高考数学大题精做专题06解析几何中的定点、定值问题(第五篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题06解析几何中的定点、定值问题类型对应典例向量之积为定值典例1斜率为定值典例2斜率之和为定值典例3斜率之积为定值典例4坐标为定值典例5面积为定值典例6直线恒过定点典例7圆恒过定点典例8【典例1】【四川省内江市2019届高三第三次模拟】已知椭圆：的离心率为，直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设，过点的直线交椭圆于，两点，证明：为定值.【典例2】【北京市人大附中2019届高三高考信息卷】已知椭圆离心率等于，、是椭圆上的两点.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【典例3】【陕西省咸阳市2020届高三模拟检测】已知点Q是圆上的动点，点，若线段QN的垂直平分线MQ于点P.(I)求动点P的轨迹E的方程(II)若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值.【典例4】【河北省保定市2019届高三4月第一次模拟】已知椭圆C:x2a2+y2（1）求椭圆C的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问kMN⋅k【典例5】【江西省吉安市2019届高三下学期第一次模拟】已知椭圆与圆：有且仅有两个公共点，点、、分别是椭圆上的动点、左焦点、右焦点，三角形面积的最大值是．（1）求椭圆的方程；（2）若点在椭圆第一象限部分上运动，过点作圆的切线，过点作的垂线，求证：，交点的纵坐标的绝对值为定值．【典例6】【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测】已知椭圆的离心率，且椭圆过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与交于，两点，点在上，是坐标原点，若，判断四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【典例7】【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知椭圆的离心率为，M是椭圆C的上顶点，，F2是椭圆C的焦点，的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．【典例8】【2020届吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校第六十八届高三上学期期末联考】已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆的方程；（2）已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【针对训练】1.【2020届福建省福鼎一中高三第二次质检】过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）当点异于点时，求证：为定值.2.【河北省示范性高中2019届高三下学期4月联考】已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.3.【山东省泰安市2020届模拟】圆O：x2+y2＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P1，P2，点M满足．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求证：kAS•kAN为常数．4.【2020湖北省武汉市模拟】如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3．5．【山东省聊城市2019届高三二模】已知以椭圆：的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于异于椭圆顶点的，两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为点，直线和直线的斜率之积为1，直线与轴交于点.若直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.6.【安徽省淮北市、宿州市2019届高三第二次教学质量检测】已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．7.【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟】设椭圆：的左，右焦点分别为，，其离心率为，过的直线与C交于两点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，证明：当的斜率为时，点在以为直径的圆上．8.【内蒙古2019年呼和浩特市高三年级第二次质量普查调研】已知椭圆的一个焦点与的焦点重合且点为椭圆上一点（l）求椭圆方程；（2）过点任作两条与椭圆相交且关于对称的直线，与椭圆分别交于、两点，求证：直线的斜率是定值备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题06解析几何中的定点、定值问题类型对应典例向量之积为定值典例1斜率为定值典例2斜率之和为定值典例3斜率之积为定值典例4坐标为定值典例5面积为定值典例6直线恒过定点典例7圆恒过定点典例8【典例1】【四川省内江市2019届高三第三次模拟】已知椭圆：的离心率为，直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设，过点的直线交椭圆于，两点，证明：为定值.【思路引导】（1）根据题意布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的方程；（2）设的方程：.联立方程可得，利用韦达定理表示，即可得到结果.【详解】解：（1）∵椭圆的离心率为，∴,∵直线与圆相切，∴，∴，∴椭圆的方程为.（2）设，，当直线与轴不重合时，设的方程：.由得，，∴，，.当直线与轴重合时，.∴故为定值.【典例2】【北京市人大附中2019届高三高考信息卷】已知椭圆离心率等于，、是椭圆上的两点.