高考数学大题精做专题04立体几何的探索性问题(第三篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题04立体几何的探索性问题类型对应典例探索位置问题典例1“线定，面动”探索线面平行问题典例2“线动，面定”探索线面平行问题典例3探索线线垂直问题典例4探索线面垂直问题典例5探索面面垂直问题典例6探索二面角问题典例7【典例1】【2020届江苏巅峰冲刺卷】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．【典例2】【2020届江西省赣州市高三上学期期末考试】如图，在平行四边形中，，平面平面，且.（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论；（2）求二面角的余弦值.【典例3】【北京市昌平区2020届高三期末】如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，.（Ⅰ）求证：CD⊥PD；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAB；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由.【典例4】【2019届陕西省西安中学高三下学期第十二次重点考试】在三棱锥P—ABC中，PB平面ABC，ABBC，AB=PB=2，BC=2，E、G分别为PC、PA的中点.（1）求证：平面BCG平面PAC；（2）假设在线段AC上存在一点N，使PNBE，求的值；（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值【典例5】【浙江省丽水市2020届模拟】如图，在四棱锥中，底面，，，，．（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．【典例6】【江苏省苏州市实验中学2020届高三月考】直四棱柱中，，，E、F分别为棱AB、上的点，，.求证：（1）平面；（2）线段AC上是否存在一点G，使面面.若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由.【典例7】【山东省临沂市2019年普通高考模拟】如图，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF∥DE，AD⊥DE，AF＝，DE＝.（1）求直线CA与平面BEF所成角的正弦值；（2）在线段AF上是否存在点M，使得二面角M­BE­D的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【针对训练】1.【2020届盐城市高三年级模拟考试】如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段A1D上，．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．2．【四川省棠湖中学2020届高三月考】如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.3．【河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次（1月)质量预测】已知四棱锥中，底面为菱形，，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.（Ⅰ）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；（Ⅱ）求点恰为的中点时，二面角的余弦值.4．【2020届四川省巴中市高三第一次诊断】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，是棱的中点.(1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面？并说明理由.5．【湖北省2019届高三1月联考测试】如图所示，在四棱锥中，，，，且，．(1)平面；(2)在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．6．【2020届广东省东莞市高三期末调研测试】如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心点，点在棱上，且的面积为1．（1）若点是的中点，求证：平面平面；（2）在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．7．【2020届山西省太原市第五中学高三11月阶段性考试】如图，在三棱锥中，顶点在底面上的投影在棱上，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）已知点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．8．【河南省开封市五县2020届模拟】如图，是的直径，点B是上与A，C不重合的动点，平面.（1）当点B在什么位置时，平面平面，并证明之；（2）请判断，当点B在上运动时，会不会使得，若存在这样的点B，请确定点B的位置，若不存在，请说明理由.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题04立体几何的探索性问题类型对应典例探索位置问题典例1“线定，面动”探索线面平行问题典例2“线动，面定”探索线面平行问题典例3探索线线垂直问题典例4探索线面垂直问题典例5探索面面垂直问题典例6探索二面角问题典例7【典例1】【2020届江苏巅峰冲刺卷】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．【思路引导】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.（2）由AN＝λ，设N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，由|cos〈，〉|＝＝＝求解.【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．又因为M为PC的中点，所以M(1，1，2)．所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.（2）因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)．设平面PBC的法向量为＝(x,y,z)，则即令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量．因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以|cos〈，〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值为1.【典例2】【2020届江西省赣州市高三上学期期末考试】如图，在平行四边形中，，平面平面，且.