（n为正整数）的过程中，从“k到”左边需增乘的代数式为（

）A． B．C． D．7．（江西省抚州市七校联考2023-2024学年高二下学期期中考试数学（理）试题）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（

）A．1项 B．k项 C．项 D．项8．(2023·上海·华师大二附中高一期末）一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k（k≥2，）时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则（

）A．该命题对于的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对二、多选题9．（2023·全国·高二专题练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（

）A．B．C．凸n边形的内角和为D．凸n边形的对角线条数10．(2023·江苏·南京师大附中高二开学考试）正项数列满足，，数列满足，则（

）A． B．C．的前项积为 D．的前2n项积为11．(2023·重庆八中模拟预测）数列满足，，．定义函数是数列的特征函数，则下列说法正确的是(

)A．当时，数列单调递增B．当时，C．当时，D．当方程有唯一解时，对任意的，存在，使得12．(2023·全国·高三专题练习（理））设数列满足，其中为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（

）A．当时，一定是递减数列B．当时，不存在使是周期数列C．当时，D．当时，三、填空题13．(2023·全国·高二课时练习）与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立，那么为了推得时该命题不成立，需已知______时该命题不成立．14．(2023·江西抚州·高二期末（理））用数学归纳法证明对任意都成立，则的最小值为_________.15．(2023·四川省绵阳南山中学高二期中（文））设，，并且对于任意m，，成立．猜想的表达式____________16．(2023·福建·莆田二中模拟预测）已知数列满足：，，且，，其中.则___________，若，则使得成立的最小正整数为___________.四、解答题17．(2023·江西吉安·高二期末（文））已知数列1，，，，…，（）的前项和为．(1)求，，；(2)猜想前项和，并证明．18．(2023·北京·北师大实验中学高二阶段练习）在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列.(1)求，，及，，，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：.19．(2023·广西·桂林市国龙外国语学校高二阶段练习（理））请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：①②已知数列的前项和为，且，_______.(1)求；(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.20．（辽宁·高考真题）在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：．21．(2023·四川·树德中学高二阶段练习（理））数列，分别解答下列问题(1)若：，．求，，的值，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．(2)已知，若，，证明：，恒成立22．(2023·湖北·高考真题（理））已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与的大小；（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,,证明：．专题7.6数学归纳法（真题测试）一、单选题1．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（理））用数学归纳法证明时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：根据数学归纳法的步骤要求，第一步归纳奠基时，验证时的等式，结合所要证明的等式，即可得答案.【详解】将代入等式，观察左边最后一项为，则第一步归纳奠基时，要验证的等式即为，故选：D2.(2023·河南南阳·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D【解析】分析：根据给定条件，利用数学归纳法的定义逐项分析、计算判断作答.【详解】显然当时，，而当时，，A不是；当时，，B不是；当时，，C不是；当时，，符合要求，D是．故选：D3．(2023·上海·格致中学高二期末）已知为正偶数，用数学归纳法证明：时，若已假设（且为偶数）时等式成立，则还需要再证（

）A．时等式成立 B．时等式成立C．时等式成立 D．时等式成立答案：B【解析】分析：根据为正偶数可判断出结果.【详解】为正偶数，（且为偶数）之后的下一个正偶数为，还需要再证时等式成立.故选：B.4．(2023·广西北海·高二期末（理））用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（

）A．1 B． C． D．答案：B【解析】分析：将代入不等式左边，比较两式即可求解.【详解】当时，等式为，当时，，增加的项数为,故选:B.5．(2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：根据数学归纳法第一步验证时是否成立判断即可【详解】当时，即证明故选：D6．(2023·上海市复旦实验中学高二期末）在用数学归纳法求证：，（n为正整数）的过程中，从“k到”左边需增乘的代数式为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.【详解】当时，左边，当时，左边，则.故选：D.7．（江西省抚州市七校联考2023-2024学年高二下学期期中考试数学（理）试题）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（