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【思路引导】（1）由题意列式关于a，b，c的方程组，求解可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；（2）设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣3＝k（x﹣2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值．【详解】解：（1）由题意可得，解得a＝4，b，c＝2．∴椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当∠APQ＝∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3＝k（x﹣2），联立，得（3+4k2）x2+8k（3﹣2k）x+4（3﹣2k）2﹣48＝0．∴．同理直线PB的直线方程为y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得．∴，，，∴AB的斜率为定值．【典例3】【陕西省咸阳市2020届高三模拟检测】已知点Q是圆上的动点，点，若线段QN的垂直平分线MQ于点P.(I)求动点P的轨迹E的方程(II)若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值.【思路引导】（Ⅰ）线段的垂直平分线交于点P，所以，则为定值，所以P的轨迹是以为焦点的椭圆，结合题中数据求出椭圆方程即可；（Ⅱ）设出直线方程，联立椭圆方程得到韦达定理，写出化简可得定值.【详解】解：（Ⅰ）由题可知，线段的垂直平分线交于点P，所以，则，所以P的轨迹是以为焦点的椭圆，设该椭圆方程为，则，所以，可得动点P的轨迹E的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，过点D的直线斜率存在且不为0，故可设l的方程为，，由得，而由于直线过点，所以，所以（即为定值）【典例4】【河北省保定市2019届高三4月第一次模拟】已知椭圆C:x2a2+y2（1）求椭圆C的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问kMN⋅k【思路引导】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆半焦距，再由离心率求得a，由b=a2−（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+m，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得P的坐标，再由斜率公式求得OP的斜率，可得kMN【详解】解：（1）抛物线y2=4x的焦点为1,0，∴椭圆C的半焦距为又椭圆的离心率e=ca=12，∴椭圆C的方程为x（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+m，联立y=kx+m3x2Δ>0即只需m2设Mx1,则x1+∴P−4km3+4k∴【典例5】【江西省吉安市2019届高三下学期第一次模拟】已知椭圆与圆：有且仅有两个公共点，点、、分别是椭圆上的动点、左焦点、右焦点，三角形面积的最大值是．（1）求椭圆的方程；（2）若点在椭圆第一象限部分上运动，过点作圆的切线，过点作的垂线，求证：，交点的纵坐标的绝对值为定值．【思路引导】（1）根据椭圆与圆有且仅有两个公共点，以及椭圆和圆的对称性，三角形面积的最大值是，可以求出的值，得到椭圆的方程．（2）设出坐标，根据面积相等及勾股定理得到之间的等量关系，得到点之间的坐标关系，再由，将点坐标用点坐标表示出来，即可证明点纵坐标的绝对值为定值．【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆的方程是．（2）设点，，则，设直线与圆的切点为，由几何知识得到：，，所以⇒=，即+=，又因为，所以，代入上式得：，所以，即为定值．【典例6】【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测】已知椭圆的离心率，且椭圆过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与交于，两点，点在上，是坐标原点，若，判断四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【思路引导】（1）根据离心率和椭圆经过的点的坐标，建立方程组求解椭圆的方程；（2）写出四边形的面积表达式，结合表达式的特征进行判断.【详解】解：（1）因为椭圆的离心率，所以，即.因为点在椭圆上，所以.由，解得.所以椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为.当直线的斜率存在时，设直线的方程是，联立方程组，消去，得，，，，.，点到直线的距离是.由，得，.因为点在曲线上，所以有，整理得.由题意，四边形为平行四边形，所以四边形的面积为.由，得，故四边形的面积是定值，其定值为.【典例7】【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知椭圆的离心率为，M是椭圆C的上顶点，，F2是椭圆C的焦点，的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．【思路引导】（Ⅰ）由题得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为，进一步求出直线的方程为，所以直线恒过定点.当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过.综上所述直线恒过点.【详解】解：（Ⅰ）由于是椭圆的上顶点，由题意得，又椭圆离心率为，即，解得，，又，所以椭圆的标准方程．（Ⅱ）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为，联立，得，由题意，，设，则，因为，所以是的中点．即，得，①又，l的斜率为，直线的方程为②把①代入②可得：所以直线恒过定点.当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过.