（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论；（2）求二面角的余弦值.【思路引导】（1）容易判断出点为的中点，根据中位线定理得到，再根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据题目给出的数据，找出两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值.【详解】（1）存在点，点为的中点证明：当点为的中点时，连结交于，∵平行四边形，∴为的中点，连结，则，∵平面，平面，∴平面.（2）∵，∴，∴，，∴，又∵平面平面，∴平面，平面，以为轴，为轴，为轴，如图建系：则，，，，∴，∴为平面的一个法向量，令平面的一个法向量为，∴取，，∴平面的一个法向量为，令二面角为，由题意可知为锐角，则.【典例3】【北京市昌平区2020届高三期末】如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，.（Ⅰ）求证：CD⊥PD；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAB；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由.【思路引导】（Ⅰ）由题意可得CD⊥平面PAD，从而易得CD⊥PD；（Ⅱ）要证BD⊥平面PAB，关键是证明；（Ⅲ）在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点.【详解】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD所以CD⊥PA.因为CD⊥AD，，所以CD⊥平面PAD.因为平面PAD，所以CD⊥PD.(II)因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD所以BD⊥PA.在直角梯形ABCD中，，由题意可得，所以，所以.因为，所以平面PAB.（Ⅲ）解：在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点.证明：取PA的中点N，连接MN，BN，因为M是PD的中点，所以.因为，所以.所以MNBC是平行四边形，所以CM∥BN.因为平面PAB,平面PAB.所以平面PAB.【典例4】【2019届陕西省西安中学高三下学期第十二次重点考试】在三棱锥P—ABC中，PB平面ABC，ABBC，AB=PB=2，BC=2，E、G分别为PC、PA的中点.（1）求证：平面BCG平面PAC；（2）假设在线段AC上存在一点N，使PNBE，求的值；（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值【思路引导】（1）由，，得平面，即可得到本题的结论；（2）由N为线段AC一点，可设为，得，又由，可确定的取值，从而可得到本题答案；（3）求出平面的法向量，然后套入公式，即可得到本题答案.【详解】（1）因为平面，平面，所以，又，，所以平面，则①，又，为等腰直角三角形，G为斜边的中点，所以②，又，所以平面，因平面，则有平面平面；（2）分别以为轴，建立空间直角坐标系，那么，因此，，设，那么，由，得，解得.因此，因此；（3）由（2）知，设平面的法向量为，则，即，令，得，因此，设直线与平面所成角为，那么.【典例5】【浙江省丽水市2020届模拟】如图，在四棱锥中，底面，，，，．（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．【思路引导】（1）由题意，利用勾股定理可得，可得，可得，利用线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理即可证明DC⊥平面PAC；

（2）过点A作AH⊥PC，垂足为H，由（1）利用线面垂直的判定定理可证明AH⊥平面PCD，在RT△PAC中，由PA＝2，，可求，即在棱PC上存在点H，且，使得AH⊥平面PCD.【详解】解（1）由题意，可得，∴，即，又底面，∴，且，∴平面；（2）过点作，垂足为，由（1）可得，又，∴平面.在中，∵，，∴.即在棱上存在点，且，使得平面.【典例6】【江苏省苏州市实验中学2020届高三月考】直四棱柱中，，，E、F分别为棱AB、上的点，，.求证：（1）平面；（2）线段AC上是否存在一点G，使面面.若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由.【思路引导】（1）以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系：根据向量的坐标可得，由此可证平面；（2）将问题转化为线段AC上是否存在一点G，使，则问题不难求解.【详解】（1）如图所示：以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系：则，，，设，则，，所以，，，因为，所以，，共面，又不在平面内，所以平面（2）线段AC上存在一点G，使面面，且，证明如下：在三角形中，由余弦定理得，所以，即，又平面，平面，、所以，而，所以平面，因为平面，所以面，【典例7】【山东省临沂市2019年普通高考模拟】如图，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF∥DE，AD⊥DE，AF＝，DE＝.（1）求直线CA与平面BEF所成角的正弦值；（2）在线段AF上是否存在点M，使得二面角M­BE­D的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【思路引导】（1）以D为坐标原点，射线DA，DC，DE分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间坐标系，求出坐标，进而求出坐标，求出平面BEF的法向量坐标，按空间向量线面角公式，即可求解；（2）设M（3，0，t），0≤t≤，求出平面MBE的法向量坐标，利用是平面BED的一个法向量，按空间向量面面角公式，即可求出结论.【详解】（1）因为DA，DC，DE两两垂直，所以以D为坐标原点，射线DA，DC，DE分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系D­xyz，如图所示.则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，），B（3，3，0），C（0，3，0），=（3，－3，0），＝（－3，－3，3），＝（3，0，）.设平面BEF的法向量为＝（x1，y1，z1），取x1＝，得＝（，2，3）.所以所以直线CA与平面BEF所成角的正弦值为.（2）假设存在点M在线段AF上满足条件，设M（3，0，t），0≤t≤，则＝（0，－3，t），＝（－3，－3，）.设平面MBE的法向量为＝（x2，y2，z2），令y2＝t，得m＝（－t，t，3）.易知＝（3，－3，0）是平面BED的一个法向量，所以|＝，整理得2t2－t＋15＝0，解得t＝或t＝（舍去），故在线段AF上存在点M，使得二面角M­BE­D的大小为60°，此时.