中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题二十四正弦定理和余弦定理(原卷版+解析)

第二十四章正弦定理和余弦定理思维导图知识要点知识要点1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.

正弦定理余弦定理内容(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC

解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角

2.三角形中的常见结论(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边：∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)△ABC的面积公式：①S＝a·h(h表示a边上的高)；②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.典例解析典例解析【例1】辨析感悟：对正弦、余弦定理的理解及应用．(1)在△ABC中，sinA＞sinB的充分不必要条件是∠A＞∠B.()(2)在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则此三角形是钝角三角形．()(3)在△ABC中，若b2＋c2＞【变式训练1】在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，判定△ABC的形状．【例2】在△ABC中，∠A＝60°，求a＝，b＝，求∠B.【变式训练2】在△ABC中，若，则△ABC是三角形．【例3】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，求cosA.【变式训练3】在△ABC中，内角A，B，C的对边边长分别是a，b，c若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则∠A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°【例4】在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状．【变式训练4】在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a＝c＋bcosC.(1)求角B的大小；(2)若S△ABC＝，b＝，求a＋c的值．【例5】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.求角B.【变式训练5】在△ABC中，若＝，则∠B的值为()A．30°B．45°C．60°D．90°高考链接高考链接1．在△ABC中，a∶b∶c＝2∶3∶4，则sinA∶sinB∶sinC＝.2．(四川省2015年对口升学考试试题)已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝5，c＝，∠A＝.求：(1)sinC的值；(2)5sin2C＋sin.3.(四川省2017年对口升学考试试题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c·sinA.(1)求sinC的值；(2)若a＝5，b＝3，求c的长．4．(四川省2019年对口升学考试试题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，tanC＝－2，△ABC的面积为2.求：(1)边b的长；(2)cosB的值．同步精练同步精练选择题1．在△ABC中，若∠B＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S为()A.B.C.D.2．在△ABC中，已知∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()A.B.C．2D．23．△ABC的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，∠A＝30°，则△ABC的面积为()A.B.C.D.4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若∠B＝2∠A，a＝1，b＝，则c等于()A．2B．2C.D．15．在△ABC中，已知∠A＝15°，AB＝3，∠B＝135°，则AC＝()A．B．－C.D．－6．在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形7．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则∠C等于()A．30°B．45°C．60°D．120°填空题8．在△ABC中，a∶b∶c＝2∶3∶4，则三角形为________三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”)．9．在△ABC中，“∠A>∠B”是“sinA>sinB”的．10．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，则cosB＝________.解答题11．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝7，求sinB.在△ABC中，若a＝2，c＝5，cos＝，求△ABC的面积．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b.(1)求角A；(2)若a＝1，且c－2b＝1，求角B.第二十四章正弦定理和余弦定理思维导图知识要点知识要点1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.

