高考数学一轮复习考点探究与题型突破第17讲导数与函数的单调性(原卷版+解析)

第17讲导数与函数的单调性函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数考点1不含参函数的单调性[名师点睛]确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．[提醒]①不能遗忘求函数的定义域，②函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．[典例]1．(2023·重庆八中高三阶段练习）函数的递增区间为（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（

）A．－12 B．－10 C．8 D．10[举一反三]1．(2023·浙江·高三专题练习）函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）函数的减区间是（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）以下使得函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．4．（2023·广东湛江·高三阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．5．（2023·广东东莞·高三阶段练习）函数f(x)＝1＋x＋cosx在上的单调递增区间是________.6．(2023·全国·高三专题练习）函数的一个单调递减区间是________．7．(2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为_________．考点2含参函数的单调性[名师点睛]1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．[典例]1.(2023·济南调研)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－(a＋1)x＋alnx，讨论函数f(x)的单调性．2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调区间.[举一反三]1．(2023·浙江·高三专题练习）已知函数.讨论的单调性.2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝－aln(1＋x)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间.3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，.讨论的单调性；考点3函数单调性的应用[名师点睛]利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小．根据函数的单调性解不等式，要充分挖掘条件关系，根据不等式的特征和所给函数的单调性、奇偶性，把所要解的不等式变形，利用函数的性质脱去“f”符号，转化为具体的不等式，或直接利用函数的单调性求得自变量的范围．已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．[典例]1．(2023·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．(2023·全国·模拟预测）已知，，且，则（

）A． B．C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．[举一反三]1．(2023·全国·模拟预测）已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（

）A． B．C． D．2．(2023·江苏连云港·模拟预测）已知，且，则（

）A． B． C． D．3．(2023·重庆·二模）已知函数，则函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．5．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（多选）(2023·湖南·长沙市明德中学二模）已知，若（为自然对数的底数），则（

）A． B．C． D．7．(2023·江苏盐城·三模）已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．8．(2023·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．9．(2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围________.10．(2023·河北·高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．11．(2023·江苏泰州·高三期末）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.12．(2023·江苏江苏·三模）设函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)若在上单调递增，求.第17讲导数与函数的单调性函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数考点1不含参函数的单调性[名师点睛]确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．[提醒]①不能遗忘求函数的定义域，②函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．[典例]1．(2023·重庆八中高三阶段练习）函数的递增区间为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，当时，，，则；当时，，，则；在上的单调递增区间为.故选：D.2．(2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（

）A．－12 B．－10 C．8 D．10答案：A【解析】＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1<x<3是不等式3x2＋2bx＋c<0的解，∴－1，3是＝0的两个根，∴b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.故选：A．[举一反三]1．(2023·浙江·高三专题练习）函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】由题可知，由，解得.所以单调递减区间为.故选：A.2．(2023·全国·高三专题练习）函数的减区间是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意，，令，得，则，故的减区间是.故选：C3．(2023·全国·高三专题练习）以下使得函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】解：由题意得，，当或时，，函数在区间，上都有极值点，故不单调；当时，，不合题意；当时，，函数单调递增，符合题意.故选：D.4．（2023·广东湛江·高三阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】函数的定义域为：，，当时，函数单调递减，因为，所以解得，故选：D5．（2023·广东东莞·高三阶段练习）函数f(x)＝1＋x＋cosx在上的单调递增区间是________.答案：【解析】f′(x)＝－sinx.由，解得0<x，所以f(x)在上的单调递增区间是.故答案为：6．(2023·全国·高三专题练习）函数的一个单调递减区间是________．答案：（答案不唯一）【解析】∵，∴，令，即，若，则的一个解集，所以函数的一个单调递减区间，故答案为：.7．(2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为_________．答案：【解析】函数的定义域为，，令，可得，解得，.因此，函数的单调递减区间为.故答案为：.考点2含参函数的单调性[名师点睛]1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．[典例]1.(2023·济南调研)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－(a＋1)x＋alnx，讨论函数f(x)的单调性．解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－(a＋1)＋eq\f(a,x)＝eq\f(x－1x－a,x).①当a≤0时，令f′(x)＜0，得到0＜x＜1；令f′(x)>0，得到x>1，此时f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．②当0＜a＜1时，令f′(x)＜0，得到a＜x＜1；令f′(x)>0，得到0＜x＜a或x>1，此时f(x)在(a,1)上为减函数，在(0，a)和(1，＋∞)上为增函数．③当a＝1时，显然f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0，＋∞)上为增函数．④当a>1时，令f′(x)＜0，得到1＜x＜a；令f′(x)>0，得到0＜x＜1或x>a.此时f(x)在(1，a)上为减函数，在(0,1)和(a，＋∞)上为增函数．综上，当a≤0时，f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数；当0＜a＜1时，f(x)在(a,1)上为减函数，在(0，a)和(1，＋∞)上为增函数；当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数；当a>1时，f(x)在(1，a)上为减函数，在(0,1)和(a，＋∞)上为增函数．2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调区间.【解】(1)∵，∴，∴，又，∴.∴所求切线方程为.(2)由题意知，函数的定义域为，由（1）知，∴，易知，①当时，令，得或；令，得.②当时，，令，得；令，得或.③当时，.④当时，，令，得；令，得或.综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，函数在上单调递减；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，函数函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.[举一反三]1．(2023·浙江·高三专题练习）已知函数.讨论的单调性.【解】由函数的解析式可得：，①当时，若，则单调递减，若，则单调递增；②当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；③当时，在上单调递增；④当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增.2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝－aln(1＋x)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间.【解】因为f(x)＝－aln(1＋x)(x＞－1)，所以＝－＝，当a≤0时，＞0，所以函数f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞).当a＞0时，由得－1＜x＜－1＋；由得x＞－1＋.所以函数f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是.综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞).当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是.3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；【解】由题设，，