【针对训练】1.【2020届盐城市高三年级模拟考试】如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段A1D上，．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．【思路引导】（1）由四棱柱，证得，进而得到，以为正交基底建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算，即可求解所成角的余弦值；（2）设，由点在线段上，得到，得出向量则坐标表示，再求得平面的一个法向量，利用向量的数量积的运算，即可得到的值。试题解析：因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD．又AE平面ABCD，AD平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．在菱形ABCD中∠ABC＝，则△ABC是等边三角形．因为E是BC中点，所以BC⊥AE．因为BC∥AD，所以AE⊥AD．以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，2)，E(，0，0)，F(，，1)．（1）＝(0，2，0)，＝(－，，1)，所以·＝1．从而cos＜，＞＝＝．故异面直线EF，AD所成角的余弦值为．（2）设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且＝λ，则＝λ，即(x，y，z－2)＝λ(0，2，－2)．则M(0，2λ，2－2λ)，＝(－，2λ－1，2－2λ)．设平面AEF的法向量为n＝(x0，y0，z0)．因为＝(，0，0)，＝(，，1)，由n·＝0，n·＝0，得x0＝0，y0＋z0＝0．取y0＝2，则z0＝－1，则平面AEF的一个法向量为n＝(0，2，－1)．由于CM∥平面AEF，则n·＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝．2．【四川省棠湖中学2020届高三月考】如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【思路引导】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.在Rt△PAH中，PH==，所以sinAPH==.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A为原点，以,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由得设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα==.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.3．【河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次（1月)质量预测】已知四棱锥中，底面为菱形，，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.（Ⅰ）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；（Ⅱ）求点恰为的中点时，二面角的余弦值.【思路引导】（Ⅰ）推导出AE⊥PA，AE⊥AD，从而AE⊥平面PAD，由此能证明无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD．（Ⅱ）以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．【详解】（Ⅰ）连接∵底面为菱形，，∴是正三角形，∵是中点，∴又，∴∵平面，平面，∴，又∴平面，又平面∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵平面，∴就是与平面所成的角，在中，，即，设，则，得，又，设，则，所以，从而，∴，则，，，，，，，所以，，，设是平面一个法向量，则取，得又平面，∴是平面的一个法向量，∴∴二面角的余弦值为.4．【2020届四川省巴中市高三第一次诊断】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，是棱的中点.(1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面？并说明理由.【思路引导】（1）先证明平面，可得平面平面，由面面垂直的性质可证平面（2）取中点，连接，，根据平行四边形可得线线平行，即可证明线面平行.【详解】(1)由底面是矩形，知，又，平面平面又平面平面平面由，是棱的中点得：平面平面，平面平面(2)在棱上存在点，使得平面，且为的中点.证明如下：如图取中点，连接，在矩形中，，四边形是平行四边形平面，平面平面.5．【湖北省2019届高三1月联考测试】如图所示，在四棱锥中，，，，且，．(1)平面；(2)在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．【思路引导】（1）推导出AB⊥AC，AP⊥AC，AB⊥PC，从而AB⊥平面PAC，进而PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD；（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，4﹣2．【详解】（1）∵在底面中，，且∴，∴又∵，，平面，平面∴平面又∵平面∴∵，∴又∵，，平面，平面∴平面（2）方法一：在线段上取点，使则又由（1）得平面∴平面又∵平面∴作于又∵，平面，平面∴平面又∵平面∴又∵∴是二面角的一个平面角设则，这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系且由（1）知是平面的一个法向量设则，∴，设是平面的一个法向量则∴令，则，它背向二面角又∵平面的法向量，它指向二面角这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且6．【2020届广东省东莞市高三期末调研测试】如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心点，点在棱上，且的面积为1．（1）若点是的中点，求证：平面平面；（2）在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．【思路引导】（1）利用等腰三角形“三线合一”证明平面,进而证明平面平面；（2）分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,利用平面的法向量求二面角,进而计算得到即可【详解】（1）∵点在底面上的射影为点,∴平面,∵四边形是边长为的正方形,∴,∵三角形的面积为1,∴,即,∴,∵,点是的中点,∴,同理可得,又因为,平面,∴平面,∵平面,∴平面平面（2