高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.5《一元函数的导数及其应用》真题+模拟试卷(原卷版+解析)

专题4.5《一元函数的导数及其应用》真题+模拟试卷第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(2023·江西·高考真题（理））若,则的解集为（）A．(0,) B．(-1,0)(2,)C．(2,) D．(-1,0)2．(2023·广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是（）A． B．(0,3) C．(1,4) D．3．（2008·湖北·高考真题（理））若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（）A．[-1，+∞） B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）4．(2023·全国·高考真题（理））已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为（）A．1 B．2 C．-1 D．-25．(2023·全国·高考真题（理））函数的图像大致为（）A． B．C． D．6．(2023·全国·高考真题（理））已知函数，下列结论中错误的是（）A．的图像关于点中心对称 B．的图像关于直线对称C．的最大值为 D．既是奇函数，又是周期函数7．（2007·海南·高考真题（理））曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A． B． C． D．8．(2023·浙江·高考真题（理））已知e为自然对数的底数,设函数,则（）．A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．(2023·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．10．(2023·重庆八中高三阶段练习）函数均是定义在R上的单调递增函数，且，则下列各函数一定在R上单调递增的是（

）A． B． C． D．11．(2023·福建泉州·模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（

）A． B．C． D．12．(2023·全国·模拟预测）已知函数，，若，不等式恒成立，则正数的取值可以是（

）A． B． C． D．第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．(2023·天津·高考真题（文））已知函数为的导函数，则的值为__________.14．(2023·天津·高考真题（文））已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.15．(2023·福建·高考真题（文））若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是_________16．(2023·山东·高考真题（理））若函数是自然对数的底数在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①

②

③

④四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(2023·福建·高考真题（理））商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求的值；(2)若商品的成品为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大18．(2023·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知函数在时取得极值．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值与最小值．19．(2023·全国·高考真题（文））已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.20．(2023·全国·高考真题（文））已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．21．(2023·全国·郑州一中模拟预测（理））已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：.22．(2023·全国·高考真题（文））已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．专题4.5《一元函数的导数及其应用》真题+模拟试卷第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(2023·江西·高考真题（理））若,则的解集为（）A．(0,) B．(-1,0)(2,)C．(2,) D．(-1,0)答案：C【解析】【详解】2．(2023·广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是（）A． B．(0,3) C．(1,4) D．答案：D【解析】【详解】试题分析：由题意得，，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故选D．3．（2008·湖北·高考真题（理））若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（）A．[-1，+∞） B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）答案：C【解析】【详解】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．4．(2023·全国·高考真题（理））已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为（）A．1 B．2 C．-1 D．-2答案：B【解析】【详解】设切点，则，又，故答案选B．5．(2023·全国·高考真题（理））函数的图像大致为（）A． B．C． D．答案：D【解析】【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点，排除，求得函数的导数，由得，得或，此时函数单调递增，排除，故选D.6．(2023·全国·高考真题（理））已知函数，下列结论中错误的是（）A．的图像关于点中心对称 B．的图像关于直线对称C．的最大值为 D．既是奇函数，又是周期函数答案：C【解析】【详解】试题分析：对于选项，只需考虑即可，而，故正确；对于选项，只需考虑是否成立即可，而，故正确；对于选项，，故是奇函数，有，故周期是，故正确；对于选项，，令，则，求导，令解得，故在上单增，在与上单减，又当时；又当时，故C错误.7．（2007·海南·高考真题（理））曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A． B． C． D．答案：D【解析】【详解】因为曲线，所以切线过点（4，e2）∴f′（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y-e2=e2（x-4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=-e2，与y轴的交点为：（0，-e2），∴曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|-e2|=e2.故选D．8．(2023·浙江·高考真题（理））已知e为自然对数的底数,设函数,则（）．A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值答案：C【解析】【详解】当k=1时，函数f(x)=(ex−1)(x−1).求导函数可得f′(x)=ex(x−1)+(ex−1)=(xex−1)f′(1)=e−1≠0，f′(2)=2e2−1≠0，则f(x)在在x=1处与在x=2处均取不到极值，当k=2时，函数f(x)=(ex−1)(x−1)2.求导函数可得f′(x)=ex(x−1)2+2(ex−1)(x−1)=(x−1)(xex+ex−2)∴当x=1，f′(x)=0，且当x>1时，f′(x)>0，当x0<x<1时(x0为极大值点)，f′(x)<0，故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数；在(x0,1)上是减函数，从而函数f(x)在x=1取得极小值．对照选项．故选C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．(2023·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．答案：BC【解析】分析：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.10．(2023·重庆八中高三阶段练习）函数均是定义在R上的单调递增函数，且，则下列各函数一定在R上单调递增的是（