综上所述直线恒过点.【典例8】【2020届吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校第六十八届高三上学期期末联考】已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆的方程；（2）已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【思路引导】(1)根据抛物线的焦点与椭圆的顶点公式求解即可.(2)设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,并根据直线与圆相切得出的关系式,代入证明即可.【详解】（1）因为椭圆的离心率,所以,即.因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点,所以,所以.所以椭圆的方程为.（2）因为直线的斜率存在且不为零.故设直线的方程为.由消去,得,所以设,则.所以.所以.①因为直线和圆相切,所以圆心到直线的距离,整理,得,②将②代入①,得,显然以为直径的圆经过定点综上可知,以为直径的圆过定点.【针对训练】1.【2020届福建省福鼎一中高三第二次质检】过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）当点异于点时，求证：为定值.【思路引导】（1）先求出椭圆方程，当直线过椭圆右焦点时，写出直线的方程，并和椭圆联立方程，求得点的坐标，根据两点间距离公式即可求得线段的长；（2）设出直线的方程，并和椭圆联立方程，求得点的坐标，并求出点坐标，写出直线与直线的方程，并解此方程组，求得点的坐标，代入即可证明结论.【详解】（1）由已知得，得，椭圆的方程为，椭圆的右焦点为，此时直线的方程为，由，解得，；（2）当直线与轴垂直时与题意不符，所以直线与轴不垂直，即直线的斜率存在，设直线的方程为代入椭圆的方程，化简得，解得，代入直线的方程，得，所以，的坐标为，又直线的方程为，直线方程为，联立解得，即，而的坐标为，，即为定值.2.【河北省示范性高中2019届高三下学期4月联考】已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.【思路引导】（1）根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程，根据得到的式子求出.（2）当直线斜率不存在时，易得的面积，当直线斜率存在时，设为，与椭圆相切，得到和的关系，再由直线和椭圆联立方程组，得到、，利用弦长公式表示出，再得到和的关系，由到的距离，得到到的距离，从而计算出的面积.得到结论为定值.【详解】（1）解：因为的离心率为，所以，解得.①将点代入，整理得.②联立①②，得，，故椭圆的标准方程为.（2）证明：①当直线的斜率不存在时，点为或，由对称性不妨取，由（1）知椭圆的方程为，所以有.将代入椭圆的方程得，所以.②当直线的斜率存在时，设其方程为，将代入椭圆的方程得，由题意得，整理得.将代入椭圆的方程，得.设，，则，，所以.设，，，则可得，.因为，所以，解得（舍去），所以，从而.又因为点到直线的距离为，所以点到直线的距离为，所以，综上，的面积为定值.3.【山东省泰安市2020届模拟】圆O：x2+y2＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P1，P2，点M满足．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求证：kAS•kAN为常数．【思路引导】（1）设，，，根据向量关系，用的坐标表示的坐标后，将的坐标代入圆的方程可得的轨迹方程；（2）设出直线的方程并代入椭圆方程，利用韦达定理以及斜率公式得为常数.【详解】（1）设P（x0，y0），M（x，y），则＝（x0，0），＝（0，y0），由．得代入x02+y02＝9，所以点M的轨迹C的方程为.（2）当SN的斜率不存在时，AS，AN的斜率也不存在，故不适合题意；当SN的斜率存在时，设斜率为k，则直线SN的方程为y＝kx﹣3代入椭圆方程整理得（1+4k2）x2﹣24kx+32＝0，△＞0⇒k2＞2设S（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，则kAS•kAN＝＝，故kAS•kAN为常数.4.【2020湖北省武汉市模拟】如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3．【思路引导】（1）由得，再根据焦距等于其长半轴长可求，故可得椭圆的方程.（2）设直线方程为，，【详解】解：（1）由题意可知：,，又，有，故椭圆的方程为：．（2）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，用的横坐标表示的纵坐标，再联立的方程和椭圆的方程，消去得，利用韦达定理化简的纵坐标后可得所求的定值.设（），联立直线方程和椭圆方程得，消去得，,，且有，又，，由得，故，整理得到，故．故点的纵坐标为3．5．【山东省聊城市2019届高三二模】已知以椭圆：的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于异于椭圆顶点的，两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为点，直线和直线的斜率之积为1，直线与轴交于点.若直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.【思路引导】（1）由题意可得到，求解即可得出椭圆方程；（2）先设，，则，，根据，得到，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，表示出，，进而可求出的值，得出结论.【详解】（1）因为椭圆的两个焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形，所以，解得.所以椭圆的方程为.（2）设，，则，，因为，所以，联立，消，得，所以，，所以，直线的方程为：，令，由，得，所以，，所以.所以为定值0.6.【安徽省淮北市、宿州市2019届高三第二次教学质量检测】已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）过点的直线交椭圆于两点