）A．1项 B．k项 C．项 D．项答案：D【解析】分析：分别分析当与时等号左边的项，再分析增加项即可【详解】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．故选：D8．(2023·上海·华师大二附中高一期末）一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k（k≥2，）时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则（

）A．该命题对于的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对答案：B【解析】分析：当n为偶数时，可以利用数学归纳法判断命题对所有正偶数成立.当n为奇数时，则不能作出任何判断.【详解】令P（k）为该与正整数n有关的命题在n=2k，时的情形.则(1)P（1）成立，即归纳奠基成立；(2)P（k）成立能得到P（k+1）成立，即归纳递推成立.根据数学归纳法，该命题对所有正偶数成立.而n为奇数时，则没有任何关于该命题的信息,所以不能作出判断.故选：B.二、多选题9．（2023·全国·高二专题练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（

）A．B．C．凸n边形的内角和为D．凸n边形的对角线条数答案：BC【解析】分析：A将初始值代入判断是否满足要求；B、C应用数学归纳法判断是否满足要求；D在成立的条件下判断是否成立即可判断.【详解】A：，显然时有，故当n为给定的初始值时命题成立，故不满足要求；B：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立，故满足要求；C：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为命题不成立，故满足要求；D：假设当时命题成立，即，当时有，故不满足要求.故选：BC.10．(2023·江苏·南京师大附中高二开学考试）正项数列满足，，数列满足，则（

）A． B．C．的前项积为 D．的前2n项积为答案：ABC【解析】分析：利用的递推公式列出数列的前几项，即可猜想，再利用数学归纳法证明，即可判断A、B，再根据指数的运算法则及等比数列前项和公式计算即可判断C、D；【详解】解：因为，，所以，，，可猜想，当时，成立，假设时，所以也成立，所以，故A正确；因为，所以，，故，故B正确；其中，所以，故C正确；，故D错误；故选：ABC11．(2023·重庆八中模拟预测）数列满足，，．定义函数是数列的特征函数，则下列说法正确的是(

)A．当时，数列单调递增B．当时，C．当时，D．当方程有唯一解时，对任意的，存在，使得答案：BC【解析】分析：A：根据题意，代入x=，根据数列单调性即可判断；B：将x=代入，得到的递推公式，构造等比数列即可求通项公式；C：将x=可得，使用数学归纳法即可证明；D：举特例，如验算即可判断．【详解】对于A：当时，，故数列单调递减，故A错误；对于B：当时，，则，故数列是以2为公比，为首项的等比数列，∴，故B正确；对于C：当时，则，当n=2时，；假设当时，，则当时，，∵，∴综上，，故C正确；对于D：取，易知y=x为y=f(x)在x=0处切线，此时方程有唯一解，∴，则，根据指数函数和一次函数增长速度的快慢可知，随着n的增大，与差值越来越大，即越来越大，故D错误．故选：BC.12．(2023·全国·高三专题练习（理））设数列满足，其中为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（