当时，，令得，令得，故的单调递增区间为，单调递减区间为.当时，令得或，

当，即时，当时或；当时，故的单调递增区间为、，减区间为.当，即时，在R上恒成立，故的单调递增区间为；4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，.讨论的单调性；【解】由的定义域为，且.令，则.①当，即时，对任意的有，则，此时，函数在上单调递增；②当，即时，有两个不等的实根，设为、，且，令，解得，.解不等式，可得；解不等式，可得或.此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.综上，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；考点3函数单调性的应用[名师点睛]利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小．根据函数的单调性解不等式，要充分挖掘条件关系，根据不等式的特征和所给函数的单调性、奇偶性，把所要解的不等式变形，利用函数的性质脱去“f”符号，转化为具体的不等式，或直接利用函数的单调性求得自变量的范围．已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．[典例]1．(2023·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：B【解析】解：因为，所以，所以在上单调递减，则等价于，解得，即原不等式的解集为.故选：B.2．(2023·全国·模拟预测）已知，，且，则（

）A． B．C． D．答案：B【解析】解:因为，，，所以．设，则．设，则，所以在上单调递减．当时，，所以，即，故在上单调递减．因为，所以．故选：B．3．(2023·全国·高三专题练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】函数在区间内有意义，则，设则，(1)当时，是增函数，要使函数在区间内单调递增，需使在区间内内单调递增，则需使，对任意恒成立,即对任意恒成立；因为时，所以与矛盾，此时不成立.(2)当时，是减函数，要使函数在区间内单调递增，需使在区间内内单调递减，则需使对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，所以，又，所以.综上，的取值范围是故选：B[举一反三]1．(2023·全国·模拟预测）已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】解：由，得，当时，，所以在上单调递增，因为，所以，所以，由函数在上单调递增，可知恒有，所以，综上，得.故选：D.2．(2023·江苏连云港·模拟预测）已知，且，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，，所以，即记由，解得，解，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减因为，则时，有，又因为当时，，所以因为，所以，所以.综上，.故选：C3．(2023·重庆·二模）已知函数，则函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由函数，可得函数的定义域为，且，因为函数在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以，结合选项，可得时函数在上单调递增的一个充分不必要条件.故选：A.4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】函数，则，因，则不等式成立必有，即，令，求导得，当时，，当时，，因此，函数在上单调递减，在上单调递增，又，当时，，于是得，即，令，当时，，函数在上单调递减，，，因此，无解，当时，，于是得，即，此时，函数在上单调递增，，，不等式解集为，所以不等式的解集为.故选：B5．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】求导，令，由在R上单调，可知恒成立或恒成立，分类讨论：（1）当时，，令，得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；，即恒成立，符合题意；（2）当时，，令，得当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；，即恒成立，符合题意；（3）当时，令，得或，研究内的情况即可：当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，函数取得极小值，且满足；当时，函数取得极小值，且满足，且同理，且又，当时，；当时，，故不符合；所以a的取值范围是故选：A6．（多选）(2023·湖南·长沙市明德中学二模）已知，若（为自然对数的底数），则（

）A． B．C． D．答案：ACD【解析】解：因为，所以，即，对于A，因为，所以，故A正确；对于B，令，则，所以在上单调递增，因为，所以，所以，即，所以，故B错误；对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确.故选：ACD.7．(2023·江苏盐城·三模）已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．答案：【解析】设函数，则又

所以在上单调递增，又故不等式可化为由的