）A． B． C． D．答案：BC【解析】分析：根据反例可判断AD的正误，根据单调性的定义可判断BC的正误.【详解】取，故，设，则，在上，，故在上为减函数，故A错误.而，设，则，在上，，故在上为减函数，故D错误.设，，任意，则，因为均是定义在R上的单调递增函数，故，所以即，故是R上的单调递增函数.而因为是定义在R上的单调递增函数，故，且，所以即，故是R上的单调递增函数.故BC正确.故选：BC11．(2023·福建泉州·模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（

）A． B．C． D．答案：BCD【解析】分析：构造函数，，得到其单调性且零点情况，分与两种情况进行讨论，由函数单调性解不等式，求出答案.【详解】令，则恒成立，所以单调递增，其中，，则存在，使得①当时，即，若，则，且，则，不满足，故，且，所以又因为，所以，D正确；②当时，，即（1）当时，，，则成立，故，B正确；（2）当时，，若，则，因为，且在上单调递增，所以当时，，则，所以，所以，又因为，所以，选项C正确.故选：BCD12．(2023·全国·模拟预测）已知函数，，若，不等式恒成立，则正数的取值可以是（

）A． B． C． D．答案：AB【解析】分析：本题的含义是不等式左边的最大值小于等于右边的最小值，t是常数，因此先要算出左边的最大值和右边的最小值，再计算不等式即可.【详解】因为，所以在上单调递增，所以对，；，所以，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，∴；因为，任意，不等式恒成立，即，整理得，解得或，所以正数的取值范围为；6e与均在区间内，与均不在区间内；故选：AB．第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．(2023·天津·高考真题（文））已知函数为的导函数，则的值为__________.答案：3【解析】【详解】试题分析：14．(2023·天津·高考真题（文））已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.答案：1【解析】【详解】函数f(x)=ax−lnx,可得,切线的斜率为：，切点坐标(1,a),切线方程l为：y−a=(a−1)(x−1)，l在y轴上的截距为：a+(a−1)(−1)=1.故答案为1.15．(2023·福建·高考真题（文））若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是_________答案：【解析】【详解】由题意该函数的定义域，由．因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点．解法1（图像法）再将之转化为与存在交点．当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填.解法2（分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得16．(2023·山东·高考真题（理））若函数是自然对数的底数在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①

②

③

④答案：①④【解析】【详解】①在上单调递增，故具有性质；②在上单调递减，故不具有性质；③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；④，令，则，在上单调递增，故具有性质．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(2023·福建·高考真题（理））商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求的值；(2)若商品的成品为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大答案：(1)2；(2)当时，利润最大42.答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.【解析】(1)因为时，所以；(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；，令得函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.18．(2023·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知函数在时取得极值．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值与最小值．答案：(1)(2)，；【解析】分析：（1）首先求出函数的导函数，依题意，即可求出，再求出切点坐标与切线的斜率，即可求出切线方程；（2）由（1）可得函数的单调性，再计算出区间端点的函数值，即可求出函数的最值．(1)解：，所以，，解得，，，当时，当或时，所以在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，符合题意，又，，即切点为，切线的斜率，在处的切线方程为，即；(2)解：因为，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，，、，．19．(2023·全国·高考真题（文））已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.答案：（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.试题解析：（I）的定义域为.当时，，曲线在处的切线方程为（II）当时，等价于设，则，（i）当，时，，故在上单调递增，因此；（ii）当时，令得.由和得，故当时，，在单调递减，因此.综上，的取值范围是20．(2023·全国·高考真题（文））已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．答案：(1)3(2)【解析】分析：（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.(1)由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；(2)，则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程