）A．当时，一定是递减数列B．当时，不存在使是周期数列C．当时，D．当时，答案：ACD【解析】分析：当时，设单调递增，由可得依次递推可得可判断A；求出，，因为，若存在实数使得则可判断B，利用数学归纳法证明可判断C和D；【详解】对于A：当时，设单调递增，因为，，所以，，，依次类推可得，所以当时，一定是递减数列，故选项A正确；对于B：当时，，，，由可得，设，因为，，由零点存在性定理可知存在常数使，则可得，，存在使是周期数列，故选项B不正确；对于C：当，，，假设当时，，则当时，，所以当时，成立，故选项C正确；对于D：①首先证明,时，,：设,，对用数学归纳法证明,，当时，,．假设,，则，且，,．由数学归纳法知,对所有成立．∴当c＝时，,，②再证明：≥1－：，当c＝时，由得，∵,，∴，∴≤，∴≤≤≤…≤＝，∴≥1－，③最后证明：，当时，结论成立，当时，∵，，，又∵，∴．故D正确.故选：ACD.三、填空题13．(2023·全国·高二课时练习）与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立，那么为了推得时该命题不成立，需已知______时该命题不成立．答案：6【解析】分析：根据已知的命题，可以假设时成立，可得到时命题成立，故利用反证的思想可得答案.【详解】由题意可知，时，该命题不成立，那么时该命题一定不成立，否则时该命题成立，那么时，该命题也成立，故答案为：614．(2023·江西抚州·高二期末（理））用数学归纳法证明对任意都成立，则的最小值为_________.答案：3【解析】分析：化简可得，再从正整数开始逐个代入判断即可【详解】由题得，即，当时，，不符合；当时，，不符合；当时，，不等式成立；当时，25，不等式成立，当时根据指数函数与一次函数的性质可得.所以满足题意的的最小值为3.故答案为：315．(2023·四川省绵阳南山中学高二期中（文））设，，并且对于任意m，，成立．猜想的表达式____________答案：【解析】分析：根据递推公式，列出前几项，即可得出猜想，再利用数学归纳法即可得证.【详解】解：因为，，对于任意m，，成立，所以，所以，，，故可猜想，当时，，等式成立，设当时，等式也成立，即，当时，，所以当时，等式也成立，综上所述，.故答案为：.16．(2023·福建·莆田二中模拟预测）已知数列满足：，，且，，其中.则___________，若，则使得成立的最小正整数为___________.答案：

【解析】分析：求导后可得，依次代入和即可求得；猜想得，由数学归纳法可证明其成立，由此可得，裂项相消可得，解不等式可求得结果.【详解】，，，又，，；可猜想：；当时，成立；假设当时，成立，那么当时，，，，；综上所述：当时，；，，解得：，使得成立的最小正整数为.故答案为：；.四、解答题17．(2023·江西吉安·高二期末（文））已知数列1，，，，…，（）的前项和为．(1)求，，；(2)猜想前项和，并证明．答案：(1)，，(2)；证明见解析．【解析】分析：（1）根据数列，分别计算，，的值；（2）首先猜想，再利用数学归纳法证明.(1)，，；(2)猜想前项，证明：当时，,成立，当时，假设命题成立，即，那么当时，，，即当时，命题成立，综上可知当时，命题成立，即.18．(2023·北京·北师大实验中学高二阶段练习）在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列.(1)求，，及，，，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：.答案：(1)，猜想：，证明见详解(2)证明见详解【解析】分析：（1）根据题意可得：，，分别令求解，猜想：，利用数学归纳法证明猜想；（2）利用进行放缩，结合裂项相消证明．(1)根据题意可得：，令，则，，可得令，则，，可得令，则，，可得猜想：当，，成立假定当，当时，，即，则，即，则成立∴(2)即19．(2023·广西·桂林市国龙外国语学校高二阶段练习（理））请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：①②已知数列的前项和为，且，_______.(1)求；(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.答案：(1)(2)猜想，证明见解析【解析】分析：（1）选择条件①，分别令，3，4，能够求出，，．选择条件②，分别令，2，3，能够求出，，．（2）由（1）猜想数列的通项公式：，检验时等式成立，假设时命题成立，证明当时命题也成立．(1)解：选择条件①，当时，，即，当时，，所以，即，当时，，即，故分别为3，5，7.选择条件②，当时，，当时，.当时，故分别为3，5，7.(2)解：猜想，理由如下：选择条件①时，由题知，，猜想成立，假设时，，则，所以两式相减得：即所以，时成立，综上所述，任意，有．选择条件②时，由题知，，猜想成立，假设时，则所以，时成立，综上所述，任意，有．20．（辽宁·高考真题）在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：．答案：（Ⅰ）,（Ⅱ）略．【解析】分析：（Ⅰ）根据递推关系可求a2，a3，a4及b2，b3，b4，从而可猜测，的通项，利用数学归纳法猜想成立.（Ⅱ）利用放缩法和裂项相消法可证明不等式成立.【详解】（Ⅰ）由条件得由此可得．猜测．用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假