正弦定理余弦定理内容(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC

解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角

2.三角形中的常见结论(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边：∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)△ABC的面积公式：①S＝a·h(h表示a边上的高)；②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.典例解析典例解析【例1】辨析感悟：对正弦、余弦定理的理解及应用．(1)在△ABC中，sinA＞sinB的充分不必要条件是∠A＞∠B.(×)(2)在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则此三角形是钝角三角形．(√)(3)在△ABC中，若b2＋c2＞a2【思路点拨】在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大．判断三角形形状的两种途径一是化边为角，二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．【变式训练1】在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，判定△ABC的形状．解：由sin2A＝sin2B＋sin2C⇒a2＝b2＋c2，∴△ABC为直角三角形．【例2】在△ABC中，∠A＝60°，求a＝，b＝，求∠B.【思路点拨】本题考查正弦定理的应用．答案：解：由正弦定理＝＝可知＝即sinB＝，而a＝>＝b，且∠A，∠B均为三角形的内角，故0°<∠B<60°，所以∠B＝45°.【变式训练2】在△ABC中，若，则△ABC是等腰或直角三角形．【提示】∵；∴cosAsinA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2∠A＝2∠B或2∠A＋2∠B＝π，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝.【例3】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，求cosA.【思路点拨】本题考查余弦定理的应用．答案：解：利用余弦定理可知(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，∴a2－c2＝b2＋bc，∵a2＝c2＋b2－2bccosA，∴cosA＝【变式训练3】在△ABC中，内角A，B，C的对边边长分别是a，b，c若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则∠A等于(A)A．30°B．60°C．120°D．150°【提示】因为sinC＝sinB⇒c＝b，a2－b2＝bc，所以a2＝7b2；cosA＝⇒∠A＝30°【例4】在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状．答案：解：(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)·sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝，∴∠A＝60°.【思路点拨】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．答案：解：(2)∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋∠C＝180°－60°＝120°由sinB＋sinC＝得sinB＋sin(120°－∠B)＝，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝.∴sinB＋cosB＝，即sin(B＋30°)＝1.∵0°<∠B<120°，∴30°<∠B＋30°<150°.∴∠B＋30°＝90°，∠B＝60°.∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，△ABC为等边三角形．【变式训练4】在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a＝c＋bcosC.(1)求角B的大小；(2)若S△ABC＝，b＝，求a＋c的值．解：(1)由正弦定理得sinA＝sinC＋sinBcosC，∵∠A＝π－(∠B＋∠C)，∴sinA＝sin(B＋C)，可得sinBcosC＋cosBsinC＝sinC＋sinBcosC，即cosB＝，又B∈(0，π)，∴∠B＝.解：(2)∵S△ABC＝，∴acsin＝，∴ac＝4，由余弦定理可知b2＝a2＋c2－ac，∴(a＋c)2＝b2＋3ac＝13＋12＝25，即a＋c＝5.【例5】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.求角B.【思路点拨】利用“统一”思想将条件中边统一为角．解：由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB.①又∠A＝π－(∠B＋∠C)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.②由①②和∠C∈(0，π)得sinB＝cosB.又∠B∈(0，π)，∴∠B＝【变式训练5】在△ABC中，若＝，则∠B的值为(B)A．30°B．45°C．60°D．90°高考链接高考链接1．在△ABC中，a∶b∶c＝2∶3∶4，则sinA∶sinB∶sinC＝.【提示】考查正弦定理．2．(四川省2015年对口升学考试试题)已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝5，c＝，∠A＝.求：(1)sinC的值；(2)5sin2C＋sin.解：(1)由正弦定理有，∴，∴sinC＝(2)∵sinC＝，∴cosC＝±当∵cosC＝时，∴5sin2C＋＝10sinCcosC＋∵当cosC＝－时，∴5sin2C＋＝10sinCcosC＋＝3.(四川省2017年对口升学考试试题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c·sinA.(1)求sinC的值；(2)若a＝5，b＝3，求c的长．解：(1)∵a＝c·sinA，∴∴sinC＝(2)∵sinC＝，∴cosC＝.当cosC＝时，由余弦定理有c2＝a2＋b2－2abcosC＝16，∴c＝4；当cosC＝－时，由余弦定理有c2＝a2＋b2－2abcosC＝52，∴c＝24．(四川省2019年对口升学考试试题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，tanC＝－2，△ABC的面积为2.求：(1)边b的长；(2)cosB的值．解：(1)因为tanC＝－2，所以角C为钝角，得方程组，解得由于△ABC面积为2，a＝2，则2＝absinC，则b＝.(2)由于c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋5－4×＝13，则c＝，所以cosB＝同步精练同步精练选择题1．在△ABC中，若∠B＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S为(D)A.B.C.D.【提示】S＝acsinB2．在△ABC中，已知∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(B)A.B.C．2D．2【提示】S＝×AB·ACsin60°＝×2×·AC＝，∴AC＝1，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，∴BC＝3．△ABC的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，∠A＝30°，则△ABC的面积为(C)A.B.C.D.【提示】S△ABC＝bcsinA＝×3×2×sin30°＝4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若∠B＝2∠A，a＝1，b＝，则c等于(B)A．2B．2C.D．1【提示】由得，∴，故cosA＝，又A∈(0，π)，∴∠A＝，∠B＝，∠C＝，c＝＝2.5．在△ABC中，已知∠A＝15°，AB＝3，∠B＝135°，则AC＝(A)A．B．－C.D．－【提示】先求出角C，再利用正弦定理求解．6．在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC是(D)A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形【提示】利用正弦定理，二倍角公式进行求